2.4 圆的方程讲义 2026-2027学年高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义以“圆的方程”为核心，通过基础回顾系统梳理知识体系，涵盖标准方程、一般方程、点与圆位置关系及7类隐圆轨迹。利用表格对比点与圆位置关系的几何法与代数法判断，以分类形式呈现隐圆轨迹类型，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，题型涵盖单选、多选及解答题，如阿波罗尼斯圆轨迹问题、点与圆最值问题等，培养数学眼光与逻辑推理能力。提供待定系数法、几何性质法等解题策略，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

2.4 圆的方程 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 圆的标准方程 圆心为 ,半径为 的圆的标准方程是 . 圆心在坐标原点，半径为 的圆的标准方程是 . 注意 (1) 圆的标准方程 圆心为 ，半径为 , 它显现了圆的几何特点。 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径. 由圆的标准方程可知， 确定一个圆的方程只需要 这三个独立参数因此求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 知识点 2圆的一般方程 叫作圆的一般方程. 因为 由此可得圆心 ,半径 . 注意 (1) 时,方程表示圆. 圆心为 ,半径为 (2) 时，方程表示一个点 ； 时，方程没有实数解，它不表示任何图形没有轨迹. 知识点 3: 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分三种: 点在圆上, 点在圆内 点在圆外. 对于平面内一点 . 位置 判断方法 几何法 代数法 标准方程 代数法 一般方程 在圆上 在圆内 在圆外 知识点4 隐圆的轨迹 （1 ）: 通过圆的方程确定隐形圆 当题干中出现圆的方程标准与一般方程, 或是经过化简后能够变形为圆的方程, 则可以确定点的轨迹为圆. 要注意等式的成立条件, 有时会出现半圆等形式,如 . （2）: 通过圆的定义确定隐形圆 当题干中出现到定点的距离为定值或者经过推理后得到到一定点距离为定值(比如圆的弦长为定值，则弦中点到圆心距离为定值)，则可以判定轨迹为圆. 当然到定点的距离为定值也可以通过向量的形式来表示. 如 为定点, 为平面一动点,若出现 , ,都可以得出 点的轨迹为圆. 有时也会出现 这种形式,我们可以设 ,也能转化成上面第三种形式. （3）: 通过圆的性质确定隐圆 根据圆的直径所对的圆周角为直角,所以已知定点 ,若动点 满足 或 或 或 ,则动点 的轨迹为圆. 对于给定的圆和过定点的直线,设直线交圆于点 ,根据垂径定理, 弦 的中点 与圆心的连线垂直，所以 的轨迹是以定点和圆心连线为直径的圆. （4）: 通过距离成比例 (阿波罗尼斯圆) 确定隐圆 在平面上给定两点 ,设点 满足 ,则当 且 时, 点 的轨迹是一个圆,这个圆称之为 “阿波罗尼斯圆”. 在向量问题中, 若 ,即两个向量的模长呈现一定的比例时,可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题. （5）: 通过数量积为定值确定隐圆 若 ，其中点 为动点， ， 为两个定点， 则点 的轨迹为圆. 简证: 取 中点 ,根据极化恒等式 ,故 为定值. 以此为突破口,可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解. 值得注意的是, 在向量问题中 也表示为 ,其中 为定向量. （6）: 通过距离平方和为定值确定隐圆 若 为定点, 满足 ,则 的轨迹是以 中点 为圆心. 证明: 根据极化恒等式和型可得到 , 所以 ,即 是以 中点 为圆心, 为半径的圆. （7）: 对角互补和正弦定理确定隐圆 (1)在三角形中，有一边与对角为定值，根据正弦定理 可以确定点的轨迹为圆. (2)对角互补的四边形四点共圆. 题型一 求圆的标准方程 求圆的方程的两种方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 及半径 其求解的方法 一是待定系数法即建立关于 的方程组进而求得圆的方程 二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径 从而求得圆的方程 有时利用圆的几何性质作转化更为简捷 1．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 2．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 3．已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 4．已知点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由，且， 所以， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以. 故选：A. 5．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 6．已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据方程可得圆心和半径，设，根据直线与圆相切可得，即可得结果. 【详解】圆即，圆心为，半径， 设，则直线，即， 则，即， 所以. 7．已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的标准形式为， ，即圆心的轨迹是以为圆心，半径是2的圆， 已知，点，在圆上，且连线经过圆心，则是圆的直径， 则， ， ． 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 9．（多选）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【分析】求出两圆心及半径，利用点到直线距离公式列式求出，进而求解判断ABC；确定两圆的位置，再求出符合条件的最小圆半径即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或 ，因此有4组值，A正确； 要直线与圆相切，必有，而当时，直线与圆不相切，B错误； 由，得直线与圆和圆都没有公共点，C正确； 由圆和圆的圆心都在轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为， 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误． 10．（多选）已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 【答案】ACD 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可. 【详解】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 题型二 圆的一般方程的定义 二元二次方程与圆的关系 形如 的二元二次方程判定其是否表示圆有如下两种方法: ① 由圆的一般方程的定义判断 是否为正. 若 ，则方程表示圆否则不表示圆; ② 将方程配方变形成 “标准”形式 后,根据圆的标准方程的特征, 观察是否可以表示圆。 求圆的一般方程：如果已知条件与圆心和半径都无直接关系一般采用圆的一般方程 ，再用待定系数法求出 . 1．已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 3．若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 4．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解. 【详解】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，， 所以圆心坐标为，圆的直径为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：B. 5．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 6．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 7．与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设对称的圆的圆心为，由解出，代入圆的标准方程，化为圆的一般方程即可求解. 【详解】由题意有：圆，圆心，半径为， 设对称的圆的圆心为， 所以， 所以对称的圆的方程为， 即， 故选：A. 8．（多选）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】将圆的方程写出标准式，即可求解. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 由可得. 故选：BC 9．（多选）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（多选）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件直接构造不等式即可. 【详解】是一个圆的方程，，解得：， 实数可取的值有和. 故选：CD. 题型三 点与圆的位置关系 1. 判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆的圆心之间的距离, 与半径作比较即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 2. 求解参数范围 若已知点与圆的位置关系 也可利用以上两种方法列出不等式或方程 求解参数范围 【例题精讲】 1．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 2．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 3．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 4．“”是“点”在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 5．若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆外建立不等式，再由辅助角公式化简后转化为，解不等式即可得解. 【详解】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 6．已知中的是所在平面内的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可知， 故是直角三角形，且， 以为坐标原点，为轴，为轴，建立下图所示坐标系， 则，设， 则的轨迹是以为圆心，半径为的圆，方程为， ， ，这表示点到的距离， 点到圆心的距离， ，即， ． 7．已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆上存在一点，在以为直径的圆外，即可求解. 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 8．（多选）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于半径列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】化为， 所以圆心半径， 在圆的外部， 所以，解得或， 综上所述，的取值范围是. 因为， 故选：ABD. 9．（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 10．（多选）已知圆的半径为1，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆心的坐标为 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABD 【分析】根据圆的半径为1，代入可求得a值，可判断A、C的正误，根据点与圆的位置关系，代入检验，可判断B的正误；由题意，直线过圆心，代入可求得m值，可判断D的正误. 【详解】因为圆的半径为1，所以，即，故A正确， 所以圆的方程为， 将代入方程得到，所以点在圆的外部，故B正确 圆心为，故C错误， 因为直线平分圆的周长，所以直线过圆心， 所以，解得，故D正确； 故选：ABD. 题型四 点与圆有关的最值问题 已知点 在圆 上求圆上的点 到定点 的距离 的最值问题的处理方法如下: 1求圆心 与定点 的距离 . 根据圆的几何性质知 ① 当 在圆外时， ， . ② 当 在圆内时， ， . 1．已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先判断点和圆的位置关系，然后根据点和圆的位置关系确定正确答案. 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    2．已知分别是轴和圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】将问题转化为点到点之间的距离. 【详解】由，得，故圆的圆心坐标为，半径为2. 如图，作点关于轴对称的点，当四点共线时，取得最小值，且最小值为. 故选：C 3．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果. 【详解】解：由题意得： 由得 圆心为，半径为， 当且仅当时，半径最小，则面积也最小；圆心为，半径为， 圆心到坐标原点的距离为， 即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为. 故选：D. 4．圆上的点到直线的距离的最大值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】圆即， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值是. 故选：C 5．设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径即为答案. 【详解】圆心到直线的距离，则从村庄外围到小路的最短距离为 故选：B 6．已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知. 面积，为点到直线的距离. 面积最小时最小，直线：. 圆心到直线距离. 圆上点到直线的最小距离. 过圆心作直线的垂线，斜率，方程. 联立得或， 由题意取靠近直线一侧的点.    7．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由 整理为： ， 所以联立方程组得， 解得 ，即直线 恒过定点 ， 因为，所以圆心 ，半径 ， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点 在圆内，直线 与圆始终相交， 当 最大时，弦长 最小；当直线 时，， 所以弦长最小值为：. 8．（多选）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 9．（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以 ， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 10．（多选）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；当为时，时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简结合基本不等式求得结果判断C；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断D； 【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图： 对于A，则， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，， ， ∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，D选项错误. 题型五 与圆有关的轨迹问题 1．已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 BC的中点的坐标，由垂径定理和两点间的距离公式列出式子，化简后可得 BC的中点的轨迹方程． 【详解】设BC的中点 P的坐标是 ， ∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ， ，即 ， 化简得 ， ∴BC的中点的轨迹方程是 ， 故选： C． 2．已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】由题意，， 在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M， 设，则， ∴，即：， 故选：C. 3．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． 【详解】∵，即 设，则，整理得 故选：B． 4．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 5．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 6．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 7．在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出点的轨迹方程和直线的方程，然后根据向量的坐标运算求出点的坐标，的面积为，问题即转化为点到直线距离的最大值，最后利用圆的参数方程以及辅助角公式即可求解. 【详解】设，已知，，因此的轨迹为圆： ， ， 即， 直线的斜率 ，所以直线的方程为 ，即， 点到直线的距离，， 设，， 则 ，， 其中最大值为，因此： . 8．（多选）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算及共线性质判断A；设点的坐标，利用相关点法求解轨迹方程判断B，利用数量积的坐标运算和余弦函数的性质求解判断C；利用圆心到直线的距离求解判断D. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 设，由已知且， 所以. 又点在圆上，得， 所以，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，故B正确； 设，所以，     又，所以，故C错误； 因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最小值为，故D正确. 9．（多选）已知点，，P是圆上一点，且，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【详解】设点，已知点，，则， ，，化简得 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. ，，即圆的圆心为，半径为2; 点既在圆上，又在圆上，两圆有公共点. 且两圆的圆心距 两圆有公共点， ，即，解得或 ，，则，，， 或 对于A，，且，故A错误; 对于B，，故B正确; 对于C，，故C正确; 对于D，，且，故D错误; 10．（多选）已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】求出曲线的方程并确定曲线形状，利用两点间线段最短求解判断A；求出直线的方程判断B；利用三角代换求出最大值判断C；利用向量数量积的意义求出最大值判断D. 【详解】由，得，整理得， 即，因此曲线是以点为圆心，1为半径的圆， 对于A，， 当且仅当是线段与圆的交点时取等号，A正确； 对于B，由H为直线上一点，设点，以线段为直径的圆 ，即， 因此直线MN的方程，即， 令，解得，因此直线MN过定点，B正确；    对于C，由点是上一点，令， 因此，其中锐角由确定， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，表示圆上点到点的距离， 取，，，则 ， 当直线与圆相切于第一象限内的点时，最小，最大， 而，则，， ，因此，D正确. 课时精练 一、单选题 1．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 2．若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得． 3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 4．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 5．若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴， 则在直线上，可得，解得. 6．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，进而求出，的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 7．已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 8．已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 二、多选题 9．（多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【分析】先根据得到点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆方程为可验证A，，再利用圆上的点到定点、到定直线的距离的最值求法即可验证B、C，以得到点 P 满足圆方程，两圆方程联立即可验证D. 【详解】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误； ， 因为，所以，即； 化简得到， 联立方程，即， 代入，得到，解得， 得到两个解，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用圆的弦长公式可判断A；利用点到圆上的点的距离最大值的求法可判断B；当直线与圆相切时直线的斜率取到最值，可判断C；利用圆上点到直线距离的最值的求法可判断D. 【详解】易得，，圆，圆心，半径． 圆截轴所得的弦长为，故选项A正确； 因为，所以的最大值为，故选项B正确； 因为当直线与圆相切于轴上方时，设此时切线的斜率为 ， 切线方程为：， 圆心 到切线的距离等于半径：， 即，化简得：，即， 解得：，所以直线的斜率取得最大值，故选项C错误； 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最小距离， 所以的面积的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD． 三、填空题 12．若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则实数k的一个取值为________________. 【答案】（答案不唯一，或） 【分析】将圆方程化为标准形式后可得圆的圆心坐标与半径，由圆上点到直线的距离为的点恰有个，即圆心到直线的距离为，再借助点到直线距离公式计算即可得. 【详解】，故圆心为，半径， 由圆上恰有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离为， 即有，即，解得或， 故实数k的一个取值为（或0）. 13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 【答案】 【详解】，所以圆心，半径， 由垂径定理，， ，直线恒过定点， 所以，因为为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心为的中点，半径为，圆的方程为， 设点，则到的距离， 所以点到的最大距离为. 14．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高. 四、解答题 15．如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）结合正弦定理与两角和的正弦公式化简即可； （2）由得到C的轨迹为圆，易得面积的最大值. （3）结合余弦定理与基本不等式可知，当时，最小.利用高将表示出来，再根据，分析的范围，进而求出的范围，即的取值范围. 【详解】（1）由可得， 化简得 ，即，再结合正弦定理得. （2） 以中点为原点建系，则，设 由，即，有 化简得点轨迹方程：， 所以当点在时，面积有最大值. 面积的最大值为. （3）由余弦定理可知： 当且仅当时，有最小值. 由图：设边上的高为， , 当时，，此时， 当时，此时， 当时，此时 ， ，． 16．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【详解】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 17．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 18．已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线C 的方程； (2)若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，Q,记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）设，又C是线段的中点，，即， 又点 A 在圆 上，，即， 故曲线C 的方程为. （2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为， 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或. （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在的直线不重合，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点的坐标为， 由题可知：，故， 又因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 19．在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）因为，由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可． 【详解】（1）因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. $ 2.4 圆的方程 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 圆的标准方程 圆心为 ,半径为 的圆的标准方程是 . 圆心在坐标原点，半径为 的圆的标准方程是 . 注意 (1) 圆的标准方程 圆心为 ，半径为 , 它显现了圆的几何特点。 标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径. 由圆的标准方程可知， 确定一个圆的方程只需要 这三个独立参数因此求圆的标准方程常用定义法和待定系数法 知识点 2圆的一般方程 叫作圆的一般方程. 因为 由此可得圆心 ,半径 . 注意 (1) 时,方程表示圆. 圆心为 ,半径为 (2) 时，方程表示一个点 ； 时，方程没有实数解，它不表示任何图形没有轨迹. 知识点 3: 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分三种: 点在圆上, 点在圆内 点在圆外. 对于平面内一点 . 位置 判断方法 几何法 代数法 标准方程 代数法 一般方程 在圆上 在圆内 在圆外 知识点4 隐圆的轨迹 （1 ）: 通过圆的方程确定隐形圆 当题干中出现圆的方程标准与一般方程, 或是经过化简后能够变形为圆的方程, 则可以确定点的轨迹为圆. 要注意等式的成立条件, 有时会出现半圆等形式,如 . （2）: 通过圆的定义确定隐形圆 当题干中出现到定点的距离为定值或者经过推理后得到到一定点距离为定值(比如圆的弦长为定值，则弦中点到圆心距离为定值)，则可以判定轨迹为圆. 当然到定点的距离为定值也可以通过向量的形式来表示. 如 为定点, 为平面一动点,若出现 , ,都可以得出 点的轨迹为圆. 有时也会出现 这种形式,我们可以设 ,也能转化成上面第三种形式. （3）: 通过圆的性质确定隐圆 根据圆的直径所对的圆周角为直角,所以已知定点 ,若动点 满足 或 或 或 ,则动点 的轨迹为圆. 对于给定的圆和过定点的直线,设直线交圆于点 ,根据垂径定理, 弦 的中点 与圆心的连线垂直，所以 的轨迹是以定点和圆心连线为直径的圆. （4）: 通过距离成比例 (阿波罗尼斯圆) 确定隐圆 在平面上给定两点 ,设点 满足 ,则当 且 时, 点 的轨迹是一个圆,这个圆称之为 “阿波罗尼斯圆”. 在向量问题中, 若 ,即两个向量的模长呈现一定的比例时,可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题. （5）: 通过数量积为定值确定隐圆 若 ，其中点 为动点， ， 为两个定点， 则点 的轨迹为圆. 简证: 取 中点 ,根据极化恒等式 ,故 为定值. 以此为突破口,可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解. 值得注意的是, 在向量问题中 也表示为 ,其中 为定向量. （6）: 通过距离平方和为定值确定隐圆 若 为定点, 满足 ,则 的轨迹是以 中点 为圆心. 证明: 根据极化恒等式和型可得到 , 所以 ,即 是以 中点 为圆心, 为半径的圆. （7）: 对角互补和正弦定理确定隐圆 (1)在三角形中，有一边与对角为定值，根据正弦定理 可以确定点的轨迹为圆. (2)对角互补的四边形四点共圆. 题型一 求圆的标准方程 求圆的方程的两种方法 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 及半径 其求解的方法 一是待定系数法即建立关于 的方程组进而求得圆的方程 二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径 从而求得圆的方程 有时利用圆的几何性质作转化更为简捷 1．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 2．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 7．已知圆，圆沿着圆内部边缘滚动，点，在圆上，且连线经过圆心，若圆的半径为1，则（    ） A． B． C．3 D．4 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 9．（多选）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 10．（多选）已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 题型二 圆的一般方程的定义 二元二次方程与圆的关系 形如 的二元二次方程判定其是否表示圆有如下两种方法: ① 由圆的一般方程的定义判断 是否为正. 若 ，则方程表示圆否则不表示圆; ② 将方程配方变形成 “标准”形式 后,根据圆的标准方程的特征, 观察是否可以表示圆。 求圆的一般方程：如果已知条件与圆心和半径都无直接关系一般采用圆的一般方程 ，再用待定系数法求出 . 1．已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 4．已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 7．与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（多选）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（多选）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 题型三 点与圆的位置关系 1. 判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆的圆心之间的距离, 与半径作比较即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 2. 求解参数范围 若已知点与圆的位置关系 也可利用以上两种方法列出不等式或方程 求解参数范围 【例题精讲】 1．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 3．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．“”是“点”在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知中的是所在平面内的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 9．（多选）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 10．（多选）已知圆的半径为1，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆心的坐标为 D．当直线平分圆的周长时， 题型四 点与圆有关的最值问题 已知点 在圆 上求圆上的点 到定点 的距离 的最值问题的处理方法如下: 1求圆心 与定点 的距离 . 根据圆的几何性质知 ① 当 在圆外时， ， . ② 当 在圆内时， ， . 1．已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．已知分别是轴和圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．圆上的点到直线的距离的最大值是（   ） A． B．2 C． D． 5．设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D．10 由 整理为： ， 所以联立方程组得， 解得 ，即直线 恒过定点 ， 因为，所以圆心 ，半径 ， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点 在圆内，直线 与圆始终相交， 当 最大时，弦长 最小；当直线 时，， 所以弦长最小值为：. 8．（多选）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 9．（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 10．（多选）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 题型五 与圆有关的轨迹问题 1．已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 3．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（   ） A． B．点的轨迹方程为 C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为 9．（多选）已知点，，P是圆上一点，且，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 课时精练 一、单选题 1．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 3．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 4．已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 5．若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（    ）. A． B．1 C． D． 6．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 二、多选题 9．（多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 10．（多选）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 11．（多选）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 三、填空题 12．若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则实数k的一个取值为________________. 13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________. 14．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______. 四、解答题 15．如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 16．已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 17．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 18．已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线C 的方程； (2)若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，Q,记的面积为，的面积为，求的最大值. 19．在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． $