14.3 第2课时 角平分线的判定-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的判定”核心内容，涵盖定理条件、与性质定理的互逆关系、易错点及三角形内心等知识点。通过“风筝主题公园选址”实际问题导入，从性质定理逆向思考引出判定，搭建“实际问题—几何抽象—定理证明—应用”的学习支架，衔接全等三角形知识。 其亮点在于以真实情境激发数学眼光，通过作图探究、逻辑证明培养推理能力（数学思维），对比表格明确性质与判定的因果关系，规范几何语言表达（数学语言）。练习题分层设计，课堂小结结构化梳理，助力学生构建知识体系，教师可直接用于教学提升效率。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 14.3 第2课时 角平分线的判定 第十四章 全等三角形 14.3 第2课时 角平分线的判定 总结与练习 一、课时核心知识点总结 1. 角平分线的判定定理（必考核心） 定理内容：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 核心条件（缺一不可）：①点在角的内部；②点到角两边垂直距离相等。满足两点，可直接判定点在角平分线上。 几何语言（考试满分模板）： ∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴点P在∠AOB的平分线上。 2. 性质定理与判定定理（互逆定理）对比 性质定理（知平分，得距离等）：点在角平分线上 → 到角两边距离相等。 判定定理（知距等，证平分）：点到角两边距离相等 → 点在角平分线上。 性质用来证线段相等，判定用来证角相等、证角平分线，做题一定要分清因果关系。 3. 高频易错陷阱 1. 必须有垂直！仅有线段相等、无垂直条件，不能判定角平分线； 2. 必须是角内部的点，外部点不适用判定定理； 3. 判定定理无需全等，直接可得平分，简化证明步骤。 4. 重要拓展：三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 判定点在角平分线上的依据是（） A. 点在角内部 B. 点到角两边距离相等且在角内部 C. 任意两点距离相等 D. 点到角两边线段相等 2. 已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=PN，则（） A. OP平分∠AOB B. OA=OB C. ∠AOB=90° D. 无法判断 3. 下列条件，不能判定OP是∠AOB平分线的是（） A. PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B. 点P到OA、OB垂线段相等且在角内 C. PA=PB，无垂直条件 D. 满足角平分线判定定理条件 4. 三角形三条角平分线的交点是（） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 5. 关于角平分线判定与性质，说法正确的是（） A. 距离相等一定平分 B. 平分一定距离相等 C. 无垂直也可判定平分 D. 性质和判定无关联 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 在角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。 7. 证明角平分线用判定定理，已知角平分线得线段相等用________定理。 8. 点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=7，则当PN=________时，OP平分∠AOB。 9. 三角形内心到三角形________的距离相等。 10. 使用角平分线判定定理，必须具备距离相等和________两个条件。 三、解答题（共60分） 11.（15分）已知：点P在∠ABC内部，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，求证：BP平分∠ABC。 12.（15分）如图，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN，求证：AD是∠BAC的平分线。 13.（15分）在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，BF=CE，求证：点A在∠BAC的平分线上（本题考查判定综合应用）。 14.（15分）辨析题：“点到角两边线段相等，这个点就在角平分线上”，判断正误并说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：角平分线判定定理两大条件：角内部、到两边垂线段距离相等。 2. A 解析：满足判定定理条件，可直接判定OP平分∠AOB。 3. C 解析：无垂直条件，只是斜线段相等，不满足判定定理，无法判定角平分线。 4. B 解析：三角形三条角平分线交点为内心，内心到三边距离相等。 5. B 解析：性质定理恒成立（平分→距离相等）；距离相等需满足垂直、角内才能推平分。 二、填空题 6. 垂线段距离 7. 性质 8. 7 9. 三边 10. 点在角内部 三、解答题 11. 证明：∵点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC，且PD=PE，根据角平分线的判定定理，∴BP平分∠ABC。 12. 证明：∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA=∠DNA=90°。又∵DM=DN，点D在∠BAC内部，由角平分线判定定理可得：AD平分∠BAC。 13. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC=∠AEB=90°。在Rt△ABF和Rt△ACE中，可证得点A到两边距离相等，结合判定定理，可证AD平分∠BAC，即点A在角平分线上。（标准考试写法：利用垂距相等证平分） 14. 解：说法错误。理由：判定角平分线要求是垂线段距离相等，且点在角内部；普通斜线段相等、无垂直条件，不能判定该点在角平分线上。 1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点) 2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点) 3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力 学习目标 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ 思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 探究点一： 角平分线的判定 新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 这个结论正确吗？ A O B P D E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等). 探究点一： 角平分线的判定 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 总结：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. ∴△ABC 的三条角平分线交于一点. 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 【归纳总结】 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 练一练 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° A 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 1.如图，于点，于点，，当 ___时， 点在 的平分线上. 2 返回 中考考法 16 2.如图，于点 ，于点， 若，且 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 3.将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置， 使得顶点重合， ，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 17 4.［教材习题 变式］［2025武汉月考］如图，已 知，，垂足分别为，，， 相交于点，连接.若，求证： 平分 . 中考考法 18 返回 中考考法 5．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置． 中考考法 20 解：如图，作的平分线交 于点，点 即为水厂的位置. 返回 中考考法 21 返回 6.到的三条边距离相等的点是 的( ) B A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对 中考考法 22 7.如图，的三边，， 的长分别为4，6，8， 其三条角平分线将分成三个三角形，则 _______. 中考考法 23 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 课堂小结 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF与△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(AAS)．∴DF＝DE. ∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线． $