河南南阳市2025-2026学年高一下学期期终质量评估数学试题

2026年春期高一期终质量评估 数学参考答案及评分细则 一、选择题： 二、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C D A C C BCD AD ACD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）由，，得：． 2分 因为为纯虚数，所以，解得：． 6分 （2）（方法一）由，，得：． 8分 所以． 13分 （方法二）． 13分 （方法三）． 8分 因为，所以 ， 12分 所以． 13分 16．解：（1）证明：（方法一）连接交于，连接． 1分 因为三棱柱为正三棱柱，所以为矩形，所以为的中点． 因为点为的中点，所以． 4分 因为平面，平面，所以平面． 6分 （方法二）取的中点，连接，，可以证明平面平面，即可得到平面． （2）（方法一）设点到平面距离为．连接． 7分 在正三棱柱中，由，，点为的中点， 则． 9分 因为，，，所以平面，则 ． 11分 因为，， 所以． 13分 又因为，所以，解得：， 所以点到平面的距离为． 15分 （方法二）因为点为的中点，所以点到平面距离等于点到平面距离． 7分 由正三棱柱中，点为的中点，则，，由，可得：平面，所以平面平面． 过作于，则平面，所以即为到平面距离． 10分 在中，由，，则． 又因为，所以，所以点到平面的距离为． 15分 17．解：（1）由，，且得：， 1分 由正弦定理得：． 3分 因为，所以，所以， 整理化简得：． 6分 因为，所以，所以，所以． 7分 因为，所以． 8分 （2）因为的面积为，所以，所以． 10分 由余弦定理得：，所以， 12分 所以． 14分 所以的周长为． 15分 （没有化成最简结果，答案是的扣1分） 18．解：（1）由图知，得：，即 1分 将代入得：，即，， 因为，所以，， 3分 所以． 4分 （2）（方法一）由（1）知， 则． 5分 ． 6分 因为， 所以． 7分 因为，即所以，即， 所以在上的值域为． 10分 （方法二）由（1）知，则 5分 6分 则， 7分 因为，即，所以，即， 所以在上的值域为． 10分 附：化简后得到求解正确也给分． （3）由题知， 11分 则，由和差化积得：． 12分 令即，则或． 13分 当时，，，即，． 因为，所以，化简得：，， 则，或，． 15分 当时，，，即，，因为，所以， 化简得：，，此时不存在，即无解． 16分 故在上的零点之和为． 17分 19．解：（1）在四棱锥中，侧棱长均为2，，， ．所以，，均为边长为2的等边三角形． （方法一）分别取，的中点，，连接，，，则 ，． 2分 因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以． 3分 又因为，平面，平面，所以平面． 4分 因为平面，所以平面平面． 5分 （方法二）取的中点，连接，，． 因为，为边长为的等边三角形，所以，，且，所以为二面角的平面角． 2分 在等腰梯形中，过，分别作，垂直于，．因为，，所以，所以． 在中，由余弦定理得：，即，所以 在中，，，所以，所以， 4分 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 5分 （方法三）也可以延长，交于，连接，由证明出，同理可得，即可证明平面，由平面，即可证明平面平面． （2）分别取，的中点，，连接，，． 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形， 所以，，所以为二面角的平面角． 7分 因为的边长为，所以． 在等腰梯形中，因为，，所以． 在中，，，所以． 在中，，，设，由余弦定理得： ． 所以二面角的平面角的余弦值为． 10分 （3）记直线与平面所成角为，设点到平面的距离为，则，要使直线与平面所成角最大，则只需要最大，即最小． 由（1）方法1知：，平面，则平面．过作于， 因为平面，所以．因为，所以平面．又因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面距离等于点到平面距离，即为． 在等边中，为中点，，所以． 13分 由平面，平面，则，因为，， 所以平面，因为平面，所以，所以取最小值时，点与重合． 连接，在等边中，为中点，则，因为，为中点， 所以是的中点，即是靠近点的四等分点 ， 所以当点在线段靠近点的四等分点处时，直线与平面所成角最大． 15分 在等边，等边中，为中点，， 则，， 则在中，，所以． 综上所述：当点在线段靠近点的四等分点处时，直线与平面所成角最大， 其正弦值为． 17分 附：用等体积法求出也给分． 学科网（北京）股份有限公司 $ ___________县（市、区） ___________学校__________ 班级 姓名______________ 2026年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的值为 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（北师大版必修）若一个水平放置的等边三角形的边长为2，则其斜二测直观图的面积为 A． B． C． D． 4．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知角，，，则 A． B． C． D． 5．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，且，，则 D．若，，且，，则 6．已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为 A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在中，，F为线段上的一点，，若E为的中点，则 A． B． C． D． 8．已知，且，则的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则 A． B．与夹角为 C． D．在上的投影向量为 10．（北师大版必修）如图所示的圆锥中，，的直径，点C在上，且，点D为中点，则 A．平面 B．圆锥的侧面积为 C．异面直线与的夹角为 D．与平面夹角的正弦值为 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若是锐角三角形，则 B．若是直角三角形，则 C．若，则是钝角三角形 D．当，，时，若O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（北师大版必修）一个物体在大小为的力F的作用下产生大小为的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功_____________J． 13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________． 14．在中，角为锐角，若，则的最大值为______________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，， （1）若为纯虚数，求的值； （2）求． 16．（15分） （北师大版必修）已知正三棱柱，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17．（15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 18．（17分） 已知的部分图像如图所示． （1）求解析式； （2）若，求在上的值域； （3）若把图像向右平移个单位后得到函数的图像，设，求在上的零点之和． 19．（17分） 在四棱锥中，侧棱长均为2，，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成角最大？并求出最大角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $