河南南阳市2025-2026学年高二下学期期终质量评估数学试题

_________县（市、区） _________学校 _________班级 姓名_________ 考号_________ 2026年春期高中二年级期终质量评估 数 学 试 题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，，，则 A． B． C． D． 2．已知条件：，：，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，是正数，且，，则 A． B． C． D． 4．（必修一P41改编）已知关于的一元二次不等式的解集为，则 A． B． C． D． 5．（选择性必修二P19改编）等差数列的前项和为，若，则 A．310 B．320 C．330 D．340 6．（选择性必修二P82改编）函数，的值域为 A． B． C． D． 7．（必修一P31改编）某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为 A．36.4万元 B．36.6万元 C．36.8万元 D．37万元 8．过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有 A．若，则 B．若，则 C． D． 10．如图，直线（）与函数的图象交于，（）两点，分别过，作轴的平行线与函数的图象交于，两点，则 A．实数的取值范围为 B．，，三点必在同一条直线上 C．若轴，则 D．若轴，则 11．已知函数，其中，则下列说法正确的有 A．若，则在上单调递减 B．若，则在上单调递减 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（选择性必修二P76改编）曲线在处的切线方程为____________． 13．等比数列满足，，则____________． 14．已知函数，若，，则整数的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）设，函数的两个不同零点都在区间内，求实数的取值范围； （2）正数，满足，求的最小值． 16．（本小题满分15分） 已知函数在和处取得极值． （1）求实数，的值； （2）若，使不等式成立，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） （选择性必修二P46改编）等差数列的公差为（），前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分） 数列的前n项和为，且，． （1）求，； （2）证明：数列是等比数列，并求； （3）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，试证明：函数存在唯一零点，并求出该零点； （2）当时，设，，且数列的前n项和为， 求证：①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春期高中二年级期终质量评估 数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 6 1 8 答案 B A A 0 马 二、选择题 题号 9 10 11 答案 AD ABCD ACD 三、填空题 12.y=3x-2 13.32或162 14.2 四、解答题 15.解析：《q)由题知m=-x2+5x在区间(0，+0)内有两个不等实根」 )单调递减， 25 25 0 4， 故实数m的取值范围为 4 6分 (2)x>0,y>0,且+4y=1 月4s”52子-9 ⊙xy, 10分 4y= x23 x y 1 y= 当且仅当x+4y=1,即6时，取“=”号 12分 .1.1 xy的最小值是9. 13分 6长，D数四E文Q回，因-a÷+生 2分 “f()在x=1,X一2处取得极值， r0=0.r)-0 4分 a=-2 31 a+b+1=0, b=- 1 即la+4b+2=0,解得 3 6分 oE4.w特og,na 号京+2.--到 3x2 3r2 8分 周.0，数e 专合.了0，ea代米 当x∈(，2)时，∫'(x<0,函数f()单调递减， 11分 1 “f()在X=2处取得极小值。 2,f2)=- +In2 ,又 6 13分 .[f(x)]m=f(2) 14分 c2[fx】=- +ln2 6 7 +ln2,+o0 ·实数C的取值范围是 6 15分 10a,+45d=100 b9=2 a1=1 b=a 2a+9d=20 d=2 17.解：(1)由题意有，(9=d ,即(ad=2 ,解得(9=2 4分 故0n=2n-1bn=2-1 6分 (2)由1)可知：a,=2n-1,b=2,故 2-1 8分 于是 7+ n=1+3+ +2,① 9分 2”.② 11分 红2t+++2”375 ①-②可得2 2” 13分 放76-2*3 2 15分 18.解：(1)当n=1时，得4=2： 1分 4 34+2 S3= 当n=3时， ，因为4=8 4 2+8+a=34+2. 所 .a3=24 2分 ,=2(n-2) (2)当n≥3时， S n-1 0n1+2 4分 4,=2m-9。-2n-2 an n-2。_2(n-2) -a= n n-1 a,整理得n n-1 -an- 7分 an=2an-1 n≥3，.n-2≠0，故nn-1, 8分 4=24 又21 9分 a 4=2 ∴数列nJ是以1为首项，以2为公比的等比数列. 04=2 n ,0n=n2" 10分 b1g22”=1+log2”中 (3)由(2)可知， 11分 Z=0+s:2+引r+oe》+++ =+le29 14分 =n+l0g2 (n+1) 因为数列口}为递增数列， 且7201s=2015+log22016∈(2025,2026) T016=2016+log22017∈(2026,2027) 16分 使T,≤2026成立的最大正整数n=2015. 17分 19.解：(1)因为 ()a- 1分 所以两数@的定义域为@+），=a+)日 令-片>0.则80=a-1*a 1 a≥ 因为“2，所以△=(l)2-4a2=1-4a2≤0恒成立， 所以80≥0恒成立，即f'()≥0恒成立， 所以函数(：)在(0，+0)上单调递增， 4分 又因为 0=a1--n=0 所以函数∫()存在唯一零点，且零点为1， 6分 (2)证明：①先证明x-nx≥1， 令h()=r-l血r-l(x>0),则9 ，h(x)=1-1-x-l xx(x>0), 所以当x∈(0,1时，h()<0,当x∈(o)时，N()>0, 所以函数()在(0,1)上单调递减，在（，+)上单调递增， 所以h(x)m=h(四=0，所以h()≥h0=0,即x-1nx≥1 9分 当a=1时，f()=x-nr 因为-≥1，所以✉)21- ，r21- 8=f),所以%，21月 11分 ②当”≥2时，由放缩法得T>n(n-)】 13分 由(1)知， 0,21 n2, 14分 所以当n≥2时， s=a+a+*8>0(--[〔--分( -a-小-}--2aa- n 即nn>(n-12 16分 又当n=1时，S=0=1-=0,满足nS≥m-少， 所以ns,≥(n-l成立 17分