14.3.2角的平分线的判定课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的判定”，核心知识点包括判定定理、性质与判定的区别及应用。课堂导入先复习角平分线性质定理，通过交换题设与结论引出判定猜想，构建性质与判定的逆定理关系，形成知识支架。 其亮点在于通过探究证明培养推理能力，规范几何语言表达，如“∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上”。结合三角形角平分线交点、公路中转站选址等例题强化应用意识，小结用表格对比性质与判定，帮助学生系统掌握。教师可提升教学效率，学生增强逻辑思维与应用能力。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月24日 14.3.2角的平分线的判定 第十四章 全等三角形 14.3.2 角的平分线的判定 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；2. 性质与判定区别：性质是“点在平分线上→距离相等”，判定是“距离相等→点在平分线上”，二者互为逆定理；3. 必备条件：点在角的内部、到角两边的垂线段长度相等，缺一不可；4. 应用：证明射线是角平分线、证明角度相等，是几何证明高频考点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 判定一个点在角的平分线上的依据是（） A. 到角两边线段长度相等 B. 到角两边垂直距离相等且在角内部 C. 到角顶点距离相等 D. 任意距离相等 2. 点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=6，PN=6，则下列结论正确的是（） A. OP平分∠AOB B. OP不平分∠AOB C. 无法判断 D. ∠AOB=60° 3. 下列说法正确的是（） A. 距离相等必在角平分线上 B. 角平分线上的点到两边距离相等（性质） C. 斜线相等可判定角平分线 D. 以上都错 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 角的内部到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。 5. 若点P在∠MON内部，PA⊥OM，PB⊥ON，PA=PB，则________平分∠MON。 6. 性质定理和判定定理的区别：性质由平分线推距离相等，判定由________推平分线。 三、解答题（共60分） 7.（20分）判断正误并说明理由：已知点P在∠AOB外部，且到角两边距离相等，则OP平分∠AOB。 8.（20分）已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，求证：OP平分∠AOB。 9.（20分）已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，求证：AD平分∠BAC。 参考答案与解析 选择题：1.B（判定定理必须满足内部点、垂直距离相等） 2.A（垂直距离相等，可判定OP为角平分线） 3.B（A缺少内部条件，C必须是垂线段） 填空题：4. 垂直距离 5. OP 6. 距离相等 解答题：7. 错误。角平分线判定定理的前提是点在角的内部，外部满足距离相等的点，不在角平分线上。 8. 证明：∵点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB。 9. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°。又D为BC中点，BD=CD，DE=DF，可证点D到AB、AC距离相等。∵D在△ABC内部，∴AD平分∠BAC（角平分线判定）。 （总字数：806） O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 复习引入 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 知识点1 角的平分线的判定 C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 知识点1 角的平分线的判定 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 知识点2 三角形三条角平分线的关系 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等 要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． C A B M N P 教材P51 例题 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D C A B M N P 教材P51 例题 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . E F D 知识点2 三角形三条角平分线的关系 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 拓展探究 到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 4个 P1 P4 P2 P3 三角形三个内角的平分线的交点 P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4. 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 知识点 角平分线的判定 1.在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　) A.点M B.点N C.点P D.点Q 返回 A 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 2.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，已知∠POB＝18°，则∠ACP的度数是 (　　) A.36°　　 B.30°　　 C.54°　　 D.72° 返回 A 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 3. 如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处. 返回 4 【点拨】到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有一处而导致漏解. 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 返回 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 4.［2026泰安期中］如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是　　 . 75° 【点拨】∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝30°.∵ON⊥BC， OM⊥AB，OM＝ON，∴BO是∠ABC的平分线.∴∠ABO＝∠ABC＝15°.∴∠BOM＝90°－∠ABO＝75°. 返回 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 5.如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为　　　. 54 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 返回 【点拨】∵点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，∴点O为△ABC的三条角平分线的交点.如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE＝OF＝OD＝3.∵△ABC的周长为36，∴AB＋BC＋AC＝36.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB•OE＋BC•OD＋AC•OF＝(AB＋BC＋AC)•OD＝×36×3＝54. 基础提优题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 6. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，且B，O，C在一条直线上，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD交于点M，连接OM.求证：点O在∠CMB的平分线上. 【解】∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD. 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 在△AOC和△BOD中， ∴∠OCA＝∠ODB. 如图，过点O分别作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，则∠OGC＝∠OHD＝90°. 在△OCG和△ODH中， ∴△OCG≌△ODH(AAS)，∴OG＝OH， ∴MO平分∠CMB，∴点O在∠CMB的平分线上. 返回 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 7. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN.MP平分∠AMN，NP平分∠MNB. (1)求证：OP平分∠AOB； 【证明】如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E. 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD. ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN， PE⊥OB， ∴PD＝PE，∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB. 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 (2)若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和. 【解】∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16，∴×8•PD＝16，∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4. 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ∵△OMN的面积是24，∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积＋△OMN的面积＝16＋24＝40， ∴△POM的面积＋△PON的面积＝40， ∴OM•PC＋ON•PE＝40， ∴OM•4＋ON•4＝40，∴OM＋ON＝20， 即线段OM与ON的长度之和为20. 返回 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 课堂小结 角平分线的判定 内容 作用 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 判断一个点是否在角的平分线上 $