2.2 基本不等式讲义 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学基本不等式单元复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，从基本不等式定义、算术与几何平均数入手，结合几何法（圆直径和弦图）与代数法推导过程，明确“一正二定三取等”求最值条件，用结论列表呈现常用变形及均值不等式链，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖比较大小、构造定值求最值、“1”妙用（权方和不等式）等七类题型，如利用“1”代换求最值培养数学思维，结合实际问题（垃圾池造价、利润计算）发展数学眼光与应用意识。基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师精准教学，学生自主复习时可按需突破。

2.2 基本不等式 【题型一】利用基本不等式比较大小 3 【题型二】由基本不等式构造和为定值求积的最值 6 【题型三】 由基本不等式构造积为定值求和的最值 11 【题型四】 利用基本不等式证明不等式 14 【题型五】利用基本不等式解决恒成立问题 19 【题型六】基本不等式“1”妙用 （权方和不等式） 23 【题型七】基本不等式的应用 26 【基础回顾】 知识点1:基本不等式 如果,则（当且仅当时取“”）.通常称这个不等式为基本不等式. 知识点2:算术平均数与几何平均数 给定两个正数,,称为,的算术平均值;称为,的几何平均值. 基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点3:基本不等式的推导过程 （1）几何法: 如图,是圆的直径,点是上一点,.过点作垂直于 的弦,连接,.可证,因而.由于小于或 等于圆的半径,用不等式表示为.显然,当且仅当点与圆心重合,即时,上述不等式的等号成立. （2）代数法: 对于实数,有不等式（当且仅当时取等号“=”）恒成立. 即,可得 特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得: 即（当且仅当时取等号“=”） 故可得:如果,则（当且仅当时取“”） 知识点4:利用基本不等式求最值 （1）在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正二定三取等. ①一正:各项均为正数;（异号不能使用基本不等式,同负号可先转化为同正,再使用基本不等式） ②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:含变数的各项均相等,取得最值. （2）积定和最小,和定积最大 ①设为正实数,若（和为定值）,则当时,积有最大值,且这个值为. ②设为正实数,若（积为定值）,则当时,和有最小值,且这个值为. 知识点5:由基本不等式变形得到的常用结论 ▶结论1:（） 证明:由,不等式两侧同时加,可得,即,即, 故可得 ① 由,不等式两侧同时加,可得,即 ,故可得, 即 ② 结合①②可得（） ▶结论2:（） 证明:由结论1可知,当,根据不等式性质的可开方性质,可对该不等式进行开方,可得（） ▶结论3:（同号） 证明:若同号,则与同正,根据不等式,可得（当且仅当时取等号“=”） ▶结论4:（异号） 证明:若异号,则与同负,, 与同正,根据基本不等式,可得,故 ▶结论5:（） 证明:由,,,相加可得 ,即. 知识点6:重要的均值不等式链 若,则.（当且仅当时取“”） 即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 知识点7:基本不等式的推广 （,,均为正实数,当且仅当时,等号成立） 【练题型】 【题型一】利用基本不等式比较大小 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，则， 因为 ，所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 3．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 4．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，此时，即推不出； 因为，，所以，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 5．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 6．（25-26高一上·安徽合肥·月考）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B 7．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A （多选）8．（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． （多选）9．（25-26高一上·安徽·月考）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. （多选）10．（25-26高一上·河南郑州·期中）设，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】A：由，结合不等式的性质有，对； B：若，则，错； C：由，则，则，对； D：由题设，，则， 当且仅当，即时取等号，故，对. 故选：ACD 【题型二】由基本不等式构造和为定值求积的最值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为是正实数，且满足， 所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故选：C 4．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 5．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 6．（25-26高一上·山西·期末）若正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，． 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D 7．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当且仅当等号成立. 故选：A. （多选）8．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. （多选）9．（25-26高一下·山东德州·月考）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 【答案】ABD 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即最小值为，故B正确； 对于C：设，平方得： ， 因为，因此，即， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即时等号成立，此时有最小值为，故D正确. （多选）10．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由题意得且， 对A，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，最大值为，A错误 对B，，， 所以，当且仅当即等号成立，最小值为，B正确 对C，代入得开口向上，对称轴，代入得最小值为，C错误 对D，代入得， 令，则 其中，当且仅当即时取等号， 所以 即的最小值为，D正确 【题型三】 由基本不等式构造积为定值求和的最值 1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 2．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，且， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 4．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 6．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 7．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. （多选）8．（25-26高三下·江西·月考）若均为实数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为2 【答案】AC 【详解】选项A：，，， ，故A正确； 选项B：令，满足， 则，此时，故B错误； 选项C：已知，且， 则， 当且仅当时等号成立， 的最小值为，故C正确； 选项D：已知，且，则， ，开口向上，对称轴为， ， 的最小值为2，无最大值，故D错误． （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 【题型四】 利用基本不等式证明不等式 1．（2027高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为和同号，所以． 故选：C. 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以可得，，， 则，即， 所以，故A错误； 对于B，令，则，则，故B错误; 对于C，根据均值不等式，当且仅当时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则，故C错误; 对于D，因为，所以，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，则，故D正确. 故选：D 4．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 5．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，则，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，当，，则，错误； 对于D：若，则，所以，正确. 故选：D. （多选）8．（25-26高二下·湖南株洲·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：， 因为，所以， 又因为，所以， 即.因此，A为真命题； 选项B：取，，满足， 计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题； 选项C：由基本不等式，得：（）， 两边取倒数得，再乘以得， 由于，等号不成立，故.因此，C为真命题； 选项D：由，得且， ，即. 因此，D为真命题. （多选）9．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，因为，所以 由，可得，解得， 又，当且仅当时，等号成立， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 选项B，由，利用基本不等式， 由得， 则， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，，又， 所以，由， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由配方得， 则，即， 可解得，又， 所以，因为，故D不正确； 故选：ABC. （多选）10．（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 【题型五】利用基本不等式解决恒成立问题 对于利用基本不等式求最值问题,方法较多,有拼凑法,常数代换法等.重点方法会在下一节专题中进行深度总结分析.本节习题较为综合,有条件的同学可在总结掌握完方法后,再进行本节内容的练习. 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【详解】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】当时，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 5．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 7．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. （多选）8．（25-26高一上·云南昭通·月考）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． （多选）9．（25-26高一上·山东日照·月考）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. （多选）10．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ACD 【详解】，， ， 当且仅当①时，等号成立， 其中，， 当且仅当，，即，时，等号成立， 此时，即①式成立， 综上，， 又（）， 故，解得或， 实数a取值可能为2，，，ACD正确，B错误. 故选：ACD 【题型六】基本不等式“1”妙用 （权方和不等式） 1．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为实数，满足， 对于A：取，此时，命题不成立，故A错误； 对于B：由，所以， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：，所以不存在，使成立，故C错误； 对于D：由可得，所以， 故不存在，使得，故D错误． 2．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 3．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 4．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 【答案】C 【详解】由，可得，所以， 故 ， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 6．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，即，则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 则，所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，当时，取得最小值. 7．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. （多选）8．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. （多选）9．（25-26高一下·河南商丘·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 【答案】BC 【详解】对于A，由，得 ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，，得， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，则， 当且仅当，即时取等号，D错误. （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 【题型七】基本不等式的应用 1．（22-23高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 4．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 5．（25-26高一上·福建莆田·月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 6．（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 7．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 8．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 9．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以 ， 故答案为：. 课时精练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·月考）已知都是正实数，若，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】由可知，，则 ，根据基本不等式可知，，解得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 2．（四川绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试数学试题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 3．（25-26高三下·山东青岛·月考）设都是正数，则的最小值是（　　） A．12 B．16 C．26 D．36 【答案】B 【详解】由都是正数，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 4．（25-26高一下·江苏南京·月考）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 5．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 8．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题 （多选）9．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC （多选）10．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·月考）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． （多选）11．（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 三、填空题 12．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 13．（25-26高一下·重庆·月考）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 14．（25-26高一上·安徽淮北·月考）下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 【答案】②③④ 【详解】对于①，， 若，则有，方程无解，所以等号取不到，最小值不是2，①错； 对于②，当时，有， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③，当时，有，则， 当且仅当，即时等号成立，③正确； 对于④，正数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立，④正确. 四、解答题 15．（25-26高一下·江苏盐城·月考）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 16．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 17．（25-26高一下·广东江门·月考）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 18．（25-26高一下·安徽·开学考试）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 19．（2025高三·全国·竞赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【答案】 【详解】由题意知为正实数， 则 ， 当且仅当，即时等号成立； 而， 故 ， 等号成立时． 结合不等式对所有正实数都成立， 则，即， 所以的最大值为． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 【题型一】利用基本不等式比较大小 3 【题型二】由基本不等式构造和为定值求积的最值 4 【题型三】 由基本不等式构造积为定值求和的最值 5 【题型四】 利用基本不等式证明不等式 7 【题型五】利用基本不等式解决恒成立问题 8 【题型六】基本不等式“1”妙用 （权方和不等式） 9 【题型七】基本不等式的应用 10 【基础回顾】 知识点1:基本不等式 如果,则（当且仅当时取“”）.通常称这个不等式为基本不等式. 知识点2:算术平均数与几何平均数 给定两个正数,,称为,的算术平均值;称为,的几何平均值. 基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点3:基本不等式的推导过程 （1）几何法: 如图,是圆的直径,点是上一点,.过点作垂直于 的弦,连接,.可证,因而.由于小于或 等于圆的半径,用不等式表示为.显然,当且仅当点与圆心重合,即时,上述不等式的等号成立. （2）代数法: 对于实数,有不等式（当且仅当时取等号“=”）恒成立. 即,可得 特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得: 即（当且仅当时取等号“=”） 故可得:如果,则（当且仅当时取“”） 知识点4:利用基本不等式求最值 （1）在用基本不等式求函数的最值时,要满足三个条件:一正二定三取等. ①一正:各项均为正数;（异号不能使用基本不等式,同负号可先转化为同正,再使用基本不等式） ②二定:含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:含变数的各项均相等,取得最值. （2）积定和最小,和定积最大 ①设为正实数,若（和为定值）,则当时,积有最大值,且这个值为. ②设为正实数,若（积为定值）,则当时,和有最小值,且这个值为. 知识点5:由基本不等式变形得到的常用结论 ▶结论1:（） 证明:由,不等式两侧同时加,可得,即,即, 故可得 ① 由,不等式两侧同时加,可得,即 ,故可得, 即 ② 结合①②可得（） ▶结论2:（） 证明:由结论1可知,当,根据不等式性质的可开方性质,可对该不等式进行开方,可得（） ▶结论3:（同号） 证明:若同号,则与同正,根据不等式,可得（当且仅当时取等号“=”） ▶结论4:（异号） 证明:若异号,则与同负,, 与同正,根据基本不等式,可得,故 ▶结论5:（） 证明:由,,,相加可得 ,即. 知识点6:重要的均值不等式链 若,则.（当且仅当时取“”） 即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 知识点7:基本不等式的推广 （,,均为正实数,当且仅当时,等号成立） 【练题型】 【题型一】利用基本不等式比较大小 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽合肥·月考）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． （多选）8．（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 （多选）9．（25-26高一上·安徽·月考）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·河南郑州·期中）设，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型二】由基本不等式构造和为定值求积的最值 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 4．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 6．（25-26高一上·山西·期末）若正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一下·山东德州·月考）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 （多选）10．（2026·重庆·模拟预测）已知为直线：在第一象限内的一点，则下列结论正确的是（） A．的最大值为2 B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为 【题型三】 由基本不等式构造积为定值求和的最值 1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 6．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 7．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． （多选）8．（25-26高三下·江西·月考）若均为实数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为2 （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 （多选）10．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【题型四】 利用基本不等式证明不等式 1．（2027高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 3．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高二下·湖南株洲·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （多选）9．（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【题型五】利用基本不等式解决恒成立问题 对于利用基本不等式求最值问题,方法较多,有拼凑法,常数代换法等.重点方法会在下一节专题中进行深度总结分析.本节习题较为综合,有条件的同学可在总结掌握完方法后,再进行本节内容的练习. 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 4．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·云南昭通·月考）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 （多选）9．（25-26高一上·山东日照·月考）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 （多选）10．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）对任意实数，，不等式恒成立，则实数a取值可能（   ） A．2 B．4 C． D． 【题型六】基本不等式“1”妙用 （权方和不等式） 1．（2026·宁夏银川·一模）已知实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 4．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 6．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（    ） A． B．2 C．6 D．4 7．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 （多选）8．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一下·河南商丘·月考）下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．ab的最大值为 C．的最小值是 D．的最小值是 【题型七】基本不等式的应用 1．（22-23高一上·安徽黄山·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 4．（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 5．（25-26高一上·福建莆田·月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 8．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 9．（25-26高一上·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·月考）已知都是正实数，若，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（四川绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试数学试题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三下·山东青岛·月考）设都是正数，则的最小值是（　　） A．12 B．16 C．26 D．36 4．（25-26高一下·江苏南京·月考）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（25-26高二上·湖南永州·月考）已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 （多选）10．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·月考）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． （多选）11．（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 三、填空题 12．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 13．（25-26高一下·重庆·月考）已知正实数满足，则的最小值为__________． 14．（25-26高一上·安徽淮北·月考）下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 四、解答题 15．（25-26高一下·江苏盐城·月考）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 16．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 17．（25-26高一下·广东江门·月考）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 18．（25-26高一下·安徽·开学考试）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 19．（2025高三·全国·竞赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 【题型一】 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】AC 10．【答案】ACD 【题型二】由基本不等式构造和为定值求积的最值 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 【题型三】 由基本不等式构造积为定值求和的最值 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】ACD 10．【答案】BCD 【题型四】 利用基本不等式证明不等式 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】ABC 10．【答案】ACD 【题型五】利用基本不等式解决恒成立问题 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】BCD 10．【答案】ACD 【题型六】基本不等式“1”妙用 （权方和不等式） 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】BC 10．【答案】ABC 【题型七】基本不等式的应用 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 9．【答案】 10 8 【答案】 10 8 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 10． 【答案】 【答案】 【详解】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以 ， 故答案为：. 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】AC 10．【答案】CD 11．【答案】ABD 12．【答案】 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 13．【答案】/ 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 14．【答案】②③④ 【详解】对于①，， 若，则有，方程无解，所以等号取不到，最小值不是2，①错； 对于②，当时，有， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③，当时，有，则， 当且仅当，即时等号成立，③正确； 对于④，正数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立，④正确. 15．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 16．【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 17．【答案】(1)9； (2). 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 18．【答案】（1）；（2）4 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 19．【答案】 【详解】由题意知为正实数， 则 ， 当且仅当，即时等号成立； 而， 故 ， 等号成立时． 结合不等式对所有正实数都成立， 则，即， 所以的最大值为． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $