精品解析：福建省泉州市晋江市2026年春季期末教学质量监测 初一年数学科试卷

2026年春季期末教学质量监测 初一年数学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2. 为培养学生运用人工智能技术解决数学问题的能力，南阳市数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“图形设计大赛”．下列图形是部分参赛作品，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可． 【详解】解：中心对称图形的概念逐项分析判断如下： A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法．找到未知数系数为负数，并且不等式的解为的即为所求． 【详解】解：A．，解得：，系数为正数，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意； B．，解得，解集不符合，故该选项不符合题意； C．，解得：，解集不符合，故该选项不符合题意； D．，解得：，系数为负数，改变不等式的符号，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 若三角形的两条边的长度是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三条边的长度的范围，再与选项作比较分析，即可作答． 【详解】解：∵三角形的两条边的长度分别是和， ∴第三条边的长度 即第三条边的长度 ∴第三条边的长度可能是． 故选B． 5. 如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 6. 南阳市医圣祠文化园计划修复古建筑地面，现有传统正方形地砖，打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），则与正方形地砖组合能够铺满地面的是（ ） A. 正五边形 B. 正十二边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌，解题关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角． 分别计算各个正多边形的每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：A．正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； B．正十二边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； C．正六边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； D．正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意． 故选：D． 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】核心等量关系是两种出钱情况下合伙人数不变，只需用物价分别表示出两种情况的人数，再根据人数相等列方程即可． 【详解】设物品价格为钱， ∵每人出钱，多出钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； 又∵每人出钱，还差钱，总出钱数为， ∴合伙人数为； ∵合伙人数相等， ∴． 8. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的角平分线，中线，高，解题的关键是读懂图象信息．根据三角形的高，角平分线，中线的定义判断即可． 【详解】解：观察图形可知，依次是的高、角平分线、中线． 故选：B． 10. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把不等式组标号，求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定a的取值范围即可． 【详解】原不等式组为， 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ∴整数解为、0，1， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. “x的相反数与5的和是负数”，用不等式可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵的相反数是，的相反数与的和是负数，负数小于， ∴用不等式可表示为． 12. 关于x的方程的解为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程  得  整理得  移项合并同类项得  解得． 13. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 14. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题利用整体换元思想，结合二元一次方程组解的定义，将新方程组中的和看作整体，对应原方程组的解得到关于的新方程组，再解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】 解：∵关于、的二元一次方程组的解是， ∴方程组， 由此可得 ， 将两个方程相加，得， 解得 ． 把代入， 得， 解得． ∴方程组的解为． 15. 如图，将沿方向平移得到，，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．先求出，根据平移得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 18. 求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得  解不等式②，得  因此不等式组的解集为， ∴整数解为， ∴整数解的和为． 19. 已知和是关于的二元一次方程的两组解． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）的值为5，的值为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解， ∴ 解得 即的值为5，的值为． 【小问2详解】 由（1）得，该二元一次方程为． 当时，． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，有两条直线m、n和，其中直线于点O，按要求解答． （1）将向右平移5个单位后得到； （2）在直线n上找一点P，使得最小； （3）将绕点O旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，再描点，连线作图即可； （2）取格点E，连接交直线n于点P，则点P即为所求；由网格的特点可得点B与点E关于直线n对称，则，则，即三点共线时，最小； （3）根据旋转方式和网格的特点确定点，再描点，连线作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于方程的解是非负数，求的取值范围． 请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于、的方程组的解满足，求的最大整数解． 【答案】教材呈现：见解析； 拓展：最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，解二元一次方程组． 教材呈现：先求出，再根据解为非负数计算即可； 拓展：先求出，，根据列不等式求解即可． 【详解】教材呈现：解：， 解得：， 解为非负数，，； 拓展：解：， 得，， 把代入，，， ， ，， 最大整数解为． 22. 【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：因为，所以______（______）． 因为（______）． 所以______（等量代换）即三角形的内角和为． 【解题反思】 平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 （2）如图2，直线穿过正五边形，且，求的度数． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；平角的定义；；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理的证明，正五边形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到，由平角的定义可得，据此可证明结论； （2）过作，则，求出，由平行线的性质得到，，据此可得结论． 【详解】（1）证明：因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（平角的定义）． 所以（等量代换）即三角形的内角和为． （2）解：过作， ， ， 图形为正五边形， ， ， ， ， 又， ， ， ∴． 23. 七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1） 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. （2） 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【解析】 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得  解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； 【小问2详解】 解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得  因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 24. 【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． （1）①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； （2）经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 【答案】（1）①不是； ②由题意，得：，， 是7的整数倍， 设（为整数）， ， ， 是7的整数倍． （2）或 【解析】 【分析】（1）①按照已知条件的举例和方法进行解答即可； ②按照多位数的表示方法表示出和，利用是7的整数倍，设，得，再整体代入即可解决； （2）根据题意可得能被7整除，推出，则能被７整除，即可解答． 【小问1详解】 解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， ， 不是7的整数倍， 不是7的整数倍； ②略 【小问2详解】 解：根据题意可得，四位数，割掉末位数字6得， 四位自然数能被7整除， 三位自然数能被7整除， 即能被7整除， ， 能被7整除， ，且为整数， 则可得或． 25. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． （2）如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 （3）能，秒；30秒；90秒 【解析】 【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴， ； 故答案∶； 【小问2详解】 解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：， ∴ ， ∵ ∴， ， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得：﹔ 【小问3详解】 在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 如图3，是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末教学质量监测 初一年数学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 为培养学生运用人工智能技术解决数学问题的能力，南阳市数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“图形设计大赛”．下列图形是部分参赛作品，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的两条边的长度是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 南阳市医圣祠文化园计划修复古建筑地面，现有传统正方形地砖，打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），则与正方形地砖组合能够铺满地面的是（ ） A. 正五边形 B. 正十二边形 C. 正六边形 D. 正八边形 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？”设物品的价格为y钱，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 9. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 10. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. “x的相反数与5的和是负数”，用不等式可表示为________． 12. 关于x的方程的解为，则a的值为________． 13. 一个正五边形的外角和为________． 14. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 15. 如图，将沿方向平移得到，，则的长是______． 16. 如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程． 18. 求不等式组的所有整数解的和． 19. 已知和是关于的二元一次方程的两组解． （1）求的值； （2）当时，求的值． 20. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，有两条直线m、n和，其中直线于点O，按要求解答． （1）将向右平移5个单位后得到； （2）在直线n上找一点P，使得最小； （3）将绕点O旋转，画出旋转后的． 21. 【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于方程的解是非负数，求的取值范围． 请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于、的方程组的解满足，求的最大整数解． 22. 【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明：因为，所以______（______）． 因为（______）． 所以______（等量代换）即三角形的内角和为． 【解题反思】 平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 （2）如图2，直线穿过正五边形，且，求的度数． 23. 七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 24. 【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． （1）①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； （2）经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 25. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． （2）如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $