河南郑州市共同体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年下期期末考试 高二数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则 A． B． C． D． 2．计算 A． B． C． D． 3．若函数的图象如图所示，则的图象可能是 A． B． C． D． 4．连续抛掷一枚质地均匀的硬币12次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则 A． B． C． D． 5．若函数在处有极小值，则实数的值为 A． B． C．或 D． 6．某高中举办校运动会，计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名体育特长生，担任4个不同比赛项目的裁判工作，每个项目至少安排1名裁判，其中甲、乙必须安排在同一个项目的概率为 A． B． C． D． 7．某学习小组对一组数据（，2，…，5）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数 A． B． C． D． 8．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导正确的是 A． B． C． D． 10．下列说法正确的是 A．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．若由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有6种 B．若随机变量，且，则 C．除以的余数为 D．已知，，，则 11．对于函数，下列说法正确的是 A．在上单调递减，在上单调递增 B． C．设有个不同的零点，则 D．对任意正实数，，且，若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．在的展开式中，含的项的系数是__________． 13．若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________． 14．已知函数 ，有恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知（），该二项展开式中第5项和第6项的二项式系数最大． （1）求正整数的值； （2）求； （3）问展开式各项系数的绝对值，，，…，中哪个最大，并说明理由． 16．（15分）某现代农业产业园集中储存各类经济作物，仓储恒温保鲜设备每日出现故障的概率为0.2．若园区引入一套智能仓储检测系统：设备正常运转时，检测出正常的概率为0.9；设备发生故障时，系统检测出故障的概率为0.9，每日检测结果相互独立． （1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率； （2）连续4天监测，求恰有2天检测结果与实际不符的概率； （3）若使用该系统时，系统每日基础运维费100元；检测出故障需花费400元检修；检测正常但设备实际故障，会造成经济作物变质，单日损失2000元．已知不使用该系统时，每日故障损失期望为280元．判断是否引进该系统，并说明理由． 17．（15分）某中学为了解高二年级学生对“数学社团”的参与意愿与性别是否有关，现从学校高二年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 30 50 女生 25 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学社团与性别有关联”？ （2）从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为社团骨干，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分）某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令（，2，…，5），数据经过初步处理得： ，，，，，，，现①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数． （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及以上数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，． 19．（17分）已知函数（）． （1）当时，求的极值点； （2）若对，恒成立，求的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2025-2026学年下期期末考试 高二数学评分参考 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C A B C C 二、选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12． 13．或 14． 四、解答题 15．解：（1）因为的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大， 所以为奇数，且， 2分 所以． 4分 （2）因为， 令，得， 5分 令，得， 6分 所以， 7分 （3），，，…，中和均为最大． 8分 因为， 展开式的通项，，1，2，…，9． 所以，，，，…，， 故判断，，，…，系数中谁最大，即判断展开式的系数谁最大． 展开式的通项，，1，2，…，9， 10分 由， 12分 得，因为，所以或6． 故，，，…，中和均为最大． 13分 16．解：（1）设某日检测结果与设备实际状态不符为事件， 由全概率公式可得； 4分 （2）设恰有2天检测结果与实际不符为事件， 则， 故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486； 8分 （3）应该引进智能仓储检测系统，理由如下： 设使用智能仓储检测系统时每日总支出（即总损失）为元． 9分 设备故障且被判为故障的概率为， 10分 设备正常却被判为故障的概率为， 11分 设备故障却被判为正常的概率为， 12分 则． 13分 因为，所以应该引进该系统． 15分 17．解：（1）列联表 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 2分 零假设：愿意参与数学社团与性别无关， 3分 则， 5分 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为愿意参与数学社团的意愿与性别无关； 6分 （2）由题意可知，选出11人中，男生人数为人，女生人数为人， 7分 则的所有可能取值为0，1，2，3， 8分 ，， ，， 12分 所以的分布列为： 0 1 2 3 13分 所以． 15分 18．解：（1）设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：， 3分 ， 6分 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； 8分 （3）因为， 10分 又由， 11分 ， 12分 得， 13分 所以， 14分 即回归方程为； 15分 当时，， 16分 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）． 17分 19．解：（1）函数的定义域为， 1分 当时，可得， 2分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 3分 所以取得极小值点为1，无极大值点； 5分 （2）易知， 7分 当时，因为，所以，即，单调递增， 所以，符合题意； 8分 当时，令，解得，所以在上单调递减， 此时，不符合题意， 9分 综上得，的取值范围为； 10分 （3）证明：当时，由（2）知，对任意，恒成立， 所以在上没有零点，不符合题意； 11分 当时，因为在上单调递减，又，所以在上无零点， 12分 因为在上存在唯一零点，所以， 13分 因为当时，，所以在上单调递增， 要证，需证，即证， 14分 因为，令，，此时要证， 令，函数定义域为，可得， 令，函数定义域为，可得， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 16分 所以得证． 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $