14.2 第4课时 尺规作图课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形中的尺规作图，核心内容包括作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线、依据“两边及其夹角”或“两角及其夹边”作三角形。课堂导入从已学的作线段入手，通过问题情境引导学生思考作角方法，以“转化为全等三角形”为学习支架，衔接新旧知识。 其亮点在于以转化思想为核心，通过操作尝试、合作探究等环节，结合几何直观与推理意识，如作角时利用SSS全等判定构造等角，作平行线时借助同位角相等原理。这培养了学生的创新意识，帮助学生理解作图逻辑，也为教师提供了结构化的教学流程和典型实例。

14.2 第4课时 尺规作图 第十四章 全等三角形 学习目标 壹 技能一：神笔马良 —— 仅用无刻度直尺和圆规，精准复刻已知角的大小与形状，掌握基础尺规作图的核心逻辑。 贰 技能二：隔空连线 —— 突破空间限制，学会过直线外任意一点，利用尺规作出该直线的平行线，理解平行线判定的几何原理。 叁 技能三：建筑师的蓝图 —— 依据“两边及其夹角”或“两角及其夹边”的已知条件，精准构建三角形，培养几何直观与逻辑推理能力。 1.7.2013 同学们，这节课我们将解锁三项超酷的新技能！首先，我们要学会像神笔马良一样，用尺规画出一个一模一样的角。接着，我们将掌握“隔空连线”的技巧，过直线外一点画出它的平行线。最后，我们将变身小小建筑师，根据给定的条件画出精确的三角形。准备好了吗？让我们开始吧！ ‹#› 思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 探究与应用 线段和角都是基本的几何图形,也是构成其他几何图形的元素.我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图,如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢? 活动 　作一个角等于已知角 问题情境 解:可以考虑把已知角“放在”一个三角形中,作为其一个角,然后用直尺和圆规作一个三角形和这个三角形全等,利用全等三角形的对应角相等来实现. 如图14-2-23,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB,补全下表作图: 操作尝试 作法 图形 (1)以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D; (2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,OC为半径作弧,交O'A'于点C'; (3)以点C'为圆心,CD为半径作弧,与上一步作的弧相交于点D'; (4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 图14-2-23 合作探究 思考：我们已经掌握了用尺规作一条线段等于已知线段的方法，那能否用同样的工具，画出一个和已知角完全相等的角呢？比如黑板上的∠AOB，如何在作业本上复刻出一模一样的∠A'O'B'？ 类比线段作图，尝试复刻∠AOB的构成 关键思路：把“画角”转化为“作全等三角形” 1.7.2013 同学们，我们已经会用尺规画一条一样长的线段了。那更进一步，我们能不能画一个一模一样大的角呢？这就是我们今天要解决的核心问题。大家可以先思考一下，刚刚复习的全等三角形知识，能在这里帮上什么忙吗？是不是可以把画角的问题，变成画一个全等三角形的问题呢？ ‹#› 合作探究 探究核心：我们已经掌握了作一条线段等于已知线段的尺规作图方法，那么如何利用尺规作一个角等于已知角∠AOB呢？其实这个问题可以转化为我们熟悉的全等三角形知识来解决。 01. 转化视角：把已知角∠AOB看作是一个三角形的一个内角，构建包含该角的基础三角形。 02. 全等作图：用尺规画出与原三角形全等的新三角形，利用全等三角形的对应角相等，得到与∠AOB相等的角。 1.7.2013 好，现在我们就来挑战这个核心任务：如何用尺规作一个角等于已知角。核心思路非常巧妙，就是利用我们刚刚复习的全等三角形。我们把要复制的角，看作是一个三角形的一个内角，然后用尺规画出一个和它全等的三角形，这样新三角形的对应角就和原来的角相等了。 ‹#› 探究点一： 作一个角等于已知角 探究 如何用直尺和圆规作一个角与已知角∠AOB 相等. 思路： 将∠AOB “放在” 一个三角形中 作出这个三角形 根据全等三角形的性质，∠AOB 的对应角就是要求作的角 讨论：这样的三角形容易做出来吗？ 为什么∠AOB 的对应角就是要求作的角？ O B A 理由： 如图，在∠AOB 的边 OA，OB上分别取点 C，D，连接 C，D，得到△COD，∠AOB 就是△COD 的一个内角. O B A 则∠C'O'D' =∠COD =∠AOB. C D C' D' O' 再作出△C'O'D′， 使△C'O'D'≌△COD， 为了作图方便，一般取OC = OD. 探究点一： 作一个角等于已知角 理解应用 解:作法:如图. (1)过点C作一条直线,与直线AB相交于点E; (2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB; (3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD∥AB. (教材典题)如图14-2-24,已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 例 1 图14-2-24 解:如图所示. 证明:在△ACD和△CAB中, ∴△ACD≌△CAB(SAS). ∴∠ACD=∠CAB.∴CD∥AB. 如图14-2-25,在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:CD∥AB.(尺规作图,要求保留作图痕迹,不写作法) 变式 图14-2-25 合作探究 一步步教你作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB 【第一步：在已知角上画弧截取】 将圆规针尖置于已知角∠AOB的顶点O，张开任意长度画弧，交OA于C，交OB于D，截取包含角度信息的圆弧。 【第二步：画新角的一边并复制弧长】 先作射线O'A'，保持圆规半径不变，将针尖置于O'，画弧交O'A'于C'，完成新角一边的弧长复制。 关键：全程保持圆规半径不变！ 1.7.2013 现在，请大家拿出直尺和圆规，跟我一起操作！第一步，在已知角上，以顶点为圆心画弧，截取出一段包含角度信息的圆弧。第二步，画一条新的射线作为新角的一边，然后用同样的半径，在新射线上画出一段弧。这两步的关键是保持圆规的半径不变。 ‹#› 合作探究 一步步教你画一个相等的角（续） 【第三步：确定新角的另一边】 1. 调整圆规，使针尖对准点C，铅笔尖对准点D，量取弧CD对应的弦长； 2. 保持圆规张开的角度不变，将针尖移到点C'上画弧，与第二步所画的弧相交于点D'。 【第四步：完成新角】 用直尺连接点O'和点D'，并延长成射线O'B'，此时得到的∠A'O'B'即为与∠AOB相等的角。 思考：为何这样作角相等？ 1.7.2013 接下来是第三步，我们要量取已知角上那段弧的弦长，也就是CD的长度，然后在新画的弧上，以C'为圆心，截取同样的长度，得到交点D'。最后一步，连接O'和D'，我们就得到了和原来一模一样的角！大家都学会了吗？ ‹#› D' C' B' O' A' (2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； (3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步的弧相交于点 D'； 则∠A'O'B' =∠AOB. 作法： (4) 过点 D' 作射线 O'B'， O B A C D (1) 以 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点C，D； 探究点一： 作一个角等于已知角 练一练 1. 如图，用尺规作出∠OBF =∠AOB，所画痕迹弧 MN 是( ) A. 以点 B 为圆心，OD 的长为半径的弧 B. 以点 C 为圆心，CD 的长为半径的弧 C. 以点 E 为圆心，OD 的长为半径的弧 D. 以点 E 为圆心，CD 的长为半径的弧 D A O B C D E F M N (教材典题)如图14-2-26,已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使AB=a,AC=b,∠A=∠α. 例 2 解:　作法:如图. (1)作∠DAE=∠α; (2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b; (3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角形. 图14-2-26 解:(1)如图,△ABC即为所求. 如图14-2-27,已知线段a,b和∠α. (1)用直尺和圆规作△ABC,使AB=b,BC=a,∠ABC=2∠α(不必写作法,保留作图痕迹); 变式 图14-2-27 典例分析 例4：已知直线AB及直线AB外一点C，如何利用直尺和圆规，过点C作这条直线的平行线CD？ 思路核心利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理，将作平行线的问题转化为作一个角等于已知角的问题，先构造截线得到同位角，再作等角即可。 关键步骤解析：第一步，过点C作截线与AB相交，得到一个同位角；第二步，以点C为顶点，利用尺规作图的方法，作一个角等于这个同位角。这样画出的射线所在的直线CD，就是所求的平行线。 1.7.2013 学会了作一个角等于已知角，我们就能解决一个经典问题：过直线外一点作平行线。大家想想，怎么判断两条直线平行？对了，同位角相等！所以，我们可以先画一条截线，创造一个同位角，然后在点C处作一个相等的同位角，这样新画的线就和原来的直线平行了。这就是“转化思想”的应用！ ‹#› 典例分析 作法：结合图示完成平行线绘制，步骤如下 (1) 画截线：过点C任意作一条直线，使其与直线AB相交于点E，构建相交线基础。 (2) 作等角：以点C为顶点、CE为一边，作∠FCD = ∠CEB，利用尺规作图保证两角相等。 (3) 得平行：反向延长射线CD得到直线CD，根据“同位角相等，两直线平行”，证得直线CD // 直线AB。 1.7.2013 具体作法很简单。第一步，过点C画一条截线，与AB交于E点。第二步，利用我们刚学的方法，在C点作一个角等于∠CEB。第三步，延长得到直线CD。根据同位角相等，两直线平行，我们就成功画出了平行线！ ‹#› 例1 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C. 利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB的平行线 CD. 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行. 可以利用这个结论，过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. 为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. A B C 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 (1) 过点 C 作一条直线，与直 线 AB 相交于点 E； A B C E (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD =∠CEB； F D 作法：如图. (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD∥AB. 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 1.如图14-2-28,用尺规作出∠OBF=∠AOB,所画痕迹弧MN是 (　　) A.以点B为圆心,OD的长为半径的弧 B.以点C为圆心,CD的长为半径的弧 C.以点E为圆心,OD的长为半径的弧 D.以点E为圆心,CD的长为半径的弧 | 课堂检测 | D 图14-2-28 2.如图14-2-29,已知线段a及锐角∠α.求作△ABC,使∠B=∠α,AB= BC=a.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 解:如图,△ABC即为所求. 图14-2-29 典例分析 例5：已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α。 分析思路：此问题对应全等三角形判定的SAS（边角边）方法。只需先画出∠A=∠α，再在角的两边分别截取AB=a、AC=b，最后连接BC，即可得到所求三角形。 作图关键步骤：1. 作角：先作∠MAN=∠α；2. 截边：在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=b；3. 连线：连接BC，△ABC即为所求作的三角形。 1.7.2013 接下来挑战一个更复杂的任务：已知两边和它们的夹角，如何画出这个三角形？这其实就是我们学过的SAS判定方法的逆用。我们只需要先画出那个角，然后在角的两条边上用圆规量取指定的长度，最后连接起来，三角形就完成了。 ‹#› 典例分析 例5：已知线段a、b和角∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α。 【第一步：画角】 作一个角∠DAE，使它等于已知的∠α，确定三角形的夹角。 【第二步：截边】 在射线AD上截取线段AB，使AB=a；在射线AE上截取线段AC，使AC=b，确定三角形的两条邻边。 【第三步：连接成形】 用直尺连接点B和点C，所得的△ABC即为满足条件（SAS）的所求作的三角形。 1.7.2013 作法非常清晰。第一步，画一个等于∠α的角。第二步，在角的两条边上，分别截取长度为a和b的线段AB和AC。第三步，连接BC。这样，一个满足SAS条件的三角形就画好了。大家检查一下，是不是完全符合要求？ ‹#› 问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试. 思考讨论： 问题1：判定两直线平行的方法是什么？ 同位角相等，两直线平行. 问题2：作平行线的过程，其本质是什么？ 作一个角等于已知角. 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 1. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号) ① 【详解】解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意. ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意. ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意. ② ③ ①②③ 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 归纳总结 本节课核心知识回顾：基本作图与几何应用 基石 【基本作图】作一个角等于已知角 核心原理：利用“SSS（边边边）”三角形全等判定定理，通过尺规截取相等的三边，构造全等三角形，从而得到相等的角。这是几何作图中最基础、最核心的技能，是后续复杂作图的基础。 应用 01. 过直线外一点作平行线：依据“同位角相等，两直线平行”，利用基本作图构造相等的同位角，从而画出平行线。 02. 已知两边及其夹角作三角形：依据“SAS（边角边）”全等判定，先作角，再截取两边长度，完成三角形的作图。 03. 已知两角及其夹边作三角形：依据“ASA（角边角）”全等判定，先作边，再在边的两端作对应角，两角的另一边相交得到三角形。 核心原理 SSS 全等 关键逻辑 转化思想 1.7.2013 课程过半，我们来总结一下今天的核心知识。我们学习了一个基本作图：作一个角等于已知角，它的原理是SSS。基于这个基本技能，我们解决了三个应用问题：作平行线、根据SAS作三角形、根据ASA作三角形。大家看，所有复杂的作图，都是由基本作图组合而成的。 ‹#› $