第08讲 基本不等式第08讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第08讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：基本不等式的推导与证明 知识点02：不等式求最值常用结论 知识点03：基本不等式的实际应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式比较大小 题型02：由基本不等式证明不等关系 题型03：基本不等式求积的最大值 题型04：基本不等式求和的最小值 题型05：基本不等式“1"的妙用求最值 题型06：条件等式求最值 题型07：基本不等式的实际应用 题型08：基本(均值)不等式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】基本不等式的推导与证明 基本不等式:如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立). 【例1】求证：当 时，，并写出等号成立条件。 解：已知 ，则 ，满足重要不等式适用条件。 由重要不等式 ，令 ，代入得： 化简右侧： 等号成立条件：，结合 ，解得 。 结论：原式得证， 时不等式取等号。 【知识点02】不等式求最值常用结论 对于正数a,b,在运用基本不等式时, (1)和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值. (2)取等号的条件 当且仅当a=b时,=. 温馨提示　(1)在利用基本不等式求最值时,必须满足“一正,二定,三相等”. (2)在利用基本不等式求最值时,注意构造和(积)为定值的形式. 【例2】已知 ，求 的最大值，并求出对应 的值。 解：第一步：验证一正 由 ，得 ，满足正数条件。 第二步：判断二定 ，和为定值，适用「和定积最大」结论。 第三步：套用公式计算 化简得： 第四步：验证三相等 当且仅当 时取等号，解得 。 ，等号可取。 最终结论：当 时， 取得最大值 。 【知识点03】基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意,设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【例3】某商家制作一个底面为矩形、高为2m的无盖储物箱，已知储物箱容积为32m³，底面每平方米造价80元，侧面每平方米造价40元，求储物箱底面长、宽为多少时，总造价最低？最低总造价为多少？ 解：1. 设元：设储物箱底面长为 ，宽为 （）。 2. 建模：由容积公式 ，得： 即底面面积为定值16m²。 3. 列总造价公式： 底面造价：； 侧面积：； 侧面造价：； 总造价 ： 4. 代入定值化简：将 代入得： 要使总造价最低，需使 最小。 已知 （积定），由积定和最小得： 5. 验证等号：当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ，符合实际意义。 6. 计算最低造价： 最终结论：当储物箱底面长、宽均为4m时，总造价最低，最低总造价为2560元。 【题型01】由基本不等式比较大小 【典例1-1】已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 【变式1-1】若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令可知④不正确． 故恒成立的个数为个. 故选：C. 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 【变式1-3】已知都是正实数，且，则与的大小关系是_______． 【答案】． 【分析】由基本不等式化简即可求得与的范围，进而得出结果. 【详解】，．而，．． 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式在比较大小中的应用，考查应用能力，属于基础题. 【题型02】由基本不等式证明不等关系 【典例2-1】已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【详解】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 【变式2-1】（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【详解】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 【变式2-2】若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连续使用两次基本不等式即可求证 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时取等号． 【变式2-3】已知，，均为正数，且，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可. 【详解】证明：（1）因为，，均为正数，， 所以，，， 三式相乘，得， 当且仅当时，等号成立． （2）因为，，均为正数，， 所以，，， 三式相加，得， 即， 当且仅当时，等号成立． 【题型03】基本不等式求积的最大值 【典例3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若正数，满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由， 可得，当且仅当时取等号， 即的最大值是. 故选：B 【变式3-2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知实数，若，则的最大值为__________. 【答案】4 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4. 故答案为：4 【变式3-3】已知，且，求的最大值． 【答案】32 【分析】根据基本不等式求最大值． 【详解】∵，且， ∴由基本不等式可得， 当且仅当时，取到最大值64． ∴的最大值为32． 【题型04】基本不等式求和的最小值 【典例4-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）设实数满足，则函数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当即时等号成立， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据用x表示出y，根据可求出，同理可求．将配为，将构造为，利用基本不等式即可求解． 【详解】由可得 显然，故得， ∵，∴，同理． 可化为， 整理得， ∵，，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知正数满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）化简得到，由且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为正数满足，可得，则， 因为是正数，所以， 又由， 当且仅当时，等号成立，所以得最小值为. （2）因为 ， 由（1）知：且， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 【题型05】基本不等式“1"的妙用求最值 【典例5-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“”的妙用求出最小值. 【详解】由正数，满足， 得 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏淮安·期末）若，为正数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】由题知，， 当时，即时，的最小值为. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）9 【分析】（1）利用基本不等式求最小值，注意取值条件； （2）应用基本不等式乘“1”求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. （2）由，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 【题型06】条件等式求最值 【典例6-1】（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 【变式6-3】（1）已知实数，且，求的最小值； （2）已知实数，且，求的最小值. 【答案】（1）64；（2）30. 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）根据已知等式，可以用含的代数式表示，然后运用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由可得，即，当且仅当 时取等号，即当时，的最小值为64； （2）.所以， 所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值为30 【题型07】基本不等式的实际应用 【典例7-1】某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 【变式7-1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 【变式7-2】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 【答案】当工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 【分析】先由题意设出运费和仓储费的解析式，条件代入确定运费与仓储费之和的表达式，运用基本不等式求解即得. 【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，运费与仓储费之和为万元. 依题意可设，. 时，， 解得： ， 因，由，当且仅当， 即时，取得最小值，最小为20万元. 所以当工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 【变式7-3】某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 【题型08】基本(均值)不等式的应用 【典例8-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 【变式8-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：ACD 【变式8-2】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）设为实数，若，则的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式的应用求解即可. 【详解】 ， ，当且仅当时，等号成立， 可得， 时取最大值， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式8-3】如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)240 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 知识点01核心不等式公式体系（必背） 1. 实数域通用重要不等式 对任意实数 ，恒有： 取等条件：当且仅当 时等号成立。 推导依据：由完全平方非负性 展开移项可得，对全体实数成立，无定义域限制。 2. 基本不等式（均值不等式） 对任意正数 ，有： 名词定义 ：正数 的算术平均数； ：正数 的几何平均数。 核心结论：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。 取等条件：当且仅当 时等号成立。 定义域限制：必须保证 均为正数，负数、零均不可直接使用。 知识点02基本不等式常用变形公式 前提：，所有变形公式均由核心公式推导而来，解题高频使用： 1. 2. 3. 4. 知识点03基本不等式求最值核心结论 使用铁律：一正、二定、三相等（缺一不可，解题首要验证） 一正：参与运算的变量均为正数； 二定：变量的和或积为定值； 三相等：等号成立条件在变量取值范围内可实现。 1. 积定和最小 若 ，且积 （ 为定值），则和的最小值为： ，当且仅当 时取得最小值。 2. 和定积最大 若 ，且和 （ 为定值），则积的最大值为： ，当且仅当 时取得最大值。 知识点04基本不等式实际应用解题流程 1. 设元建模：根据实际问题设正数变量，明确变量实际意义； 2. 梳理关系：结合题干条件，推导变量之间的等量关系，构造和或积为定值的结构； 3. 不等式求解：套用最值核心结论，求解目标式子的最大值或最小值； 4. 验证条件：检验等号成立条件是否符合实际场景与变量取值范围； 5. 规范作答：回归实际问题，写出最终结论。 知识点05高频易错点总结（考场避坑） 1. 忽略正数条件：基本不等式仅适用于正数，若变量为负，需先变形为正数再求解； 2. 忽略定值条件：和、积无定值时，不能直接用基本不等式求最值，需凑配定值结构； 3. 忽略取等条件：未验证等号能否取到，是最常见失分点，取不到等号则需用函数单调性求解； 4. 公式混淆：重要不等式适用于全体实数，基本不等式仅适用于正数，不可混用。 一、单选题 1．若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【详解】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据得到，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 3．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由权方和不等式可得结果， 【详解】由权方和不等式，可知 = =， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B. 5．（2025高一上·江苏·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基本不等式，可解决D. 【详解】对于A：因为且， 所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A正确； 对于B：因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C错误； 对于D：令，则 所以， 又因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 因此，则， ，故D正确. 故选：C. 6．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 7．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 8．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【详解】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 二、多选题 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【分析】本题考查基本不等式的应用，结合已知等式变形后代入基本不等式，或通过特值法逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 10．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故A正确； 当时，由于在的区间上单调递增，所以，故B错误； 当时，，当且仅当时取等号，故C正确； 当时，的值一定小于，故D错误； 故选：AC 11．（25-26高一上·湖南株洲·期中）设正实数，满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 【答案】 【分析】由，将拆分为，由基本不等式得到；对于，将拆分为，则由基本不等式，，故. 【详解】由，将拆分为，则， 根据基本不等式，，， 两式相加得，故，等号成立当且仅当，， 代入，得，即，此时 对于，将拆分为，则， 由基本不等式，，， 两式相加得，故， 等号成立当且仅当，，代入，得， 即，此时， 故答案为：； 14．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 【答案】 【分析】对式子变形，利用基本不等式可得，结合取等条件代入，再根据二次型函数最值求解． 【详解】解：， 即， 故，当且仅当时等号成立， 此时， 当，即时，取得最小值 四、解答题 15．已知，都是正实数，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 16．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当矩形的宽为多少时，的面积最大？并求出这个最大值. 【答案】， 【分析】（法一）由题意证得，则，设，则，由基本不等式求出的最大值，即可求解.（法二）由题意证得，则，设，则，在中，结合勾股定理，列出方程求得，进而得到，表示出的面积结合基本不等式求解即可. 【详解】解：（法一）设翻折后，点的落点为，则， 所以在和中，有， 所以，所以，    设，则， 因矩形周长为，所以 所以， 由基本不等式可得 当且仅当时“”成立.此时. 故， 所以当矩形的宽为时，的最大值为 （法二）设翻折后，点的落点为，则，    所以在和中，有， 所以，所以. 设，则， 则 在中，，即， 化简得：， 所以， 所以 当且仅当时等号成立. 所以当矩形的宽为时，的最大值为 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某校要建造一间的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为1200元，房屋侧面的造价为800元，屋顶的造价为10000元.如果墙高，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长为多少时，长方形小房的造价最低？最低造价是多少？ 【答案】当长为时造价最低，最低总造价是元. 【分析】设底面的长为，宽，表示出房屋总造价为，利用基本不等式即可得出． 【详解】设底面的长为，宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 当且仅当，即，此时造价最低. 综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 18．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用代换1法，结合基本不等式求最小值； (2)利用等式，结合基本不等式来求最大值. 【详解】（1）由可得：， 因为， 所以， 当且仅当时取等号. 即的最小值为； （2）由，可知， 又因为，所以有， 令，则有， 解得，故， 此时当且仅当取等号，即的最大值. 19．（24-25高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1)；点P在BD中点时，四边形面积取最大值. (2)点P在BD中点时，四边形面积取最大值 【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值； （2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）在矩形中，，， ∴，，∵，， ∴， ，∴，                                       因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. （2）由（1）可知， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：基本不等式的推导与证明 知识点02：不等式求最值常用结论 知识点03：基本不等式的实际应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式比较大小 题型02：由基本不等式证明不等关系 题型03：基本不等式求积的最大值 题型04：基本不等式求和的最小值 题型05：基本不等式“1"的妙用求最值 题型06：条件等式求最值 题型07：基本不等式的实际应用 题型08：基本(均值)不等式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】基本不等式的推导与证明 基本不等式:如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立). 【例1】求证：当 时，，并写出等号成立条件。 【知识点02】不等式求最值常用结论 对于正数a,b,在运用基本不等式时, (1)和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值. (2)取等号的条件 当且仅当a=b时,=. 温馨提示　(1)在利用基本不等式求最值时,必须满足“一正,二定,三相等”. (2)在利用基本不等式求最值时,注意构造和(积)为定值的形式. 【例2】已知 ，求 的最大值，并求出对应 的值。 【知识点03】基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意,设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【例3】某商家制作一个底面为矩形、高为2m的无盖储物箱，已知储物箱容积为32m³，底面每平方米造价80元，侧面每平方米造价40元，求储物箱底面长、宽为多少时，总造价最低？最低总造价为多少？ 【题型01】由基本不等式比较大小 【典例1-1】已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【变式1-1】若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知都是正实数，且，则与的大小关系是_______． 【题型02】由基本不等式证明不等关系 【典例2-1】已知，都是正数，求证：. 【变式2-1】（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【变式2-2】若，，求证：． 【变式2-3】已知，，均为正数，且，求证： （1）； （2）． 【题型03】基本不等式求积的最大值 【典例3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若正数，满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知实数，若，则的最大值为__________. 【变式3-3】已知，且，求的最大值． 【题型04】基本不等式求和的最小值 【典例4-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）设实数满足，则函数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，且，则的最小值为___________． 【变式4-3】（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知正数满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【题型05】基本不等式“1"的妙用求最值 【典例5-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏淮安·期末）若，为正数，且，则的最小值为______. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知，，且，求的最小值． 【题型06】条件等式求最值 【典例6-1】（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）若，，，则的最小值为_____. 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式6-3】（1）已知实数，且，求的最小值； （2）已知实数，且，求的最小值. 【题型07】基本不等式的实际应用 【典例7-1】某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【变式7-2】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 【变式7-3】某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【题型08】基本(均值)不等式的应用 【典例8-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式8-1】（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式8-2】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）设为实数，若，则的最大值是__________． 【变式8-3】如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 知识点01核心不等式公式体系（必背） 1. 实数域通用重要不等式 对任意实数 ，恒有： 取等条件：当且仅当 时等号成立。 推导依据：由完全平方非负性 展开移项可得，对全体实数成立，无定义域限制。 2. 基本不等式（均值不等式） 对任意正数 ，有： 名词定义 ：正数 的算术平均数； ：正数 的几何平均数。 核心结论：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。 取等条件：当且仅当 时等号成立。 定义域限制：必须保证 均为正数，负数、零均不可直接使用。 知识点02基本不等式常用变形公式 前提：，所有变形公式均由核心公式推导而来，解题高频使用： 1. 2. 3. 4. 知识点03基本不等式求最值核心结论 使用铁律：一正、二定、三相等（缺一不可，解题首要验证） 一正：参与运算的变量均为正数； 二定：变量的和或积为定值； 三相等：等号成立条件在变量取值范围内可实现。 1. 积定和最小 若 ，且积 （ 为定值），则和的最小值为： ，当且仅当 时取得最小值。 2. 和定积最大 若 ，且和 （ 为定值），则积的最大值为： ，当且仅当 时取得最大值。 知识点04基本不等式实际应用解题流程 1. 设元建模：根据实际问题设正数变量，明确变量实际意义； 2. 梳理关系：结合题干条件，推导变量之间的等量关系，构造和或积为定值的结构； 3. 不等式求解：套用最值核心结论，求解目标式子的最大值或最小值； 4. 验证条件：检验等号成立条件是否符合实际场景与变量取值范围； 5. 规范作答：回归实际问题，写出最终结论。 知识点05高频易错点总结（考场避坑） 1. 忽略正数条件：基本不等式仅适用于正数，若变量为负，需先变形为正数再求解； 2. 忽略定值条件：和、积无定值时，不能直接用基本不等式求最值，需凑配定值结构； 3. 忽略取等条件：未验证等号能否取到，是最常见失分点，取不到等号则需用函数单调性求解； 4. 公式混淆：重要不等式适用于全体实数，基本不等式仅适用于正数，不可混用。 一、单选题 1．若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 3．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一上·江苏·专题练习）已知且，则下列选项不正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 6．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 二、多选题 9．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 10．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 11．（25-26高一上·湖南株洲·期中）设正实数，满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值 三、填空题 12．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知a，b，，，则（1）最大值为______；（2）的最大值为______． 14．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 四、解答题 15．已知，都是正实数，证明：. 16．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当矩形的宽为多少时，的面积最大？并求出这个最大值. 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某校要建造一间的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为1200元，房屋侧面的造价为800元，屋顶的造价为10000元.如果墙高，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长为多少时，长方形小房的造价最低？最低造价是多少？ 18．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 19．（24-25高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $