精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高一下学期期终质量评估数学试题

2025年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（ ） A. 将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B. 将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C. 将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D. 将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 5. （ ） A. B. C. D. 6. 如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（ ） A. 60° B. 90° C. 45°或60° D. 60°或90° 7. 已知向量，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（ ） A. 18π B. 20π C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为_________cm2. 13. 已知圆内接四边形中， 则四边形的面积为 . 14. 设，已知，则______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. （1）在虚轴上； （2）在第三象限． 16. 已知函数的最小正周期为，且 （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域. 17. 如图，直线垂直于所在的平面，内接于，且为的直径，点为线段的中点. （1）求证：; （2）若，求二面角的平面角的正切值. 18. 已知的内角、、的对边分别为、、，． （1）求； （2）若，求． 19. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点. （1）求证：平面 （2）若满足 ①求证：平面平面 ②是否存在实数，使得三棱锥的体积为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算性质化简求解复数即可. 【详解】由复数的运算性质得 ，故B正确. 故选：B 2. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角三角函数的定义求出和，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 结合任意角三角函数的定义得， ， 由二倍角公式得，故A正确. 故选：A 3. 函数在上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】用辅助角公式化为，且，再令求解即得. 【详解】. ，. 令得，∴或或. 所以或或 故选：C. 4. 检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（ ） A. 将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B. 将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C. 将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D. 将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】 故选：A. 6. 如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（ ） A. 60° B. 90° C. 45°或60° D. 60°或90° 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的平行线交平面于点，连接，，得到平行四边形，在中，计算即得到异面直线与所成的角. 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意； 综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 故选：B. 7. 已知向量，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由题意可得， 所以， 故当时，取得最小值. 故选：C 8. 已知锐角满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB：根据两角和差的正弦公式计算判断；对于C：切化弦求解判断；对于D根据两角和的正切公式化简结合选项C判断. 【详解】对于AB：因为，， 所以，， 故AB正确； 对于C：因为，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：ABC. 11. 若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（ ） A. 18π B. 20π C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设四面体为，四面体为的外接球的球心为，半径为，分三种情况讨论①若其中一组对棱相等且长度为2，其余棱长为4，②若一条棱长，其余各棱棱长均为4，③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为4，是边长为2的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点距离相等列式可求半径，进而得到四面体外接球的表面积. 【详解】设四面体为，四面体为的外接球的球心为，半径为，表面积为. 分以下几种情况讨论： ①若其中一组对棱相等，不妨设，其余各棱棱长均为4，取的中点，连接. ∵，，为的中点，故，, ∴， ∴，, 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得， 所以 ②若，其余各棱棱长均为4，取的中点，连接、， 因为，为的中点，故，,， ∴，, 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得， 所以 ③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为4，是边长为2的等边三角形， 设顶点在底面内的射影点为，连接、， 则是底面正三角形的中心，且， 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得. 所以 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为_________cm2. 【答案】. 【解析】 【分析】根据斜二测画法的作图规则，得出原图形，进而解得原图形的面积. 【详解】根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示， 其中，根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图， 原图形是平行四边形，其中，, 所以原图形的面积. 故答案为：. 13. 已知圆内接四边形中， 则四边形的面积为 . 【答案】 【解析】 【详解】连接BD,圆内接四边形对角互补，，利用余弦定理, 得, ∴, 四边形面积. 故答案为：. 14. 设，已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数取最大值的条件求出辅助角的正余弦，利用差角的余弦求得答案. 【详解】依题意，，其中锐角由确定， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此，， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. （1）在虚轴上； （2）在第三象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可. （2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在虚轴上，则满足，所以解得. 【小问2详解】 因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在第三象限，则满足，所以解得. 16. 已知函数的最小正周期为，且 （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简可得，由周期求出，由求得a，则有，利用整体代换法求其递减区间； （2）利用整体代换并结合正弦函数性质求解值域即可. 【小问1详解】 ，因为的最小正周期为，所以，即， 又，所以，所以， 令，解得， 所以函数单调递减区间为； 【小问2详解】 设，因为，所以，所以， 所以的值域为 17. 如图，直线垂直于所在的平面，内接于，且为的直径，点为线段的中点. （1）求证：; （2）若，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为平面，且平面， 所以， 又因为为圆的直径，且点在圆上， 所以， 又 所以平面 又平面 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）直线与平面垂直的判定及性质可证明； （2）取的中点，连接，确定即为二面角的平面角.根据题意结合可求，再在中，计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的中点，，， 所以 取的中点，连接，则，∥，∥， ∵，∴ 所以即为二面角的平面角. ∵， ∴，，， ∵平面，平面， ∴， ∵∥，∴. 在中，. 所以二面角的平面角的正切值为. 18. 已知的内角、、的对边分别为、、，． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理将角化边，即可得证； （2）由余弦定理及（1）的结论得到，即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式公式求出，再由诱导公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 即， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，又，可得， 所以，即为等腰三角形， 由，解得或， 因为，所以，所以， 所以. 19. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点. （1）求证：平面 （2）若满足 ①求证：平面平面 ②是否存在实数，使得三棱锥的体积为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②存在； 【解析】 【分析】（1）合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再结合线面平行的判定定理求解即可. （2）①应用线面垂直的性质、判定定理可得平面, 从而得到, 根据 和 得到, 再利用线面垂直的判定定理得到平面，最后结合面面垂直的判定定理证明目标命题即可，②先利用等体积公式得到，再结合三角形面积公式得到，再合理构造辅助线，利用线面垂直的判定定理得到面，求出点到平面的距离，最后依据三棱锥体积公式结合给定条件建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 如图，连接，与交于点，由正三棱柱性质得四边形是矩形， 由矩形的性质得为的中点，连接，    因为为的中点，为棱的中点，所以是的中位线， 故由中位线定理得， 因为面，面，所以平面. 【小问2详解】 ①由正三棱柱性质得面，面， 因为底面平面，所以， 又为棱的中点，，所以， 因为平面， 所以平面，而平面，故， 因为, 所以，又， 在Rt和Rt中，， 所以，即， 得到，又， 平面，故平面， 因为面，所以平面平面. ②由题意得，因为， 且为棱的中点，所以，由勾股定理得， 因为，所以， 而面，面，故， 由三角形面积公式得， 如图，找中点，连接，由正三棱柱性质得，， 而，面，则面， 即面，且，可得到面的距离为， 因为三棱锥的体积为，所以， 解得，故的值存在，且为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $