4.2 指数函数 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学指数函数复习讲义通过表格系统梳理指数函数的图像与性质，分点解析概念要点及底数影响规律，构建“概念-图像-性质-应用”的知识框架，突出底数对单调性的影响、复合函数奇偶性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层设计六个题型，从基础判断（如指数函数定义辨析）到综合应用（如复合函数值域求参），融入换元法、单调性比较大小等方法，培养数学思维与表达素养。课时精练含选择、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学。

4.2 指数函数 题型一 指数函数的判断、求值、解析式及求参 3 题型二 指数函数的图像规律及图像过定点问题 4 题型三 解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 6 题型四 求指数型函数的单调性及求参 8 题型五 指数型复合函数的值域、最值及求参 9 题型六 指数函数的最值与不等式的综合问题 11 课时精练 12 【基础回顾】 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 指数函数的概念 函数 ( ，且 ) 叫作指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 是指数函数的底数。 注意： 指数函数 的底数规定大于 0 且不等于 1 的理由： （1）如果 ，当 （2）如果 ，如 ，当 ， 时，在实数范围内函数值不存在。 （3） 如果 ，是一个常量，对它就没有研究的必要。 为了避免上述各种情况，所以规定 且 . 知识点 2: 指数函数的图像和性质 一般地，指数函数 ，且 的图像和性质如下表所示： 图 象 定义域 值 域 性 质 过定点 ，即 时， 在 上是减函数 在 上是增函数 对称性 与 的图像关于 轴对称 知识点 3: 底数对指数函数的影响 （1）当底数 大小不确定时，必须分 和 两种情况讨论指数函数的图像与性质。 （2）在第一象限内，当 时， 的值越大，指数函数的图像越靠近 轴； 当 时， 的值越小，指数函数的图像越靠近 轴。 总结为： 在第一象限， 图像逆时针旋转， 底数由小变大。 知识点 4: 与指数函数有关的函数的奇偶性 指数函数本身不具有奇偶性， 但与指数函数有关的函数可以具有奇偶性。 常见的奇函数有： ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ 常见的偶函数： ① 注意：常见的奇偶函数尽量掌握，不仅可以快速识别出函数的奇偶性，也可以在函数的综合问题中扩展解题思路。 题型一 指数函数的判断、求值、解析式及求参 判断一个函数是不是指数函数的依据： （1）形如 ，系数必须为 1; （2）底数 是常数， 且 ； （3）指数为自变量 ，而不是 的表达式。 像 它们都不是指数函数，而是复合函数。 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式， 然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式。 1．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 2．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 5．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京通州·期末）函数的图像向右平移个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 （多选）9．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．曲线是轴对称图形 C． D．曲线是中心对称图形 （多选）10．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 题型二 指数函数的图像规律及图像过定点问题 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图像不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知函数，且的图像如图所示.则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图像恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 5．（2026·北京密云·一模）为了得到的图像，只需把函数的图像上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 6．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图像恒过的定点为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，则指数函数 的图像为（   ） A．  B．  C．   D．   （多选）9．（25-26高一上·陕西汉中·期中）在如图所示的图像中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图像经过点，则 B．函数的图像必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 题型三 解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 解指数不等式 （ 且 ）主要依据指数函数的单调性： 当 时，函数单调递增，解 转化为 . 当 时，函数单调递减，解 转化为 . 注意：当解指数与常数的不等式时，应将常数化为同底的指数形式，再通过单调性求解。 比较大小： 利用函数的单调性， “脱去” 外部的解析式， 只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用。 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）（    ） A．大于 B．小于 C．相等 D．不确定 2．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 5．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·月考）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． （多选）9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 题型四 求指数型函数的单调性及求参 求函数 或 的单调区间既要考虑 的单调区间，又要考虑 的单调性： 遵循复合函数同增异减原则。 1．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 2．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西吉安·月考）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·山西长治·期末）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． （多选）9．（26-27高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图像必过定点 （多选）10．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 题型五 指数型复合函数的值域、最值及求参 1. 对形如 的值域的方法： ① 换元，令 ，并求 的定义域； ② 求 的值域 ； ③ 利用 的单调性，求 在 上的值域。 2. 对形如 的值域的方法： ① 换元，令 ，并求 的定义域； ② 求 的值域 ； ③ 利用 单调性，求 在 上的值域 1．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 5．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（19-20高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 （多选）9．（25-26高一上·湖南·期中）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·吉林长春·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值可以为（   ） A．－7 B．0 C．3 D．7 题型六 指数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·湖南·期中）对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 5．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 6．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ （多选）8．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 （多选）10．（24-25高二下·重庆·期末）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（   ） A．若，则为奇函数 B．若，，则函数的最大值为4 C．若，则函数的最小值为2 D．为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为 课时精练 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 （多选）10．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 （多选）11．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 三、填空题 12．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知实数，，则函数的图像恒经过定点的坐标为______． 13．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 14．（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 四、解答题 15．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 16．（25-26高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义证明在上是增函数： (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． $ 4.2 指数函数 题型一 指数函数的判断、求值、解析式及求参 3 题型二 指数函数的图像规律及图像过定点问题 7 题型三 解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 15 题型四 求指数型函数的单调性及求参 19 题型五 指数型复合函数的值域、最值及求参 23 题型六 指数函数的最值与不等式的综合问题 28 课时精练 36 【基础回顾】 知识点 1: 指数函数的概念 函数 ( ，且 ) 叫作指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 是指数函数的底数。 注意： 指数函数 的底数规定大于 0 且不等于 1 的理由： （1）如果 ，当 （2）如果 ，如 ，当 ， 时，在实数范围内函数值不存在。 （3） 如果 ，是一个常量，对它就没有研究的必要。 为了避免上述各种情况，所以规定 且 . 知识点 2: 指数函数的图像和性质 一般地，指数函数 ，且 的图像和性质如下表所示： 图 象 定义域 值 域 性 质 过定点 ，即 时， 在 上是减函数 在 上是增函数 对称性 与 的图像关于 轴对称 知识点 3: 底数对指数函数的影响 （1）当底数 大小不确定时，必须分 和 两种情况讨论指数函数的图像与性质。 （2）在第一象限内，当 时， 的值越大，指数函数的图像越靠近 轴； 当 时， 的值越小，指数函数的图像越靠近 轴。 总结为： 在第一象限， 图像逆时针旋转， 底数由小变大。 知识点 4: 与指数函数有关的函数的奇偶性 指数函数本身不具有奇偶性， 但与指数函数有关的函数可以具有奇偶性。 常见的奇函数有： ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ 常见的偶函数： ① 注意：常见的奇偶函数尽量掌握，不仅可以快速识别出函数的奇偶性，也可以在函数的综合问题中扩展解题思路。 题型一 指数函数的判断、求值、解析式及求参 判断一个函数是不是指数函数的依据： （1）形如 ，系数必须为 1; （2）底数 是常数， 且 ； （3）指数为自变量 ，而不是 的表达式。 像 它们都不是指数函数，而是复合函数。 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式， 然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式。 1．（25-26高一上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 2．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，结合指数运算，可得答案. 【详解】由题意可得当时，污染物消除了，即剩余，因此， 代入公式，可得，解得. 当污染物剩余时，，代入公式可得，解得， 由，且，则，解得. 故选：B. 3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的周期性及奇函数的性质求出函数值. 【详解】由函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，， 得. 故选：A 4．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】应用分段函数解析式求解函数值. 【详解】函数，则. 故选：D. 5．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 6．（25-26高一上·北京通州·期末）函数的图像向右平移个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图像向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图像上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图像上， 则，又的图像向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 7．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 【答案】AD 【分析】对于A，符合指数函数的定义；对于B，求出两个函数的定义域，根据定义域不同即可判断；对于C，利用换元法求函数的解析式即可判断；对于D，根据空集的概念即可判断. 【详解】对于A，，所以是指数函数，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以和不能表示同一个函数，故B错误； 对于C，令，所以， 所以，故C错误； 对于D，不包含任何一个元素，而中包含一个元素，所以与不是同一个集合，故D正确. 故选：AD. （多选）9．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．曲线是轴对称图形 C． D．曲线是中心对称图形 【答案】ABD 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：令可得，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知，结合对称性的定义分析判断；对于C：利用作差法分析判断. 【详解】因为，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，解得，故A正确. 对于选项B：令，，解得， 则，所以函数是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，且， 则， 整理可得对任意x，y成立， 可知是常数，设，即， 则， 所以的图像关于点对称，故D正确； 对于选项C：因为， 因为的值未知，则的符号未知， 所以不能判断与的大小关系，故C错误； 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A选项直接代入对应的函数解析式即可判断；先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于C选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性；对于D选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域. 【详解】A：； ，本选项正确， B：， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，本选项正确； C：，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当时，即时为减函数，所以本选项不正确； D：，令， 则， 因为所以由二次函数性质可知， 由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，因此本选项正确. 故选：ABD 题型二 指数函数的图像规律及图像过定点问题 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图像不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为为一次函数，所以函数的图像为一条直线，根据选项由一次函数图像性质及指数型函数图像性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图像为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图像结合一次函数图像性质可知，， 当时，单调递减其图像与的图像关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图像结合一次函数图像性质可知，， 而恒成立，所以图像在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域判断即可. 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知函数，且的图像如图所示.则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图像可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图像恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图像恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 5．（2026·北京密云·一模）为了得到的图像，只需把函数的图像上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 6．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图像可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 7．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图像恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质确定函数图像所过的定点. 【详解】令，得，即函数的图像恒过定点. 故选：D （多选）8．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，则指数函数 的图像为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据指数函数的性质判断即可； 【详解】因为选项中函数单调性相同，所以或， 当，则当时，， 即指数函数①的图像在②的图像的上方，A选项正确，B选项错误； 当，则当时，， 即指数函数①的图像在②的图像的下方，D选项正确，C选项错误； 故选：AD. （多选）9．（25-26高一上·陕西汉中·期中）在如图所示的图像中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图像不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图像性质逐项分析即可． 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图像经过点，则 B．函数的图像必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图像必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 题型三 解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 解指数不等式 （ 且 ）主要依据指数函数的单调性： 当 时，函数单调递增，解 转化为 . 当 时，函数单调递减，解 转化为 . 注意：当解指数与常数的不等式时，应将常数化为同底的指数形式，再通过单调性求解。 比较大小： 利用函数的单调性， “脱去” 外部的解析式， 只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用。 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）（    ） A．大于 B．小于 C．相等 D．不确定 【答案】A 【详解】因为在上单调递减，所以. 2．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 4．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 5．（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 6．（25-26高一上·浙江杭州·月考）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B． （多选）8．（25-26高三下·江西抚州·月考）若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】是任意正实数，， 对于A，由，得，故A正确； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 当时，在上单调递减， 又因为，所以， 当，则， 当时，在上单调递增， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 又因为，所以，故D正确. （多选）9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由指数函数的值域是，可得，故A正确； 对于B，由函数，可得，故B正确； 对于C，由，两者不一定相等，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递减，所以，故D正确． （多选）10．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数图像分析判断. 【详解】设，分别作出的函数图像，如图所示： 当，则，A成立； 当，则，B成立，C不成立； 当时，则，D成立. 故选：ABD.    题型四 求指数型函数的单调性及求参 求函数 或 的单调区间既要考虑 的单调区间，又要考虑 的单调性： 遵循复合函数同增异减原则。 1．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义及指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 2．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题可得在上单调递减，在上单调递减，，据此可得答案. 【详解】设， 因在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，. ， 为使在上单调递减，则； 注意到均在上单调递减，则在上单调递减； . 综上可得：. 故选：D 3．（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出函数的周期和对称性，再化简的值，最后利用指数函数的性质即可求出. 【详解】 ，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图像开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 5．（24-25高一上·江西吉安·月考）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 7．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． （多选）8．（25-26高一上·山西长治·期末）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，，所以， 所以，对比选项可知ABD满足题意，C不符合题意. （多选）9．（26-27高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图像必过定点 【答案】CD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图像过点，D正确． 故选：CD （多选）10．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的单调性、奇函数的性质，结合指数型函数的最值性质逐一判断即可. 【详解】由，所以，故A正确； ， 因为， 所以为奇函数，故B正确； 因为的定义域为， 所以选项C不正确； 当时，，所以，即， 当时，， 即，所以无最值， 故选：ABD 题型五 指数型复合函数的值域、最值及求参 1. 对形如 的值域的方法： ① 换元，令 ，并求 的定义域； ② 求 的值域 ； ③ 利用 的单调性，求 在 上的值域。 2. 对形如 的值域的方法： ① 换元，令 ，并求 的定义域； ② 求 的值域 ； ③ 利用 单调性，求 在 上的值域 1．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 2．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解． 【详解】当时，单调递增， 此时，所以，解得； 当时，单调递减，此时， 所以，解得． 所以实数的值为或． 故选：D. 5．（25-26高一下·北京·期中）已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 6．（25-26高一上·全国·期末）设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 7．（19-20高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解. 【详解】因为，使得，所以 因为函数在上单调递减，所以， 因为函数在上单调递增，所以， ，解得，即实数的取值范围是. 故选：A. （多选）8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A，根据函数的单调性可判断BCD. 【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·湖南·期中）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数与指数函数单调性，结合复合函数单调性可得在里必须存在，从而得的取值范围. 【详解】令，由函数图像的对称轴方程为，开口向下， 得在上单调递增，在上单调递减， 又指数函数在上单调递增， 所以在里必须存在，解得． 故选：ABD． （多选）10．（25-26高一上·吉林长春·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值可以为（   ） A．－7 B．0 C．3 D．7 【答案】ABC 【分析】先根据二次函数的单调性求出该函数的最大值，然后根据指数函数的单调性求出的值域，进而根据要求可得，从而判断结果. 【详解】函数，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，. 该函数的最大值为. 而在上单调递减，所以. 所以，即，所以选项A,B,C均符合，而D不符合. 故选：ABC. 题型六 指数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·湖南·期中）对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意转化为有非零解，分类讨论，分离参数后由基本不等式可得解. 【详解】当是定义在上的伪偶函数时， 则存在非零实数满足，即有解， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，其中． 又因为，所以，即. 故选：B 2．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 3．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 故选：A 5．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即 ，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. 6．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②对； 对于③，因为， 又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故④对， 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. （多选）8．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过指数运算性质，极限思想求解. 【详解】已知，，令， 则，即 ， 若，则，， ，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确； 若，，则满足，但，选项错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确； 若时，，选项错误. （多选）9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC （多选）10．（24-25高二下·重庆·期末）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（   ） A．若，则为奇函数 B．若，，则函数的最大值为4 C．若，则函数的最小值为2 D．为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为 【答案】AD 【分析】由奇函数的定义即可判断A；由基本不等式即可判断BC；由奇函数得出，分离参数求解函数最值即可判断D． 【详解】对于A，若，则，，， 为奇函数，故A正确； 对于B，若，，， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，若，则，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以无最小值，故C错误； 对于D，若为奇函数，则，所以， 若，使得成立， 则， 若，则， 则，即能成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为，故D正确； 故选：AD． 课时精练 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 2．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】由题意得：，所以． 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域. 【详解】因为函数，所以，解得. 4．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 5．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出和时，的解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. 6．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B. 8．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 二、多选题 （多选）9．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. （多选）10．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可． 【详解】解：定义域为， ，则为偶函数，故A正确； 当时，，令， 为增函数，在单调递减，在单调递增， 时，的单调递增区间为， 又为偶函数， 则函数在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 当时，，且函数在单调递减， ，故C错误； 函数在和单调递减，在和单调递增， ，故D正确． （多选）11．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的有（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据函数的性质可判断出的图像关于直线对称，且在上单调递增，即可判断AB的正误；结合函数对称性以及单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】由题意知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， ∵函数的图像可由函数的图像向右平移1个单位长度得到， ∴函数的图像关于直线对称，且在上单调递增， ∴函数在上单调递减，故A项正确，B项错误； ∵，故C项错误； ∵，且，∴，即，解得， ∴不等式的解集为，故D项正确. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知实数，，则函数的图像恒经过定点的坐标为______． 【答案】 【详解】易知函数的图像是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图像恒过定点. 13．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数解析式知函数的图像关于直线对称，易得函数在上是减函数，在上为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为， ， ， 关于直线对称， 当时，函数在上递增，在上递增， 所以在上递减， 又关于对称，所以在上递增. 由得，即， 等价于，解得. 14．（2025高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 四、解答题 15．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 16．（25-26高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，为实数． (1)求的值； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 17．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）因 故. （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 18．（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义证明在上是增函数： (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由求出值并验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解. 【详解】（1）由定义在上的奇函数，得，解得， 此时，， 因此函数是奇函数，所以. （2），， 由函数是上的增函数，得，， 则，即，所以在上是增函数. （3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数 则 ， 依题意，对任意，不等式恒成立， ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. $ 4.2 指数函数 题型一 指数函数的判断、求值、解析式及求参 1．【答案】A 2．【答案】B 3． 【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】AD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 题型二 指数函数的图像规律及图像过定点问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】AD 9．【答案】BD 10．【答案】BD 题型三 解指数不等式及根据指数函数单调性比较大小 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 题型四 求指数型函数的单调性及求参 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】CD 10．【答案】ABD 题型五 指数型复合函数的值域、最值及求参 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABC 题型六 指数函数的最值与不等式的综合问题 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】AC 10．【答案】AD 课时精练 学科网（北京）股份有限公司 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 11．【答案】AD 12．【答案】 【详解】易知函数的图像是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图像恒过定点. 13．【答案】 【分析】由函数解析式知函数的图像关于直线对称，易得函数在上是减函数，在上为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为， ， ， 关于直线对称， 当时，函数在上递增，在上递增， 所以在上递减， 又关于对称，所以在上递增. 由得，即， 等价于，解得. 14．【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 15．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数是奇函数，有，解得的值并检验即可； （2）利用单调性求函数在区间内的值域． 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数， 由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数， 可得， 即，故函数的值域为． 17．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将函数解析式分离常数化为，再根据指数函数，取倒函数的单调性 即可求得 的值域； （2）将代入右式化简计算即可证得左式； （3）先证明函数是奇函数，将代入化简，通过，换元，整理后再由换元，构造函数，由在上的单调性求得最小值即得参数范围. 【详解】（1）， 当时，，则，得， 则有， 故函数在区间上的值域为 （2）因 故. （3），则函数是奇函数， 将（2）代入不等式得， 令，不等式转化为， 整理得恒成立， 令，则在上单调递减，可得． 所以，即实数的取值范围为． 18．【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 19．【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由求出值并验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解. 【详解】（1）由定义在上的奇函数，得，解得， 此时，， 因此函数是奇函数，所以. （2），， 由函数是上的增函数，得，， 则，即，所以在上是增函数. （3）由（1）得，由（2）知函数在上是增函数 则 ， 依题意，对任意，不等式恒成立， ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. $