精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高二下学期期末质量评估数学试题

2025年春期高中二年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中的的系数为（ ） A. B. 180 C. D. 480 3. 已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 4. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 5. 已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，若，为等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，若，则 B. 已知随机变量的方差，则 C. 若x与y线性相关，则y与x也线性相关 D. 已知事件A，B，C满足，则： 10. 设函数，则（ ） A. 当时，的极大值大于0 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. ，曲线的对称中心的横坐标为定值 11. 已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为___________. 13. 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某研发团队为了解人们对DeepSeek的使用满意度，随机抽查了150名使用过DeepSeek的人员，整理得到如下列联表：（单位：人） 性别 满意度 合计 比较满意 非常满意 男性 女性 合计 （1）求、、的值； （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，表示抽取的人中男性的人数，求的分布列与数学期望； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对DeepSeek的使用满意度与性别有关？ 附：，． 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列满足，，，. （1）数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； （2）数列满足：，当时，求数列的前n项和 18. 已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，. （1）求抛物线M的方程； （2）当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线； （3）设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，Q（点P，Q不与O重合），记面积为，面积为，求的最大值. 19. 已知函数（且） （1）求的极小值； （2）当时，在处切线的斜率为e+1，函数 （i）判断零点个数并说明理由； （ii）函数，若对任意的正实数x，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期高中二年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 2. 二项式的展开式中的的系数为（ ） A. B. 180 C. D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出二项展开式通项，令的指数为15，计算即可. 【详解】由，令得， 所以系数为. 故选：B. 3. 已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】由，得，则，所以， 又，所以. 故选：A. 4. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 5. 已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 故选：B. 6. 已知数列的前项和为，若，为等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知条件进行变形，计算出等比数列的公比为，从而求得，利用计算，即可. 【详解】设等比数列的公比为，由得： ， 则， 所以，， 则， ， 因此. 故选：D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导可得在上为减函数，可得结论. 【详解】.设，则， 当时，，所以在上为减函数，又， 所以，即. 故选：D. 8. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，若，则 B. 已知随机变量的方差，则 C. 若x与y线性相关，则y与x也线性相关 D. 已知事件A，B，C满足，则： 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质可对A判断求解；由方差的性质即可对B判断；利用线性相关系数公式即可对C判断；由可得、B互斥，即可对D判断. 【详解】A：由题知即，故A正确； B：根据方差性质，，故B错误； C：不妨设与线性相关系数为，其中， 与的线性相关系数为，则， 所以与也线性相关，故C正确. D：由则得，互斥，则可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，的极大值大于0 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. ，曲线的对称中心的横坐标为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，再根据极大值即可判断；对于B，由恒成立即可判断；对于C，由解集能否为即可判断；对于D，求出图象的对称中心即可判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或， 由，得，于是在，上单调递增， 在上单调递减，在处取得极大值， 极大值为，故A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，故C错误； 对于D，由， 得曲线的对称中心的坐标为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，只需要依次赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】对于A，由，因， 可得，，故A正确； 对于B，当，时， （*）， 因，则， 故由（*）可得，则， 即数列为公差为1的等差数列， 则有，可得，故B正确； 对于C，由， 可得， 上面两式相减可得， 可得，故C错误； 对于D，由，，可得：， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而得到，再结合离心率和关系式求解即可. 【详解】令，则，解得，则，则 则，解得，则双曲线方程为. 故答案为：. 13. 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个． 【答案】32 【解析】 【详解】个点，任选个，方法数有种， 其中有种情况是三点共线的，故总的方法数有种. 故答案为：32. 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】分析知，从而，故可构造函数，利用导数求得最小值即可得解. 【详解】由已知可得：当，则恒正，不恒为正，所以不成立； 故. 而，均递增且与轴均只有一个交点， 所以要使得，只需要两个函数与轴交于同一点，即， 所以，令， 则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某研发团队为了解人们对DeepSeek的使用满意度，随机抽查了150名使用过DeepSeek的人员，整理得到如下列联表：（单位：人） 性别 满意度 合计 比较满意 非常满意 男性 女性 合计 （1）求、、的值； （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，表示抽取的人中男性的人数，求的分布列与数学期望； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对DeepSeek的使用满意度与性别有关？ 附：，． 【答案】（1），， （2）分布列答案见解析， （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据可得出、、的值； （2）求出抽取的人中男性、女性的人数，分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）提出零假设对DeepSeek的使用满意度与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表中的数据可得，，. 【小问2详解】 在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取人， 这人中男性人员的人数为，女性人员的人数为， 由题意可知的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 零假设为对DeepSeek的使用满意度与性别无关， 根据表中数据可得， 根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此，可以认为成立，即认为对DeepSeek的使用满意度于性别无关. 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面平面； （2）若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面， 再由线面垂直可证面面垂直； （2）如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足，，，. （1）数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； （2）数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 18. 已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，. （1）求抛物线M的方程； （2）当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线； （3）设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，Q（点P，Q不与O重合），记面积为，面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义列出方程，求出值，即得抛物线方程； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，求得，的坐标，计算推出即得证； （3）设直线：，，，，，依题分别求出的表达式，代入的解析式，整理成二次函数型，求其最值即得. 【小问1详解】 由抛物线定义知：，则， 所以抛物线的方程为：. 【小问2详解】 设点，，则， 因，直线斜率不可能为0，可设的方程为， 联立抛物线方程得：，故，. 又，， 由 所以， 故T，A，N三点共线. 【小问3详解】 如图，当，时，由，可设直线：， ，，，， 由得， 由圆的对称性可知，且， 因直线的方程为，代入抛物线方程得，或， 所以，同理. ， 当时，取得最大值为. 19. 已知函数（且） （1）求的极小值； （2）当时，在处切线的斜率为e+1，函数 （i）判断零点个数并说明理由； （ii）函数，若对任意的正实数x，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）（i）一个，理由:因为， 所以， 设，则， 所以在单调递增， 且当时，，故， 又， 令，， 所以在单调递增，且， 当时，， 所以存在唯一，使得，即在只有一个零点， 即只有一个零点. （ii） 【解析】 【分析】（1）方法一：对函数求导，通过研究在上是增函数，再根据的单调性得到极值；方法二：对函数两次求导，再根据的单调性得到极值； （2）（i）借助单调性和最值，确定零点个数；（ii）转化为任意，都有，结合恒成立要求求解即可. 【小问1详解】 方法一：. 因为当时，，函数在上是增函数， 当时，，函数在上是增函数， 所以是上的增函数， 又，所以的解集为，的解集为， 故函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值1. 方法二：因为，令， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，的解集为， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值1. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题知，对任意都有恒成立， 即，， 所以对任意，都有， 令，则， 由（ⅰ）知在上单调递增，且在上有唯一零点， 当时，，当，， 所以当，单调递增，当，单调递减， 且，. 所以无最小值， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $