精品解析：福建省泉州市晋江市2026年春季期末教学质量监测 初二年数学科试卷

2026年春季期末教学质量监测 初二数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 1. 分式有意义时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点P（﹣1，4）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣4） B. （﹣1，4） C. （1，﹣4） D. （1，4） 4. 在中，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 四边相等 6. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 8. 某校八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了30min，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点是坐标原点，点是边上一点，点，都是轴上的动点，若点，（点在点的左侧），则最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 11. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 13. 已知，则_______． 14. 如图是函数的图象，则点的坐标是____________． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 20. 如图，是菱形的对角线． （1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 21. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务质量等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；比较大小：______（填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由（写出一条即可）； （3）有200家网店店主对乙快递公司的配送速度进行评价，估计配送速度得分不小于8分的有多少个店主？ 22. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 23. 在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． （1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； （2）当四边形是正方形时，求点的坐标． 24. 如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，如果，求的长． （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由； 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和．点是第四象限内一点，连接，过点作交直线于点，且，过点作轴，交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求证：点的横坐标为一定值； （3）如图2，过点作轴，连接，．若，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末教学质量监测 初二数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 1. 分式有意义时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故选：A． 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 3. 点P（﹣1，4）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣4） B. （﹣1，4） C. （1，﹣4） D. （1，4） 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：点A（-1，4）关于x轴对称的点的坐标是（-1，-4）． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4. 在中，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 解得． 5. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 四边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．根据矩形和菱形的性质逐项进行判断． 【详解】解：∵矩形的性质有：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的两条对角线相互平分且相等；③矩形的两组对角分别相等，矩形四个角都为直角； 菱形的性质有：①菱形的两组对边分别平行，菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线相互平分且垂直，菱形的每一对角线分别平分一组对角；③菱形的两组对角分别相等； ∴矩形具有而菱形不一定具有的性质为：对角线相等， 故选：B． 6. 一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限； 故选：B. 【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键. 7. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 8. 某校八年级学生去距学校10km的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了30min，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的4倍，设骑自行车学生的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意有，汽车的速度是， 则有： 故选：A. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，找到双曲线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知：当函数时，自变量x的取值范围为或； 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点是坐标原点，点是边上一点，点，都是轴上的动点，若点，（点在点的左侧），则最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点，，，要使最小，只需要使最小，将点向右平移个单位，得到点，则轴，且，四边形为平行四边形，从而可得，进而得出，作点关于轴的对称点，则，根据轴对称的性质可得，从而可得，根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵点，四边形为正方形， ∴点，，， ∵为定值， ∴要使最小，只需要使最小， 将点向右平移个单位，得到点，则轴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，则， 根据轴对称的性质可得， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴最小时，点的坐标是． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在答题卡上相应题目的答题区域内作答） 11. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而增大， 又点，都在直线上，且， ． 故答案为：． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，利用菱形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图：在菱形中，对角线，，令对角线、相交于点， ， 则，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由得出，从而可得，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图是函数的图象，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分段函数图象，一次函数的性质．由图象获取到点是函数增减性的转折点是解题的关键． 根据点是函数增减性的转折点，则点的横坐标是4，把代入函数解析式计算即可求解． 【详解】解：由图象可知：点是函数增减性的转折点， 点的横坐标是4， 当时，则 ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点P的坐标是， 故方程组的解是， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先左右同乘最简公分母，求出的值，再进行验证即可． 【详解】解：方程左右同乘，得 ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，包括分式的运算、因式分解以及代数式的代入求值，熟练掌握分式的基本运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 首先对代数式进行化简，这包括对分子进行因式分解，将除法转化为乘法，并进行约分，化简后将代入求值． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合题意可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 如图，是菱形的对角线． （1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 21. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务质量等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______；比较大小：______（填“”“”或“”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由（写出一条即可）； （3）有200家网店店主对乙快递公司的配送速度进行评价，估计配送速度得分不小于8分的有多少个店主？ 【答案】（1）；； （2）甲公司，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平均数、方差和众数的定义解答即可； （2）从配送速度和服务质量两方面分析即可得解； （3）用乘以乙快递公司的配送速度进行评价分数不小于8分所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：将甲数据从小到大排列为：6、6、7、7、8、8、9、9、9、10，其中出现的次数最多，故； ， ， ， 故； 【小问2详解】 解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均数相同，但甲的方差明显小于乙，说明甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司； 【小问3详解】 解：（个） 估计配送速度得分不小于8分的有个店主． 22. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在中，______． 求证：______． 证明： 【答案】 解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线． 求证：与互相平分． 证明：如图，连接、， 是边上的中线， 点是的中点， 点、分别是、的中点， 、是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【解析】 【分析】本题考查了数学语言，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理易证四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分，即可证明结论． 【详解】略 23. 在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． （1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； （2）当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，直线： （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，首先求出，得到，，然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点的坐标为；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到是等腰直角三角形，点P和点C关于对称，表示出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 24. 如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，如果，求的长． （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由； 【答案】（1）证明：∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴，， ∴，， ∴，即． （2） （3）解：，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）可知，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作于，根据角的和差关系，结合（1）中结论得出，进而证明，得出，利用勾股定理求出，利用证明，得出，，利用勾股定理求出，即可得出答案； （3）根据矩形的性质得出，根据点是的中点，结合（2）中结论得出是的中位线，根据中位线的性质即可得出． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：略 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和．点是第四象限内一点，连接，过点作交直线于点，且，过点作轴，交轴于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求证：点的横坐标为一定值； （3）如图2，过点作轴，连接，．若，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出直线的解析式； （2）过点作轴，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，设点的坐标为，点的横坐标为，可得方程，解方程求出的值即为点的横坐标； （3）设点的坐标为，根据点的横坐标是，可得，可证是的垂直平分线，根据角之间的关系可知证，证明，由，可得，利用勾股定理可得，可得方程，解方程求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把点和的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，延长交于点， 轴， ， ， ， ， ， , ， 在和中，， ， ， 设点的坐标为，点的横坐标为， ，，， ，， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是； 【小问3详解】 解：如下图所示，延长、交于点，过点作轴于点，连接、， 设点的坐标为， 点的横坐标是， 点的坐标是， ， 过点作， 则四边形为矩形， ， 轴，轴， ， ， 在和中，， ， ， 又， 是的垂直平分线， ， ， ，， 延长交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作于点， 在和中，， ， ，， ， ， 在中，， ，， 是的垂直平分线， ， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $