2.5.1 直线与圆的位置关系讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了直线与圆的位置关系，将位置关系判断（几何法、代数法、定点法）、弦长求法、切线方程等知识点分层呈现，并用对比表格归纳几何法与代数法的适用场景，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“分层题型+方法指导”设计，如通过“直线过定点判断位置关系”培养推理能力，“数形结合求最值”强化模型观念，基础题巩固运算能力，综合题提升创新意识。配套课时精练含选择、填空、解答题，助力不同层次学生进阶，教师可据此实施精准教学。

2.5.1 直线与圆的位置关系 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 知识点 2: 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法 利用 的大小关系进行判断,设圆心到直线 的距离为 ,圆 的半径为 ,已知直线 和圆 ,圆心到直线的距离 . ① 直线 和圆 相离 直线 和圆 没有公共点; ② 直线 和圆 相切 直线 和圆 有一个公共点; ③ 直线 和圆 相交 直线 和圆 有两个公共点. (2)代数法 直线 和圆 的位置关系,可由 推出 的一元二次方程 , 利用判别式 进行判断 ① 直线 和圆 相离 直线 和圆 没有公共点; ② 直线 和圆 相切 直线 和圆 有一个公共点; ③ 直线 和圆 相交 直线 和圆 有两个公共点. (3)定点法 当直线上存在一个位于圆内的点时, 该直线与圆相交. 往往和直线恒过定点问题结合起来考查. 知识点 3: 求直线被圆截得的弦长的方法 (1)几何法 应用圆中直角三角形: 半径 ,圆心到直线的距离 ,弦长 具有的关系 ,这也是求弦长最常用的方法. (2)代数法 ①利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长. ②设直线 的方程为 ，联立直线 的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解. 设 ,则 . 注意: 也称为弦长公式,其思想是韦达定理结合设而不求思想, 其方法应当重点掌握. 知识点 4: 圆的切线方程的求法 (1)求过圆上的一点 的圆的切线方程 ①先求切点与圆心连线的斜率 ， ②若 不存在，则由图形可写出切线方程为 . ③若 ，则由图形可写出切线方程为 . ④若 存在且 ，则由垂直关系知切线的斜率为 ，由点斜式方程可求切线方程. (2)求过圆外一点 的圆的切线方程 ①几何方法:当斜率存在时，设为 ，则切线方程为 ，即 . 由圆心到直线的距离等于半径长,即可求出 ,进而得出切线方程. ②代数方法: 当斜率存在时,设为 ,则切线方程为 ,将直线方程与圆的方程联立,得到一元二次方程,根据 得到参数的值, 从而求出切线方程. 注意:过圆外一点的圆的切线必有两条,当解出的 值唯一时,应检验是否有一条垂直于 轴的切线 常见结论: 过圆 上一点 的切线方程为 . 过圆 上一点 的切线方程为: 知识点 5:切线长公式 圆 外一点 到圆的切线长: . 题型一 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法判断位置关系（2）代数法判断位置关系（3）直线过定点判断位置关系 （4）已知直线与圆的位置关系求参数 1．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算圆心到直线的距离并与半径比较. 【详解】圆，则圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系是相交. 故选：B 2．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 3．已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 6．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分， 故选：C. 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【分析】根据圆心在直线上，即可求解. 【详解】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 8．（多选）已知直线，圆，以下说法正确的是（   ） A．与圆不一定存在公共点 B．圆心到的最大距离为2 C．当与圆相交时， D．当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】AD 【分析】数形结合，明确直线是过定点的直线，根据直线与圆的位置关系，可判断A的真假；根据的长度判断B的真假；求过点的圆的切线，根据切线的斜率判断C的真假；当时，根据点到直线的距离判断D的真假. 【详解】如图： 直线即，所以直线过定点. 圆的圆心为，半径为：1. 对A：如图所示，直线与圆不一定有公共点，故A选项正确； 对B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， 且，故B选项错误； 对C：若直线与圆相交，则： ，故C选项错误； 对D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，所以圆上到直线的距离等于的点有三个， 故D选项正确. 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【详解】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 10．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．存在实数a，使圆O关于直线l对称 C．对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D．直线l被圆O所截弦长最小值为2 【答案】ACD 【分析】对于A：整理直线方程求定点，对于B：判断直线是否过圆心，代入圆心后等式恒不成立；对于C：计算定点到圆心距离小于半径，确定直线与圆恒相交；对于D：利用弦长公式，结合定点与圆心连线垂直时最大，即可算出弦长最小值. 【详解】对于A，整理直线方程为，， 则，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，易得圆心为，若圆O关于直线l对称，则l过圆心， 将代入到得，恒不成立，故B错误； 对于C，易得半径，圆心到定点的距离， 所以定点在圆内，直线与圆有两个不同的公共点，故C正确； 对于D，当直线l与定点和圆心的连线垂直时，直线l被圆O所截弦长最小， 设定点到圆心的距离为，此时， 则弦长为，故D正确. 题型二 直线与圆相离的距离问题 1．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 3．已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 4．在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 5．已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 6．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 7．已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的距离为， 故到直线的距离为1的点共有4个. 8．（多选）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 9．（多选）已知圆，直线，动点在上，且动点在圆上，则（   ） A．圆心在一条定直线上 B．若的最小值恰为，则 C．当时，被圆截得的弦长可以为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由圆的标准式求出圆心即可得解判断A；由题意得到到的距离为，由点到直线距离公式列等量关系计算即可得解判断B；由弦长公式得到，求证其不成立即可得解判断C；由题设分析得到即可列式求解判断D. 【详解】对于选项A，圆的标准方程为，， 所以圆心，圆心在定直线上，选项A正确； 对于选项B，若的最小值恰为，则到的距离为， ∴，解得，选项B正确． 对于选项C，当时，到直线的距离为， 此时，若被圆截得的弦长为， 则，即， ∵， ∴不可能成立，选项C错误： 对于选项D，当和圆有公共点时，即，解得， 此时显然存在动点使得， 当和圆没有公共点时，易知， 欲使最大，则需与圆相切于，且与圆相切于，如图所示， 显然， 当时，最短，即最大，∴也最大，即最大， 若，则，解得， ∴，解得或， 综上所述，，选项D正确， 故选：ABD． 10．（多选）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意圆，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点到直线的距离为，得到并设，利用向量法及、确定纵坐标的表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D. 【详解】由题设，圆，圆心为原点，半径为1， 所以，当直线过原点时所得最大，为2，A对， 显然点在圆内，若直线过该点， 则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，B对， 由，则其中点与圆心的距离， 所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，C错， 若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且， 设，则，与垂直的一个单位向量为， 而，则，又， 所以，而关于对称，则， 所以，，则且， 所以时，最大值为，D对.    故选：ABD 题型三 直线与圆相交的弦长问题 （1）几何法求弦长： = （2）代数法求弦长 (韦达定理) 设直线 与圆交于 两点,对于求弦长 ,可联立直线 和圆的方程,消去一个未知数得一个一元二次方程,利用韦达定理求解 与 . 再根据弦长公式 求解. 其思想是韦达定理结合设而不求思想,其方法应当重点掌握. （3） 弦长的最值与范围问题 1．已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式、圆的标准方程、弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 2．直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则. 3．直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】通过圆心到两条直线的距离相等以及距离和圆半径的关系，得出是二次方程的两个不相等的实根，最后利用韦达定理即可求解. 【详解】 由题意得，圆的方程为，所以圆心，半径， 如图所示，直线与把圆分成长度相等的三段弧， 因此为等边三角形，，因此圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离，即，两边同时平方后化简得， 同理，对于直线，也满足方程 ， 因此是二次方程的两个不相等的实根， 根据韦达定理有， 所以 ，故C正确. 4．与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 5．已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以 . 6．直线被圆截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，在直线上， 圆的半径为，两平行直线与的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆C截得的弦长. 7．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长 ， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 8．（多选）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 9．（多选）已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，点，，直线方程为，直线交轴于点， 由点为线段的中点，得，由点在圆上， 得，而，解得，因此， 对于A，直线的斜率为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 10．（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径. 对于选项A，由直线，得 ，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确. 对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误. 对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 题型四 直线与圆相切的有关问题 （1） 求在圆上一点的切线方程 （2） 求在圆外一点的切线方程 （3）求圆的切线长 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 3．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 4．过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得圆心为，半径，设，切点分别为、，即可得到且，求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且， 又，，所以， 所以. 故选：C 5．已知点，圆，则下列选项正确的是（   ） A．为圆的一条弦，且，则的面积最大值为 B．过且与圆相切的直线有且仅有2条 C．为平面上的点且，为圆上的点，则的最小值为2 D．为圆上的点且，则点的轨迹长度为 【答案】D 【分析】根据圆的性质结合直线与圆的位置关系，逐一分析判断选项，利用弦长公式求出圆心到弦的距离，进而利用点到圆的位置关系计算最大距离判断选项A；利用圆外一点与圆相切的关系求出切线方程，判断选项B；利用圆与圆的位置关系计算判断选项C；利用圆与圆的位置关系求出交点弦的方程，求出点到直线的距离，再求出圆心角，进而利用弧长公式求解，判断选项D． 【详解】已知圆的圆心为，半径， 选项A：弦长，解得， 点到圆心距离为， 点到直线的最大距离为， ，故A错误； 选项B：过点与圆相切的直线有两条，其中一条为， 当斜率存在时，设直线，即， 则，解得， 过点与圆相切的直线有两条，其中一条为， 不符合形式，故B错误； 选项C：已知为平面上的点且，则的轨迹为以为圆心，半径是1的圆， 则的最小值为两圆圆心距减去两圆的半径，即， 故C错误； 选项D：为圆上的点且，表示在圆内部，且在圆上， 联立两圆方程得交点弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， ，，， ，即交点弦对应圆心角为，轨迹弧长为，故D正确． 故选：D． 6．已知点满足为参数，，点的轨迹为曲线，一条光线从点射出，经过轴反射后与曲线相切，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点的轨迹为为圆心，为半径的上半圆，点关于x轴的对称点为,即反射光线过点与曲线相切,利用直线与圆相切即可求解. 【详解】因为， 所以， 即点的轨迹为为圆心，为半径的上半圆， 从点射出光线经轴反射后，与曲线相切， 相当于点关于轴的对称点发出的光线与曲线相切， 如图所示， 设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以切线方程为. 故选：A. 7．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 8．（多选）已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（    ） A．圆心M的坐标为 B．点在圆M内 C．直线被圆M截得的弦长为 D．圆M在点处的切线方程为 【答案】ABD 【分析】由圆的标准方程即可判断A，根据点与圆的位置关系即可判断B，根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C，根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D. 【详解】由圆M的方程为，知其圆心为，半径为1，故A正确； 点到点的距离为，故B正确； 点到的距离为，所以，故C错误； 因为，所以点在圆M上， 而点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上， 所以圆M在点的切线直线与轴平行，其方程为，故D正确. 故选：ABD． 9．（多选）已知圆的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的半径为 B．点在圆内 C．直线与圆相离 D．过作圆的切线，切线方程为 【答案】ACD 【分析】根据题意确定圆心和半径可判断A；求出点到圆心的距离与半径比较可判断B，根据圆心到直线的距离与半径比较判断直线与圆的位置关系；先可确定在圆上，则切线，进而得到切线斜率，写出方程即可判断D． 【详解】由题意可得，， 圆的圆心，半径，故A正确； ， 点在圆上，故B错误； 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 在圆上，所以切线，， 切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：ACD． 10．（多选）下列命题正确的是（   ） A．若直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 B．两平行直线与之间的距离是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为： 【答案】ACD 【分析】对于A，由数形结合即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于A：，如图，    由图可知，或，故A正确； 对于B：直线，即， 则直线与之间的距离，故B不正确； 对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即，故C正确； 对于D：圆的圆心为， 圆的圆心为，且半径均为1， 点与的中点为， 因为在直线上，且，由直线的斜率， 所以，所以点与关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 题型五 利用数形结合思想求最值 (1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3) 形如 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题; (4)形如 形式的最值问题,可转化为直线到圆的距离问题. 1．已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 2．若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 3．若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线和圆的位置关系求解，得到相切情况的取值，从而得到取值范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图像可知，又， 所以． 故选：C. 4．若满足的有序实数对有3对，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设出，根据所求和题设条件联想到点的轨迹和平面图形的几何意义，从而将问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，借助于圆的性质数形结合迅速解题. 【详解】设（），则，，而表示点到直线的距离， 点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图，    而圆心到直线的距离为，故，解得，则. 故选：A. 5．已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】设点，由已知等式可得到点在以点为圆心，2为半径的圆上，将整理为，看到和的平方和为1，故设，则，结合图形得到，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围. 【详解】由，可得， 设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以， 根据几何意义设，则， 过点作圆的切线，与圆交于点， 此时 ， 故， 所以， 因为，所以，即 所以，所以， 故最大值为. 6．已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 7．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 8．实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 9．若实数，满足，则的最小值为______；的最大值为______． 【答案】 / 【分析】由题意知，结合二次函数的图像与性质计算即可求解第一空；分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】由，得， 则， 是关于的一元二次函数，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以； 由，知点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 则动点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 再加半径，即， 因此的最大值为，故的最大值为. 故答案为：； 10．实数满足：，则的最大值为__________. 【答案】6 【分析】数形结合，取，则表示线段的长度，结合圆的性质求解. 【详解】如图： 点为圆：上一点，, 则表示线段的长度. 所以，当共线且在点两侧时取等号. 故答案为：6 11．已知圆C：x2+y2＝16，直线l：y＝mx+3+2m（m∈R）． （1）判断直线l与圆C的位置关系，试说明理由； （2）若P（a，b）是圆C上任意一点，求a+2b的取值范围． 【答案】（1）直线l与圆C相交，理由如下： 直线l：y＝mx+3+2m＝m（x+2）+3， 令x+2＝0，则x＝﹣2，y＝3， 所以直线l恒过定点M（﹣2，3）， 而（﹣2）2+32＝13＜16， 所以定点M（﹣2，3）在圆C的内部， 故直线l与圆C相交． （2）． 【详解】解：（1）直线l与圆C相交，理由如下： 将直线l的方程整理得，y＝mx+3+2m＝m（x+2）+3， 令x+2＝0，则x＝﹣2，y＝3， 所以直线l恒过定点M（﹣2，3）， 而（﹣2）2+32＝13＜16， 所以定点M（﹣2，3）在圆C的内部， 故直线l与圆C相交． （2）设a+2b＝t，则，消去a并整理得，5b2﹣4tb+t2﹣16＝0， 因为直线a+2b＝t与圆a2+b2＝16有交点， 所以Δ＝16t2﹣4×5×（t2﹣16）≥0，解得， 故a+2b的取值范围为． 12．已知三点O（0，0），A（2，0），B（﹣1，﹣1），记△AOB的外接圆为C． （1）求圆C的方程； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与圆C交于M，N两点，求； （3）已知P（x0，y0）是圆C上任意一点，求的最小值． 【答案】（1）x2+y2﹣2x+4y＝0； （2）﹣2； （3）． 【详解】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）， 因为O（0，0）、A（2，0），B（﹣1，﹣1）在圆上， 所以，解得，满足D2+E2﹣4F＞0， 所以圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y＝0； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， 联立方程，整理得2x2＝3，解得，， 当时，，当时，， 所以， ， 所以； （3）表示圆C上的点P（x0，y0）与点Q（4，﹣5）连线的斜率，记为k， 故直线PQ的方程为y+5＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣5＝0， 因为直线PQ与圆C有交点， 所以圆心C（1，﹣2）到直线PQ的距离d≤r（r为圆的半径，）， 即， 整理得4k2+18k+4≤0，解得， 所以的最小值为． 13．实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： （1）的最大值和最小值； （2）2x+y的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为0，最小值为．（2）最大值为，最小值为． 【解答】解：在直角坐标系中，方程x2+y2+2x﹣4y+1＝0代表圆心为（﹣1，2），半径为2的圆． （1）表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4）， 即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或， 结合图形知，的最大值为0，最小值为． （2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距， 当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±， 故2x+y的最大值为，最小值为． 题型六 直线与圆的最值综合 1．若P，Q分别是圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0上的点，则|PQ|的最小值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：圆C1：x2+y2＝1， 则圆心C1（0，0），半径r1＝1， 圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0，即（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4， 则圆心C2（4，3），半径r2＝2， |C1C2|， 故|PQ|的最小值为|C1C2|﹣r1﹣r2＝5﹣1﹣2＝2． 故选：B． 2．已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解答】解：圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝1的圆心C（6，8），半径为1， ∵圆心C到O（0，0）的距离为10， ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为11． 再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点， 可得POAB＝m，故有m≤11， ∴m的最大值为11． 故选：D． 3．已知点O（0，0），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+5）2＝1上存在点P，使得|OP|＝4，则实数a的取值范围为（　　） A．[0，5] B．（﹣∞，0]∪[5，+∞） C．[0，4] D．[4，5] 【答案】A 【解答】解：由|OP|＝4，可知点P在以原点为圆心、半径4的圆O：x2+y2＝16上运动， 圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+5）2＝1上存在点P，使得|OP|＝4， 等价于圆C与圆O：x2+y2＝16有公共点， 又圆C的圆心为（a，a﹣5）、半径r1＝1； 圆O的圆心为（0，0）、半径r2＝4， 两圆圆心距为：， 由两圆有公共点，可得：， 整理得，解得0≤a≤5， 综上，实数a的取值范围为[0，5]． 故选：A． 4．已知动点P在直线l：x﹣y﹣1＝0上，点O是坐标原点，点Q是圆（x﹣3）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|﹣|PO|的最大值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由题意动点P在直线l：x﹣y﹣1＝0上， 圆（x﹣3）2+（y+1）2＝1的圆心C（3，﹣1），半径r＝1，而点Q在圆C上，则|PQ|max＝|PC|+r， 因此（|PQ|﹣|PO|）max＝r+（|PC|﹣|PO|）max，令点C关于直线l对称点C′（a，b），|PC|＝|PC′|， 则有， 解得a＝0，b＝2，即C'（0，2）， 因此|PC|﹣|PO|＝|PC′|﹣|PO|≤|OC′|＝2，当且仅当点P，O，C′共线，且点O在线段PC′上时取等号， 直线OC′方程为x＝0，由，解得 即直线x＝0与直线l交于点P′（0，﹣1）， 所以当点P与P′重合时，（|PC|﹣|PO|）max＝2，（|PQ|﹣|PO|）max＝1+2＝3． 故选：C． 5．已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（　　） A．96 B．98 C．100 D．102 【答案】D 【解答】解：由题意设P（cosθ，sinθ）， 则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2＝（cosθ+5）2+（sinθ﹣1）2+2（cosθ﹣1）2+2（sinθ﹣1）2+3（cosθ﹣1）2+3（sinθ+2）2＝ ＝6cos2θ+6sin2θ+6sinθ+45＝51+6sinθ， 因为﹣6≤6sinθ≤6， 所以原式的最大值为57，最小值为45， 所以最大值与最小值的和为102． 故选：D． 6．已知点P是直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0和l2：x+my﹣5m﹣1＝0的交点，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0过定点A（5，1）， 直线l2：x+my﹣5m﹣1＝0过定点B（1，5）， 当m≠0时，l1与l2的斜率之积为，所以l1⊥l2， 当m＝0时，l1：﹣y+1＝0，l2：x﹣1＝0，也满足l1⊥l2， 所以交点P的轨迹是以AB为直径的圆，其中圆心为O（3，3），半径为， 而圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的圆心为C（﹣1，﹣1），半径为r2＝1， 所以圆心距， 所以两圆外离， 所以，， 即|PQ|的取值范围是． 故选：A． 7．已知圆x2+（y+2）2＝9上到直线l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为圆x2+（y+2）2＝9上到直线l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0的距离为1的点有且仅有4个， 所以圆心到直线l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0的距离小于2． 圆x2+（y+2）2＝9的圆心C（0，﹣2），半径为3． 所以圆心到直线l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0的距离d， 所以3m2+2m﹣5＜0， 所以m＜1， 因为l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0直线的斜率为k， 所以k． 故选：B． 8．已知圆M：x2+y2+2x＝0，圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，点P在圆N上运动，直线PA与圆M相切于点A，则PA的最大长度为（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，圆M：x2+y2+2x＝0，其标准方程为（x+1）2+y2＝1， 其圆心M（﹣1，0），半径为r1＝1， 圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，其标准方程为：（x﹣2）2+y2＝25， 其圆心N（2，0），半径为r2＝5， 作图如下， 因为， 由几何性质可知，当P的坐标为（7，0）时，|PM|有最大值为7+1＝8， 此时|PA|最大，最大值为． 故选：C． 9．已知圆，圆，点A在圆C1上，点B在圆C2上，点P在x轴上，则|AP|﹣|BP|的最大值为（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【解答】解：根据题意，圆，其圆心C1（4，5），半径R＝3， 圆，圆心C2（1，﹣1），半径r＝1， 设圆C3与圆C2关于x轴对称，则圆C3的圆心C3（1，1），半径r＝1， 设圆C3的点M与B关于x轴对称，则|BP|＝|MP|， 如图， 则|AP|﹣|BP|＝|AP|﹣|PM|，当A、P、M共线时，|AP|﹣|MP|取得最大值， 而点A在圆C1上，点M在圆C3上， 故当A、C1、C3、M、P五点共线时，|AP|﹣|BP|取得最大值， 且其最大值为|C1C3|+R+r4＝9． 故选：D． 10．已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4， 知圆C1的圆心为（﹣2，1），半径为1，圆C2的圆心为（2，3）半径为2．如图， 圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′：（x+2）2+（y+1）2＝1， 连结C1C2，交x轴于P，则P为满足使|PM|+|PN|最小的点， 此时M点为PC1与圆C1 的交点，N为PC2 与圆C2 的交点． 最小值为|C1′C2|﹣1﹣2， 而|C1′C2|4 ∴|PM|+|PN|的最小值为4． 故选：A． 11．已知圆C1：x2﹣4x+y2﹣6y+12＝0，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则点P到M，N两点的距离之和的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意圆C1：x2﹣4x+y2﹣6y+12＝0，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9， 可知C1的圆心坐标为（2，3），半径r1＝1， C2的圆心坐标为（3，4），半径r2＝3， 如图所示，对于x轴上的任意一点P，由图象可知，求|PM|+|PN|的最小值， 可转化为求|PC1|﹣r1+|PC2|﹣r2＝|PC1|+|PC2|﹣4的最小值． 由平面几何的知识易知C1关于x轴对称的点A的坐标为（2，﹣3），|PC1|＝|PA|， 当A，P，C2共线时，|PA|+|PC2|取得最小值， 即|PC1|+|PC2|取得最小值，最小值为， 所以|PM|+|PN|的最小值为． 故答案为：． 12．圆C：x2+（y﹣1）2＝2上任意一点P（x，y），若|x+y﹣9|+|x+y+a|的值与x，y都无关，则实数a的取值范围为　[1，+∞）　 ． 【答案】[1，+∞）． 【解答】解：圆C的圆心为C（0，1），半径， 由点P（x，y）在圆C上知，，， 所以， 则|x+y﹣9|+|x+y+a|＝﹣x﹣y+9+|x+y+a|， 由|x+y﹣9|+|x+y+a|的值与x，y无关， 可得x+y+a≥0恒成立，即a≥﹣（x+y）恒成立，从而得a≥[﹣（x+y）]max， 令x+y＝t，即x+y﹣t＝0， 易知直线x+y﹣t＝0与圆C有公共点，则， 解得﹣1≤t≤3，所以[﹣（x+y）]max＝1， 故a的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 13．已知点P（3，0），点A，B为圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，且．记线段AB中点为Q，则的最大值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意知，C（2，0），CQ⊥AB， ∵，∴PA⊥PB， 而Q为AB中点， ∴， ∴， 设Q（x，y），则（x﹣2）2+y2+（x﹣3）2+y2＝4， 化简可得：， 所以点Q在以为圆心，半径为的圆上， 所以，当且仅当点Q在x轴上且位于点C的右侧时，等号成立， 即的最大值为． 故答案为：． 14．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1和圆D：x2+y2﹣6x﹣10y+30＝0，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据题意，圆C：x2+（y﹣2）2＝1，其圆心为（0，2），半径为1， 设与圆C关于x轴对称的圆为圆C′，则圆C′的圆心为（0，﹣2），半径为1，M′为该圆上任意一点， 圆D：x2+y2﹣6x﹣10y+30＝0，即（x﹣3）2+（y﹣5）2＝4，其圆心D为（3，5），半径为2， 则有|PM|+|PN|＝|PM′|+|PN|≥|PC′|+|PD|﹣3≥|C′D|﹣3，当C′、D、M、N四点共线时，两个等号都成立， 又由|C′D|， 故|PM|+|PN|的最小值为3． 故答案为：3． 15．已知⊙O1：x2+（y﹣2）2＝1，⊙O2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当|PM|+|PN|取到最小值时，点P坐标为 　（1，0）　 ． 【答案】（1，0）． 【解答】解：如图所示： 设P（t，0），则， ， ， 取， 则|PM|+|PN|＝|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号， 此时，直线AB的方程为， 令y＝0，得x＝1， 所以P（1，0）， 故答案为：（1，0）． 题型七 直线与圆的实际应用 1．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 2．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 3．某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 4．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 5．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 6．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C    7．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可. 【详解】    作与，作与， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 8．（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 9．（多选）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 【答案】ACD 【分析】直线与圆相交，由图分析计算即可. 【详解】如图： 对于A选项，当时，的值最小，， ，故选项A正确； 对于B选项，取的中点的中点， 的轨迹方程为， ，故选项B错误； 对于C选项，设， ，故选项C正确； 对于D选项，当时，的面积最大， ， 所以底边上的高所在的直线方程为，故选项D正确． 故选：ACD． 10．（多选）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（    ） A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为 C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形 【答案】BD 【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若，则直线l与圆O相切，若，则直线l与圆O不相切；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当MO最短时，有最大的张角；对于D选项，考虑能否等于60°. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离，故A错误； 对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为，故B正确； 对于C选项，当OM⊥l时，有最大值60°，故C错误； 对于D选项，当OM⊥l时，为等边三角形，故D正确. 故选：BD. 课时精练 一、单选题 1．若直线过圆的圆心，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得. 【详解】圆的圆心为， 因为直线经过圆心，所以，解得. 故选：C. 2．若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】因为，圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 因为直线和圆相切，所以，解得或. 故选：B 3．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 4．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 【详解】由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 5．已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得圆心，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】设l：，由，可知圆心， 当时，取得最小值，即圆心C到的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得． 故选：A. 6．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 7．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先求得圆心到直线的距离为，结合图像由题意可知. 【详解】圆圆心， 则圆心直线的距离， 要想圆上到直线的距离为的点恰有一个， 由图得：. 故选：A. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法． 8．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 二、多选题 9．（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可知圆过定点，故A正确； 对于B，，由圆与直线相交得， 解得或，故B错误； 对于C，由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而， 故，即，可得圆的面积为，故C正确； 对于D，由题意知，直线的方程为，即， 设与其平行的直线方程为，若其与两圆均相切，则， 整理得， 取时等号成立，故D正确. 10．（多选）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 三、填空题 11．设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 12．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 13．已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】首先确定点的轨迹，再根据斜率的几何意义，利用数形结合求取值范围. 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 四、解答题 14．已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 【答案】(1)相交 (2)和 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 15．已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用距离公式即可得到答案. （2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案. 【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于， 即，解得的取值范围是. （2）①易知， 所以， 等号对成立，故最小值是； ②因为，所以四点共圆，圆心为的中点， 因为，所以圆的半径为， 方程为，即， 直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为.    16．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 17．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 18．如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【详解】， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率，则直线的方程为，即，所以直线恒过定点. $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 知识点 2: 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法 利用 的大小关系进行判断,设圆心到直线 的距离为 ,圆 的半径为 ,已知直线 和圆 ,圆心到直线的距离 . ① 直线 和圆 相离 直线 和圆 没有公共点; ② 直线 和圆 相切 直线 和圆 有一个公共点; ③ 直线 和圆 相交 直线 和圆 有两个公共点. (2)代数法 直线 和圆 的位置关系,可由 推出 的一元二次方程 , 利用判别式 进行判断 ① 直线 和圆 相离 直线 和圆 没有公共点; ② 直线 和圆 相切 直线 和圆 有一个公共点; ③ 直线 和圆 相交 直线 和圆 有两个公共点. (3)定点法 当直线上存在一个位于圆内的点时, 该直线与圆相交. 往往和直线恒过定点问题结合起来考查. 知识点 3: 求直线被圆截得的弦长的方法 (1)几何法 应用圆中直角三角形: 半径 ,圆心到直线的距离 ,弦长 具有的关系 ,这也是求弦长最常用的方法. (2)代数法 ①利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长. ②设直线 的方程为 ，联立直线 的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解. 设 ,则 . 注意: 也称为弦长公式,其思想是韦达定理结合设而不求思想, 其方法应当重点掌握. 知识点 4: 圆的切线方程的求法 (1)求过圆上的一点 的圆的切线方程 ①先求切点与圆心连线的斜率 ， ②若 不存在，则由图形可写出切线方程为 . ③若 ，则由图形可写出切线方程为 . ④若 存在且 ，则由垂直关系知切线的斜率为 ，由点斜式方程可求切线方程. (2)求过圆外一点 的圆的切线方程 ①几何方法:当斜率存在时，设为 ，则切线方程为 ，即 . 由圆心到直线的距离等于半径长,即可求出 ,进而得出切线方程. ②代数方法: 当斜率存在时,设为 ,则切线方程为 ,将直线方程与圆的方程联立,得到一元二次方程,根据 得到参数的值, 从而求出切线方程. 注意:过圆外一点的圆的切线必有两条,当解出的 值唯一时,应检验是否有一条垂直于 轴的切线 常见结论: 过圆 上一点 的切线方程为 . 过圆 上一点 的切线方程为: 知识点 5:切线长公式 圆 外一点 到圆的切线长: . 题型一 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法判断位置关系（2）代数法判断位置关系（3）直线过定点判断位置关系 （4）已知直线与圆的位置关系求参数 1．直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 7．直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 8．（多选）已知直线，圆，以下说法正确的是（   ） A．与圆不一定存在公共点 B．圆心到的最大距离为2 C．当与圆相交时， D．当时，圆上有三个点到的距离为 9．（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 10．（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．存在实数a，使圆O关于直线l对称 C．对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点 D．直线l被圆O所截弦长最小值为2 题型二 直线与圆相离的距离问题 1．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 6．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 7．已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 9．（多选）已知圆，直线，动点在上，且动点在圆上，则（   ） A．圆心在一条定直线上 B．若的最小值恰为，则 C．当时，被圆截得的弦长可以为 D．若，则 10．（多选）已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 题型三 直线与圆相交的弦长问题 （1）几何法求弦长： = （2）代数法求弦长 (韦达定理) 设直线 与圆交于 两点,对于求弦长 ,可联立直线 和圆的方程,消去一个未知数得一个一元二次方程,利用韦达定理求解 与 . 再根据弦长公式 求解. 其思想是韦达定理结合设而不求思想,其方法应当重点掌握. （3） 弦长的最值与范围问题 1．已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 2．直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 3．直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（   ） A．1 B． C．4 D． 4．与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 6．直线被圆截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 8．（多选）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 9．（多选）已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 10．（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 题型四 直线与圆相切的有关问题 （1） 求在圆上一点的切线方程 （2） 求在圆外一点的切线方程 （3）求圆的切线长 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 4．过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点，圆，则下列选项正确的是（   ） A．为圆的一条弦，且，则的面积最大值为 B．过且与圆相切的直线有且仅有2条 C．为平面上的点且，为圆上的点，则的最小值为2 D．为圆上的点且，则点的轨迹长度为 6．已知点满足为参数，，点的轨迹为曲线，一条光线从点射出，经过轴反射后与曲线相切，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 8．（多选）已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（    ） A．圆心M的坐标为 B．点在圆M内 C．直线被圆M截得的弦长为 D．圆M在点处的切线方程为 9．（多选）已知圆的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的半径为 B．点在圆内 C．直线与圆相离 D．过作圆的切线，切线方程为 10．（多选）下列命题正确的是（   ） A．若直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 B．两平行直线与之间的距离是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为： 题型五 利用数形结合思想求最值 (1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3) 形如 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题; (4)形如 形式的最值问题,可转化为直线到圆的距离问题. 1．已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若满足的有序实数对有3对，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知实数满足，则的最大值为__________. 6．已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 7．已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 8．实数满足，则的取值范围为______． 9．若实数，满足，则的最小值为______；的最大值为______． 10．实数满足：，则的最大值为__________. 11．已知圆C：x2+y2＝16，直线l：y＝mx+3+2m（m∈R）． （1）判断直线l与圆C的位置关系，试说明理由； （2）若P（a，b）是圆C上任意一点，求a+2b的取值范围． 12．已知三点O（0，0），A（2，0），B（﹣1，﹣1），记△AOB的外接圆为C． （1）求圆C的方程； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与圆C交于M，N两点，求； （3）已知P（x0，y0）是圆C上任意一点，求的最小值． 13．实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： （1）的最大值和最小值； （2）2x+y的最大值和最小值． 题型六 直线与圆的最值综合 1．若P，Q分别是圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+21＝0上的点，则|PQ|的最小值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知点O（0，0），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+5）2＝1上存在点P，使得|OP|＝4，则实数a的取值范围为（　　） A．[0，5] B．（﹣∞，0]∪[5，+∞） C．[0，4] D．[4，5] 4．已知动点P在直线l：x﹣y﹣1＝0上，点O是坐标原点，点Q是圆（x﹣3）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|﹣|PO|的最大值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 5．已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（　　） A．96 B．98 C．100 D．102 6．已知点P是直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0和l2：x+my﹣5m﹣1＝0的交点，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知圆x2+（y+2）2＝9上到直线l：2x+（m﹣1）y﹣2﹣2m＝0的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知圆M：x2+y2+2x＝0，圆N：x2+y2﹣4x﹣21＝0，点P在圆N上运动，直线PA与圆M相切于点A，则PA的最大长度为（　　） A．8 B．7 C． D． 9．已知圆，圆，点A在圆C1上，点B在圆C2上，点P在x轴上，则|AP|﹣|BP|的最大值为（　　） A． B． C． D．9 10．已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．已知圆C1：x2﹣4x+y2﹣6y+12＝0，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则点P到M，N两点的距离之和的最小值为　 　 ． 12．圆C：x2+（y﹣1）2＝2上任意一点P（x，y），若|x+y﹣9|+|x+y+a|的值与x，y都无关，则实数a的取值范围为　 　 ． 13．已知点P（3，0），点A，B为圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，且．记线段AB中点为Q，则的最大值为 　 　 ． 14．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1和圆D：x2+y2﹣6x﹣10y+30＝0，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是 　 　 ． 15．已知⊙O1：x2+（y﹣2）2＝1，⊙O2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当|PM|+|PN|取到最小值时，点P坐标为 　 　 ． 题型七 直线与圆的实际应用 1．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 2．中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 3．某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 4．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 6．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 7．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 8．（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 9．（多选）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为 10．（多选）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（    ） A．直线l与圆O相切 B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为 C．存在点M，使 D．存在点M，使为等边三角形 课时精练 一、单选题 1．若直线过圆的圆心，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 3．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 4．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 8．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 10．（多选）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 三、填空题 11．设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 12．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 13．已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 四、解答题 14．已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系； (2)求该圆过点的切线方程. 15．已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 16．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 17．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 18．如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． $