4.2 整式的加法与减法（整式的化简与应用）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“分层进阶+题型全覆盖”为特色，通过A组基础巩固、B组能力提升、C组思维拓展及中考链接，构建从基本运算到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|整式加减运算、化简求值等12类基础题型|聚焦运算准确性，如判断运算过程正误题培养严谨思维| |B组能力进阶|新定义、看错类等综合题型|通过遮挡类问题提升代数推理能力，对接课堂重难点| |C组思维拔高|定值问题、实际应用整除题型|结合数轴与绝对值综合题，发展几何直观与空间观念| |拓展链接中考|中考真题与模拟题|以实际应用情境题强化模型意识，衔接中考要求|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.2整式的加法与减法 目录 A组巩固过关 基础常考12大题型 题型01整式的加减运算 题型07整式的运算中新定义类题型 题型02判断整式的加减运算过程是否正确 题型08整式的运算中看错类题型 题型03绝对值与整式的加减运算综合 题型09整式的运算中遮挡类题型 题型04整式加减中的化简求值问题 题型10整式的运算中定值类题型 题型05整式加减中无关类问题 题型11整式的运算实际应用整除题型 题型06整式的运算比较大小 题型12整式的运算实际应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 整式的加减运算 1.计算：3a2b- ab-3iab-joib+ab+3ab 2.(25-26七年级下.四川泸州期末)化简：6y+4(x2-2w)-23y-y)” 3.(25-26六年级上山东泰安期末)计算： 1/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四4-25×+2x-6-3x-6 23a+2b2-a2b-24a2+3b-2ab 4.先去括号，再合并同类项： (a5a-a+3b1 2a2+2ab+b21-a2-2ab+b9 332x2-y21-23y2-2x21 4-X2+5x+4+2l5x-4+2x2引 5.(25-26七年级上·吉林长春期中)化简： (四x-2x 22xy2+-4y2x2--3x2y 3)4x+7+23x-2° 43X2+x-4-2x2+x-5 (5)-4xy-2(xy+yl+3(xy-xy 65x-3x-22x-3+7x2 题型02 判断整式的加减运算过程是否正确 6.（2026河北邯郸三模)以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：5a2-2a-1-43-2a+a2 解：原式=5a-2a-1-12-8a+a2.…第一步 =5a2+a2-2a-8a-1-12…第二步 2/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =6a2-10a-13.…第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第 步开始出错的，请你给出正确的解答过程： (2)当a=1时，求此代数式的值： 7.(25-26七年级下.北京房山期中)在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择a的-个值.求5a-a-3a+3a+a-a-2a1-2a+2026的值. 甲说：“当a=0时.原式=2026.” 乙说：“当a=1时，原式=2026.” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式=2026.” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由. 8。（25-26九年级下浙江杭州期末)以下是圆圆化简代数式2a-3bP-4aa-3b的解答过程. 解：2a-3bP-4aa-3b=4a2-9b2-4a2-12ab=-9b-12ab 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程. 9.（25-26七年级上山西大同·期末)下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任 务 (2a2b-5ab-2 ab-a2b =2a2b-5ab-2ab-2ab…第一步 =2a2b-2a2b-5ab-2ab…第二步 =-7ab…第三步 任务： (1)以上步骤第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请你进行正确化简.并求当Q=2,b=-3时，式子的值 10.（25-26七年级上河南商丘期末)下面是小红同学进行化简的过程，请认真阅读并完成填空： (2a2b-5ab-2ab-a2b =2a2b-5ab-2ab-a2b第-步 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2ab-a2b-5ab-2ab 第二步 -a2b-7ab 第三步 (1)以上步骤第一步是进行 (2)以上步骤第 步出现错误，错误的原因是 (3)请写出正确的计算过程， 题型03 绝对值与整式的加减运算综合 11. (25-26七年级上陕西西安期末)已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示. -1b 0 a (1)判断正负，用“>”“<”或“=”填空：a-10:b+10:a-b0. (2)化简：a-1-b+1+a-b. 12.(25-26七年级上陕西西安期末)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简 a+c-c-b+a-b. 0 a 13.(25-26七年级上江苏无锡期末)已知有理数a,b在数轴上对应位置如图. -寸a016→ (1)用“>”或“<”填空：1-b0,Q+10: (2)比较a,b,-a,-b的大小（用“<”把它们连接起来），填写在横线上_一； 3)化简：1-b-a-b+a+1. 14.(25-26七年级上河南濮阳·期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. ￡b, a 0 (1)用“>”“<”或“=”填空：a+b0,C-a0 (2)求a+b+b-c-c-a的值， 15.（25-26七年级上湖北襄阳·期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)用“>”“<”或“=”填空：Q+b0,a+c0: (2)化简：lb-1-1-a+a+b-a+cl: (3)化简：2a-2-3a-c-2b+2 题型04 整式加减中的化简求值问题 16.先化简，博求值：22dh-ab-3db-3ab+a6、共中a=-2,6号 17.(25-26七年级下陕西西安：期末)先化简，再求值：x+yx-y-xx-2y:y其中x=2 y=1. 18.（25-26七年级上广东东莞：期中)先化简，再求值：X2-2y--3x2+4y+2x2+5y其中 x=-1,y=2. 19.(25-26七年级上河南焦作：期中)先化简，再求值：3ab-5b2+2a-7b+16ad2-25b2其中 a-1+b+22=0 0西26t年级宝实期)先北.用陕恤号知口+0b+号。-3列4。-a6英 a=2b=1. 题型05 整式加减中无关类问题 21. (25-26七年级上江苏南通期中)已知A=2x2+3mx-2x-1,B=-X2+mx-1. (1)求3A+6B: (2)若3A+6B的值与x无关，求m的值. 22.(24-25七年级下·黑龙江大庆期中)己知代数式A=3x2+5xy-7y-3,B=x-Xy+2. (1)化简：3A-2A+3B: 5/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2若x+1+y+3=0求3A-2A+3B的值： 3)若3A-2A+3B的值与y的取值无关，求x的值. 23.(25-26七年级上四川成都期末)已知A=3a2+5ab-2a-1,B=-a+ab-1. (1)若-A-3B+C=0,求C.(用含a,b的式子表示C) (2)若A+3B的值与a的取值无关，求b的值。 24.（25-26七年级下湖南衡阳期末)已知P=-4x2+3X-2,Q=x-2x+1. (1)当x=2,k= 时，求P+40的位， (2)若P+4Q的值与x的值无关，求k的值. 颗型06 整式的运算比较大小 25. (25-26七年级上山东聊城期末)已知M=4x2-2Xy+1,N=3x2-2Xy-3,则MN(填 “>”"<"或“="). 26.（25-26七年级上江苏准安期末)若A=2x2,B=x-2,则A与B的大小关系为：A B (填“>”、“<”或“=”) 27.(25-26七年级上河北保定：期末)已知多项式M=3+2X-2yN=-4y2+2×2-1则M N(填或或_) 28.(25-26七年级上福建厦门期中)已知M=x2-6x+25,N=-6x+10,则MN(填“>” “<”或“=”). 29. (2026江苏无锡.一模)已知代数式M=X2+3,N=2X+1,则MN.(填“>"<”或“=") 题型07 整式的运算中新定义类题型 30.(25-26七年级上江苏无锡期末)对于有理数4，b,定义一种新运算“⊙”，规定： a⊙b=a+b+a-b.例如，2⊙5=2+5+2-5=7+3=10.当有理数a,b在数轴上的位置如图所 示时，化简a⊙b得 6 0 a 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31.（25-26七年级上江苏扬州-期末)新定义一种运算符号“女”，规定：a攻b=2la-ba≥b,例 a-2ba<b 如：3☆-5=2×3--5=1，若m,n在数轴上的位置如图所示，化简：m+n☆m-n=. n0m→ 32.(25-26七年级上河南商丘期末)定义一种新运算：a⊕b=a-3b.例如：3⊕2=3-3×2=-3， 则2x⊕-3y化简后的结果是 33.(25-26七年级上陕西宝鸡期末)对于任意有理数a,b,定义一种新运算，规定：a⊕b=2a-3b, 例：1⊕2=2×1-3×2=-4则3⊕2a2+b⊕a2-5b+4的化简结果为 34.（25-26六年级上山东济宁期末)我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个 数互为“友好数”.如：有理数好与5，因为+5=浮×5，所以与5互为“友好数”.若有理数与b互 4 4 为“友好数”，b与e互为相反数，则代数式4ab-3c-4a+Zb-3的值 4 4 题型08 整式的运算中看错类题型 35. (24-25七年级上湖南期中)已知A=2x3+3x2y-2xy2+1,B=-2x3+2xy2-3x2y-y3, (1)化简：2A-B (2)在计算“当X=-2024,y=-2,求A+B的值”时，小聪同学把“x=-2024”错抄成“x=2024”, 但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果， 36.(25-26七年级上河南郑州期末)小强同学在考试时没有认真审题，在计算A+B时，误将A+B看成 了A-B,求得的结果是3x2-2y+1,已知A=2x2-3y, (1)请你帮他求出A+B: (2若x-1+ y+=0求A+B的值. 4 37.(2526七年级上吉林长春期中)有这样一道题：求2X-3y-1-3父-y-日+5X-3号的 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值，其中X=2,y=日：有位同学把=2指抄成X=一2，但他的计结果也是正确的，试说男理由，并 求出这个结果。 38.一位同学做一道题：“已知两个多项式A和B,其中B=2x2-3x+7,试求A-B.”他误将“A-B ”看成“A+B”,得出的结果是5X-2x+4.请你帮他求出这道题的正确结果. 39.(25-26七年级上江西吉安期末)已知A=2x+3Xy-y,小明在计算2A-B时，误将其按2A+B 计算，结果得到6x2+4y-2y, (1)求多项式B: 2)2A-B的正确结果是多少？ 40.(25-26七年级上江西赣州期末)小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式A和B,计算 2A+B的值”时，不小心将2A+B看成了A+2B,结果为3x2-5Xy+4.已知B=x2-Xy+1. (1)求原题中2A+B的正确结果： (2)若mA+2B的结果与y的值无关，求m的值. 题型09 整式的运算中遮挡类题型 41. (25-26七年级上河北邯郸期末)泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式：+312y-3x-4x-2y1=-x+9y (1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式： 2如果x=3且(y-2P=0且y<0请求出破损部分整式的值. 42.（25-26七年级上江苏扬州期末)如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M. +2(a2-3ab)=3a2-6ab-b2 (1)计算M的结果： (2)当a=2,b=-1时，求M的值. 43.(25-26七年级下辽宁鞍山期末)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整 式， 形式如下： 号-3m2+mx=5mx+10x-1. 8/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)设所遮住的整式为A,小明认为整式A=-3m+8mx+10x-1,你认为正确吗？如果正确，请说明理 由：如果不正确，请求出正确的整式A, (2)在(1)的条件下.设B=m-mx.若A-3B的值与X的取值无关，求m的值. 44.(25-26七年级上·安徽宿州期末)某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了 2a2-4ab-2b2=a2-2b2 多项式如下： (1)求所捂的多项式： (2)求所捂的多项式与-2a的差 45.(25-26七年级上河北石家庄期末)老师在黑板上写下了关于X的多项式混合运算，随后用一张纸板 挡住了一个多项式，形式如下：32x-1+■=x2+2x+1 (1)求被遮挡的多项式： (2)当X=- 时，求被遮挡部分多项式的值。 1 题型10 整式的运算中定值类题型 46. (25-26七年级上广东佛山期末)已知P=-4x2+3X-2,Q=x-2kx+1. 国当x=2.k=寻时，计算P+4Q的值： (2)若无论x代入何值，P+4Q的值始终为一个定值，请求出这个定值和k的值。 47.(25-26七年级上湖北襄阳期末)观察下面三行数： 第-行：-2,4，-8,16，-32,64：…① 第二行：0,6，-6,18，-30,66：…② 第三行：5，-1,11，-13,35，-61；…③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： (1)直接写出第①行数的第8个数是；第②行数的第8个数是；第③行数的第8个数是 (2)取每一行的第n个数，从上到下依次记作A,B,C,若对于任意的正整数n均有2A-tB+5C为一个定 值，求t的值及这个定值. 48.(25-26七年级上贵州黔东南·期中)小明同学做一道数学题，已知两个多项式A、B,其中 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B=3x2y-2xy+x+2,在求A+B时，他把A+B误看成A-B,结果求出的答案为6x2y+4xy-2x-1. (1)请你替他求出A+B的正确答案： ②小明同学发现，当y=时，A-3B的催是一个定值，请求出这个定值. 49.(25-26七年级上四川成都期末)已知：A=2a2+3ab-2a-1,B=a+ab-1 (1)化简3A-2A+B. (2)若无论a取何数值，(1)中代数式的值均为一个定值，求b的值， 50.(25-26七年级上四川成都期末)已知：A=2a2+3ab-2a-1,B=a2+ab-1, (1)求A-2B的值. (2)无论a取何值，A-2B都是一个定值，求b的值。 题型11 整式的运算实际应用整除题型 51.(25-26七年级下江苏泰州期末)如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字 为5，那么这个三位数可以表示为985=9×100+8×10+5. 设abcd是一个四位数， (1)四位数abcd可以表示为（用含a、b、c、d的代数式表示）： (2)若a+b+c+d可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除， 52.(25-26七年级下江苏苏州期末)一个千位数字是a,百位数字是b,十位数字是c,个位数字是d的 四位数可以表示为abcd, (1)当a=1,b=6,c=3,d=2时，则该四位数被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：a+b+c+d可以被3整除.求证：abcd可以被3整除. 53.若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这 样的数为千丝数.把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数M叫作千丝 数的万缕数，例创如：2598，其十位数79=8+1，百位数字5=2生8，所以2598是千丝数。2589就是千 丝数2598的万缕数，对于千丝数M,定义：T(M)=M-M1. (1)判断：4376千丝数；7787千丝数.（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除. 54.（2026安徽合肥三模)在小学，我们知道像12,27,36,45,108，…这样的自然数能被3整除.一 般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除下面是数学学 10/20 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习小组探究“自然数被9整除的规律”的学习片段. 猜想：一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数 就能被9整除 【探究一】若这个自然数是两位数 设这个两位数为ab,则ab=10a+b=9a+a+b. .9a能被9整除，a+b能被9整除， ∴.9a+a+b就能被9整除，即ab能被9整除. 【探究二】若这个自然数是三位数 设这个三位数为abc,则abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c. ,·99a+9b能被9整除，a+b+c能被9整除， ∴.(99a+9b+a+b+c就能被9整除，即abc能被9整除. 【探究三】若这个自然数是四位数 (1)请将【探究三】补充完整. (2)请写出一个能被9整除的五位数， 55.(2026江苏盐城.二模)若一个四位数abcd的各数位上的数字互不相等且满足a+d=b+c,则称这个 四位数为“友善四位数”.例如：四位数3546，因为3+6=5+4，所以四位数3546是友善四位数. (1)判断5678是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数8b1d(千位数字为8，十位数字为1)是友善四位数，则这个友善四位数是 (3)若P=abed d0是一个友善四位数，将P的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得 到一个新的四位数Q=dcba,求证：P+Q能被1111整除. 题型12 整式的运算实际应用 56. (25-26七年级上山东聊城期末)为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图 中阴影部分所示). 11/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2n n 2m (1)用含m,n的式子表示广场（阴影部分）的周长C (2)若m=30米，n=20米，广场面积S=7mn,已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W 的值。 57.(25-26七年级上四川宜宾期中)【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司 开展“打车计费”实践活动. 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程 计算：时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在0km及以内的，不收远途费，超 过10km的，超出部分每千米收0.4元.”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 1.8元/ 0.45元/ 0.4元/ 单价 km min km 【实践探究】 老师说：“若乘客的行车里程为2km,行车时间为4min,则需付车费 1.8×2+0.45×4=5.4(元).” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为5km,行车时间为10min,则需付车费元. (2)若小明的行车里程为akm,行车时间为bmi,则需付车费多少元？（用含a,b的代数式表示，并化 简) (3)若小王、小张的行车里程分别为9.5km与14.5km,且小王的行车时间比小张的行车时间多24min,谁 付的车费更多？ 58.(24-25七年级上山东聊城期末)为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球 和一些键球.甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元. 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售， 设学校准备购买键球x个x>40), 12/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)①若在甲商店购买，所需总费用为 元（用含x的式子表示）· ②若在乙商店购买，所需总费用为 元（用含x的式子表示）· (2)当x=80时，解答下列问题. ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买 方案及其所需总费用， 59.（25-26七年级下江苏徐州期中)如图，某小区有一块长为2a+3米、宽为3b米的长方形空地，小 区管理部门在空地的一角规划了一个长为a+2米、宽为b米的小长方形花园. 2a+3 3b a+2 (1)请用含α，b的式子表示图中阴影部分的面积S.(用代数式表示并化简) (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若a=8,b=4,预计每平方米地砖的价格是 50元，求购买所需地砖的费用. 60.（25-26七年级上陕西汉中.期末)某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人， 第二组人数比第组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人 数的2倍的和是34人. (1)用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； (2)求七年级一班的总人数. B组 能力进阶 1.(25-26七年级上·新疆博尔塔拉期末)下列运算中，正确的是() A.5a2-4a2=1B.2a3+3a2=5a5C.-3ba2+3a2b=0D.3a+2b=5ab 2.(25-26七年级上河南焦作·期中)已知：a,b,c在数轴上的位置如图所示，则a-b+b-c+c+a 等于() 13/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 0b A.2a B.2b C.2c D.0 3.(2026山西.中考真题)用m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与 个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是() A.6 B.13 C.31 D.56 4.(2026广西玉林模拟预测)如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为( A.7n+3n=10 B.7n=3n c.7n+3n=10n D.7+3=10n 5.(2026河南周口模拟预测)如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个 整式之和相等，则“？”处应填的整式为() 2ab ab 3ab ab A.0 B.-6ab C.6ab D.7ab 6.(2026四川成都模拟预测)若x+2y=5,3a-4b=7,则9a-4y-26b+x+1= 7.(25-26七年级下·江苏徐州期末)“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七 张桌面皆为长方形，桌宽均为X尺.如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为 尺 (用含x的代数式表示)· 8.(24-25六年级上山东烟台期中)已知两个多项式的和是a+3a-1,其中一个多项式是a-2,则另 一个多项式是 14/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级上山东临沂期末)先化简，再求值：已知 4x+2+y-52=0,A=3x2-2xy+y,B=x2+y-5y2 求A-3B的值. 10.(25-26六年级下.黑龙江绥化期中)解答下列各题. ab 2)已知a+5=0,求ab】 的值： (2)己知a,b,c是不为0的有理数， 0+b+c a'6a的值。 11.（24-25六年级上山东烟台期中)现定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=ab+2a.如 2⊕3=2×3+2×2=10，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的.请解答下列问题： (1)求3⊕-1的值 2)化简-2⊕-4⊕a 12.(25-26七年级下江苏无锡期中)定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对 消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”.如M=2x2-X+6与N=-2x2+X-1互为“对消多项式”， 它们的“对消值”为5. (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）： ①3x2+2x与-3x2+2;②x-6与-x+2. (2)多项式-5x2y3+2y与5x2y3-2xy的“对消值”为· (3)多项式A=(x-a与多项式B=-bX-2X+b(,b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消 值”. 13.(25-26七年级下山东菏泽期末)如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块， 除阴影A,B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm. 4 (1)小长方形的较长边为 cm(用代数式表示)： (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为2x-y+4cm,是 的（填正确/错 误)；阴影A和阴影B的周长值之和与x (填有关/无关)，与y (填有关/无 15/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关)： C组 思维拔高 1.(25-26七年级下.浙江绍兴期末)如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形 AEPG,长方形GPQJ,长方形JQFD,长方形EBHP,长方形PHIQ,长方形QICF),若已知长方形 ABCD的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积() D E H A.长方形AEQJ B.长方形ABHG C.长方形JICD D.长方形QICF 2.（25-26八年级下·重庆云阳·期末)己知整式M: a+a1x+a,X2++a,-1X-1+0,X其中a,'a a2,…,an-1为自然数，n,an为正整数，且n+a0+a1+…+an=5.下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为24x0: ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为5x3+x2+x+1; ③满足条件的整式M共有14个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2026重庆二模)下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案 ②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒…按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（) ① ② ③ ④ A.56 B.57 C.63 D.64 4.(25-26七年级下.湖北荆州期末)在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡 片，上面分别写有1,2,3，…，49,50.游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并 将它们正面向下放置在桌上如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E.张华依次将相邻两张卡片上的数 16/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大. 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和. 卡片编号 A和B B和C C和D D和E E和A 两数的和 54 66 59 71 48 E A D B 李明经过思考，说出答案： 卡片上的数最大. 5.(25-26七年级下.北京期末)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一.在数学活动课上， 同学们探究类似填幻方的数字游戏.将数字1,2,3,4,5,6填入如图所示的“☐”中，每个数字只用 一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等.记圆圈上的三个数字之和为S,回答下列问题： a+b-3 图1 图2 (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值： (2)如图2，中间三个“口”中的数字分别为a,b,Q+b-3.为了求出a+b的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于a+b的不等式，进而可求出 a+b的值： 小林说：观察整个图形，找到S与a+b的关系，进而求出a+b的值. 请结合同学们的讨论和你的思考，求出a+b的值. 6.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解 决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题。 【提出问】三个有理数a,b,c满足bc>0,求a+b+C的值. a b c 【解决问题】解：由题意得，α，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数 17/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时，则- a+bl+lg=9+b+9=1+1+1=3 a b c a b c ②若，b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, a+b+lg=+-b+-c=1+-1+-1=-1, a b c a b 综上所述， a+b+9的值为3或-1. a bc 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： a三个有理数a,6,e满足abc<0,求a+bt旦的值： 2活a,6,c为三个不为0的有理数，且g+b+C=-1,求 a a b c bc的值. 7.（2026湖北中考真题)探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动.在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单 桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌.单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有 关 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段MN,艇尾记为点M,艇首记为点N I.运动员的位置依次用点A1,A2,A3,A4表示，MA1=S,A1A2=A2A3=A3A4=r. Ⅱ.运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于MN上方与下方的桨的数量相等 Ⅲ.规定：当桨的位置位于MN上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于MN下方时，对 应的点所表示的数记为负数. 例：在图1中，桨1的位置位于MN上方，MA1=S,所以点A1表示的数是s:桨2的位置位于MN下方， MA2=S+r,点A2表示的数是-(s+r) 18/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 桨1 桨4 动两A 艇尾M AAAN艇首 桨2桨3 湖北“艇”牛 图1 图2 (1)在图1中，MA3=,点A3表示的数是， 点A4表示的数是 【模型分析】 通过研究，记点A1,A2,A3,A4所表示的数的和为W,当W=0时，赛艇保持“稳定”；当W≠0时，赛 艇失去“稳定”· (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由. 【模型应用】 (3)类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持 “稳定”，如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置. 拓展 链接中考 1.(2026陕西.中考真题)在一次劳动实践活动中，小欢采摘了a个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小 欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为() A.a+3 B.a-3 C.2a+3 D.2a-3 2.(2026-四川成都.中考真题)已知a+2b=3,则22a-b+10b+4= 3.(2025重庆.中考真题)我们规定：一个四位数M=abcd,若满足a+b=c+d=10,则称这个四位数 为“十全数”.例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”，按照这个规定，最 小的“十全数”是 ：一个“十全数”M=abcd,将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字 与于位数字调换位置，得到一个的数M=dcbo,记FM)MM,GMEM十从若 11 4F(M)+G(M)+15ab+cd 13 17均是整数，则满足条件的M的值是 19/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2025宁夏.中考真题)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个 三位数叫做“极差数”.例如，三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”. 【理解定义】 三位数265是否为“极差数”？ 【建模推理】 (1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c,则a与b,c的关系式为 (2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 20/20 分层作业 4.2整式的加法与减法 （整式的化简与应用） 目 录 A组 巩固过关 基础常考12大题型 题型01 整式的加减运算 题型07 整式的运算中新定义类题型 题型02 判断整式的加减运算过程是否正确 题型08 整式的运算中看错类题型 题型03 绝对值与整式的加减运算综合 题型09 整式的运算中遮挡类题型 题型04 整式加减中的化简求值问题 题型10 整式的运算中定值类题型 题型05 整式加减中无关类问题 题型11 整式的运算实际应用整除题型 题型06 整式的运算比较大小 题型12 整式的运算实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 整式的加减运算题型01 1．计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 3．（25-26六年级上·山东泰安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 判断整式的加减运算过程是否正确题型02 6．（2026·河北邯郸·三模）以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 7．（25-26七年级下·北京房山·期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】这三位同学的说法都正确，理由见解析 【详解】解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆化简代数式的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误．见解析 【分析】用完全平方公式、单项式与多项式相乘计算后，合并同类项． 【详解】解：有错，正确的解答过程如下： ． 9．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为 (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）去括号时符号错误，应化为； （2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 10．（25-26七年级上·河南商丘·期末）下面是小红同学进行化简的过程，请认真阅读并完成填空：    第一步    第二步                第三步 (1)以上步骤第一步是进行___________． (2)以上步骤第___________步出现错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)去括号 (2)一；去括号时漏乘且去括号后有一项没变号 (3) 解： ． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项是解题的关键． （1）根据去括号法则进行解答即可； （2）根据整式的运算法则，去括号进行判断即可； （3）根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：以上步骤第一步是进行去括号； 故答案为：去括号； （2）解：以上步骤第一步开始出现错误， 去括号时弄成了，去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； 故答案为：一；去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； （3）略 绝对值与整式的加减运算综合题型03 11．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“＞”“＜”或“＝”填空：__________0；__________0；__________0． (2)化简：． 【答案】(1)＜；＞；＞ (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察数轴得，得，，，即可作答． （2）结合数轴化简各个绝对值，再运算整式的加减法，即可作答． 【详解】（1）解：观察数轴得， ∴，，， 故答案为：<；>；>； （2）解：依题意，得，，， ． 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）数、、在数轴上对应的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，熟练掌握运算法则，正确化简绝对值是解题的关键；由数轴可得，，， 进而化简绝对值计算即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ . 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可得，进而可得，； （2）根据数轴可得，进而在数轴上表示出，再根据数轴比较大小，即可求解； （3）根据数轴可得，，，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 14．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0，______0； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由数轴可得，，且，然后问题可求解； （2）由（1）及结合绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ． （2）解：∵， ∴ ． 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算、整式的加减运算， （1）先根据数轴得出之间的关系，然后再确定所求代数式的正负； （2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项； （3）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 整式加减中的化简求值问题题型04 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 把代入得： 原式 ． 17．（25-26七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用整式乘法运算法则展开括号，合并同类项后计算除法得到化简结果，再代入，的值计算最终结果． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18．（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 20．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入、的值计算即可求解． 【详解】解： ． 当，时 原式． 整式加减中无关类问题题型05 21．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 23．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 整式的运算比较大小题型06 25．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，，则M_______N（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，掌握整式的加减的运算法则是关键．计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 故答案为：． 26．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）若，则与的大小关系为：___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的减法运算，平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握整式的减法运算． 通过计算A与B的差，得到，由可知，由此可判断大小． 【详解】解：∵． 由于，则， 即，故． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·河北保定·期末）已知多项式，，则______（填或或） 【答案】 【分析】本题考查了整式的比较大小，关键是作差法的应用；通过计算 与 的差，根据差的符号判断大小关系． 【详解】解：，， ， ∵， ∴ ， 故答案为： ． 28．（25-26七年级上·福建厦门·期中）已知，，则M________N（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据作差法比较有理数的大小即可求解．通过计算 M 与 N 的差，并分析其符号，判断大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（2026·江苏无锡·一模）已知代数式，，则_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对差配方后，根据偶次方的非负性判断差的符号，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 整式的运算中新定义类题型题型07 30．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如，．当有理数a，b在数轴上的位置如图所示时，化简得______． 【答案】 【分析】易得，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 31．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）新定义一种运算符号“☆”，规定：，例如：，若，在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查数轴与数的性质，绝对值的化简，整式的加减运算，理解新定义运算的规则是解题关键． 先根据数轴判断与的大小关系，选择对应的新定义公式进行计算，化简绝对值并进行整式加减运算，得到最终结果． 【详解】解：据图可知，，，且， 则，，即， 可得 ． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·河南商丘·期末）定义一种新运算：．例如：，则化简后的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算．根据新运算的定义，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 33．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，根据新运算的定义，从左到右依次计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ∴ ， 故答案为：． 34．（25-26六年级上·山东济宁·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”．若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，则代数式的值________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、有理数的运算，整式的加减运算，求代数式的值．根据“友好数”和相反数的定义得到，，再利用整式的加减运算法则化简式子，再代入求值即可． 【详解】解：∵有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 整式的运算中看错类题型题型08 35．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 36．（25-26七年级上·河南郑州·期末）小强同学在考试时没有认真审题，在计算时，误将看成了，求得的结果是，已知， (1)请你帮他求出； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入后进行化简即可； （2）根据“两个非负数的和为，则这两个数一定为”确定，的值，再代入由（1）所得的结果中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的结果是，， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 37．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，12 【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 38．一位同学做一道题：“已知两个多项式A和B，其中，试求．”他误将“”看成“”，得出的结果是．请你帮他求出这道题的正确结果． 【答案】 【分析】根据运算出的值，再代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 39．（25-26七年级上·江西吉安·期末）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求多项式； (2)的正确结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）直接代入计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 40．（25-26七年级上·江西赣州·期末）小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算，解题的关键是根据已知条件建立等式，通过移项．合并同类项求解多项式，再代入计算正确结果． （1）根据错误的计算，结合的表达式，通过移项、合并同类项求出，再求出即可； （2）先求出，再根据的结果与的值无关，得出，再求出m的值即可． 【详解】（1）解：已知，且，则： ， ∴ ； （2）解： ∵， ∴ ， ∵的结果与的值无关， ∴， 解得：． 整式的运算中遮挡类题型题型09 41．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）泽泽在练习册上看到一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式： (1)请你帮助泽泽求出破损部分的整式； (2)如果且，且请求出破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求； （2）利用，且，解出x、y以及把x、y的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为 所以． 则原式 ． 42．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M． (1)计算M的结果； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查整式加减运算的应用及已知字母的值求代数式的值． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）把的值代入，再根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意， ； （2）解：当，时， 则． 43．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 44．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下：． (1)求所捂的多项式； (2)求所捂的多项式与的差 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键： （1）用，进行计算即可； （2）根据整式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 45．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 整式的运算中定值类题型题型10 46．（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知，． (1)当，时，计算的值； (2)若无论代入何值，的值始终为一个定值，请求出这个定值和的值． 【答案】(1) (2)定值为，的值为 【分析】本题考查整式加减运算与代数式的化简与求值，以及“定值问题”的处理思路． （1）先代入，分别计算和，再求的值． （2）先化简，使其成为关于的一次多项式，再根据“无论取何值，值为定值”的条件，令含的项的系数为，从而求出和定值． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ； （2）解： ． 无论取何值，的值为定值， 含的项的系数为，即， 解得，此时． 47．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）观察下面三行数： 第一行：；……① 第二行：；……② 第三行：；……③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： (1)直接写出第①行数的第8个数是______；第②行数的第8个数是_____；第③行数的第8个数是______； (2)取每一行的第个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数均有为一个定值，求的值及这个定值． 【答案】(1)256；258；； (2)时，为定值21 【分析】本题考查了数字类规律，整式的加减等知识，找到三行数的规律是解题的关键； （1）第①行数的规律是正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，每项是2的乘方；第②行数的规律是第①行数加2得到对应的第②行数；第③行数与第②行数对应的数的和为5；据此规律即可完成三空的填写； （2）根据三行数的规律，则可用n表示出A，B，C，再代入中计算即可． 【详解】（1）解：第①行数的规律是正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，每项是2的乘方，且指数与项数相同， 则第8个数为； 第②行数的规律是第①行数加2得到对应的第②行数，则第8个数为； 第③行数与第②行数对应的数的和为5，则第8个数为； 故答案为：256；258；； （2）解：由三行数的规律得：， ， 由题意知，， 即，此时， 故当时，为定值21． 48．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）小明同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，在求时，他把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替他求出的正确答案； (2)小明同学发现，当时，的值是一个定值，请求出这个定值． 【答案】(1) (2)这个值是 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值； （1）先根据题意求出，再求出的值即可； （2）先求出，然后再把代入求值即可； 解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项法则，准确计算． 【详解】（1）解：据题意得： ∴ ， ． （2）解： ， 当时，原式=， ∴这个值是． 49．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）代入数据，对去括号，合并同类项化简即可； （2）由（1）知根据题意使即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：由（1）知， ∵当取任何数值，的值是一个定值， ∴， 解得． 50．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知：，， (1)求 的值． (2)无论 取何值， 都是一个定值，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入式子、计算即可； （2）根据题意可知式子的结果与无关，据此进行解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∵无论 取何值， 都是一个定值， ∴， 即． 整式的运算实际应用整除题型题型11 51．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【详解】（1）略 （2）略 52．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． (1)当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 【答案】(1) 能 (2) 证明： ∵能被整除， 已知可以被整除， ∴能被整除， 即可以被整除． 【分析】（1）根据能被3整除的数的特征，计算四个数字的和，判断和能否被3整除即可得到结论； （2）先将四位数展开为代数式，对代数式变形提取公因式3，结合已知条件即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵ ∴该四位数能被3整除． （2）略 53．若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：． (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【答案】(1)不是；是 (2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）． 根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是． 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： ∴ 所以能被5整除． 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【分析】（1）根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数． （2）利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值．通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断． 【详解】（1）解：对于4376： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是； 百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以不是千丝数． 对于7787： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是，个位数字是，它们的平均数是； 百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以是千丝数． （2）略 【点睛】①千丝数需要同时满足两个判定条件；②各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数．③证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性． 54．（2026·安徽合肥·三模）在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除下面是数学学习小组探究“自然数被9整除的规律”的学习片段． 猜想：一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除． 【探究一】若这个自然数是两位数 设这个两位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究二】若这个自然数是三位数 设这个三位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究三】若这个自然数是四位数 (1)请将【探究三】补充完整． (2)请写出一个能被9整除的五位数． 【答案】(1)证明：设这个四位数为， 则． 能被整除，能被整除， 能被整除， 即能被整除． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）仿照题目给出的两位数、三位数的探究过程，将四位数拆分为9的倍数部分加上各数位数字和的部分，利用整除的性质完成推导即可； （2）根据探究得到的规律，写出各数位数字之和能被9整除的五位数即可． 【详解】（1）略； （2）解：由探究可得，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除． 取五位数，它的各数位数字和为，能被整除， 因此是符合要求的能被整除的五位数．（答案不唯一） 55．（2026·江苏盐城·二模）若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． (1)判断 是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； (3)若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 【答案】(1)解：是“友善四位数”，理由如下： ∵四位数， ∴各数位数字为， ∴各数位数字互不相等， 又∵ ，，满足， ∴是友善四位数； (2)或 (3)证明：∵，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴能被整除，即能被1111整除． 【分析】（）根据“友善四位数”的定义判断即可求解； （）根据“友善四位数”的定义可得 ，再结合数字的取值范围和各数位互不相等的条件，枚举得到符合要求的四位数即可； （）将和分别用代数式表示，相加后结合化简，可得到是与整数的乘积，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四位数是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是的整数，且四个数位数字互不相等， ∴，即， 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； 当时，，与千位数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； ∴这个友善四位数是或， 故答案为：或； （3）略 整式的运算实际应用题型12 56．（25-26七年级上·山东聊城·期末）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 57．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 58．（24-25七年级上·山东聊城·期末）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 59．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 60．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人． (1)用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； (2)求七年级一班的总人数． 【答案】(1)第二组人数：（人）．第三组人数：（人）．第四组人数：（人） (2)人 【分析】（1）分别用代数式表示出各组的人数即可； （2）将各组的人数相加，再合并同类项可得总人数． 【详解】（1）解：第二组人数：（人）． 第三组人数：（人）．                  第四组人数：（人）； （2）解： （人）， 故七年级一班的总人数是人． 1．（25-26七年级上·新疆博尔塔拉·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴A选项错误； B、 ∵与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B选项错误； C、∵， ∴C选项正确； D、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并， ∴D选项错误． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 3．（2026·山西·中考真题）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 4．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可. 【详解】解：根据题意，得. 5．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出纵向三个整式之和，然后列式表示出“？”并用整式的加减运算化简即可． 【详解】解：纵向三个整式之和为：， 由题意可得：“？”为． 6．（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分析得造型桌面的长、宽分别为，则可求得该桌面的周长． 【详解】解：造型桌面的长为，宽为， 则该造型桌面的周长为． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 【答案】 【分析】根据两个多项式的和与其中一个多项式，可用两式的差求出另一个多项式． 【详解】解：依题意得：另一个多项式 ． 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）先化简，再求值：已知， 求的值． 【答案】，450 【分析】由非负数的性质可求得x与y的值，再将A和B代入中，去括号，合并同类项进行化简，再将x与y的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 把代入，原式． 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可； （2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解： ，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 11．（24-25六年级上·山东烟台·期中）现定义一种新运算“”，规则如下：．如，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： (1)求的值 (2)化简 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（     ） A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】A 【分析】设大长方形的长和宽分别为，利用割补法表示出阴影部分面积，再结合选项中长方形的面积公式进行比对即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由图知：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵已知， ∴要得到阴影部分的面积，还需知道． 2．（25-26八年级下·重庆云阳·期末）已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 3．（2026·重庆·二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 【详解】解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 4．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A和B B和C C和D D和E E和A 两数的和 54 66 59 71 48 李明经过思考，说出答案：________卡片上的数最大． 【答案】B 【分析】由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； ∴，且， ∴B卡片上的数最大． 5．（25-26七年级下·北京·期末）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 【答案】(1)如图所示： ， (2)6或9 【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8与7，要填的两个数字为4与5，据此左边要填的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S； （2）三个圆圈上的所有数字和为，即，根据取值即可确定的值． 【详解】（1）解：图略； ； （2）解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 7．（2026·湖北·中考真题）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题 单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？ 【模型假设】 假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关． 【模型建立】 如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段，艇尾记为点，艇首记为点． Ⅰ．运动员的位置依次用点，，，表示，，． Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于上方与下方的桨的数量相等． Ⅲ．规定：当桨的位置位于上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于下方时，对应的点所表示的数记为负数． 例：在图1中，桨1的位置位于上方，，所以点表示的数是；桨2的位置位于下方，，点表示的数是． (1)在图1中，______，点表示的数是______，点表示的数是______． 【模型分析】 通过研究，记点，，，所表示的数的和为，当时，赛艇保持“稳定”；当时，赛艇失去“稳定”． (2)在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由． 【模型应用】 (3)类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置． 【答案】(1)，， (2)能，理由如下： 由题意可知， ； 所以赛艇能保持“稳定”； (3)或 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）将点，，，所表示的数相加即可解答； （3）根据题意可得剩余四支桨的位置一定为两上两下，结合点，，，所表示的数的和为0，画图即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 由图1可知，桨3在下方， 因此点表示的数为； ，桨4在上方，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为， 根据图2可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ∴点，，，所表示的数的和为0， ∴， 或． 1．（2026·陕西·中考真题）在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 2．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 4．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2整式的加法与减法 （整式的化简与应用） 参考答案 整式的加减运算题型01 1. 解： ． 2. 解：原式 ． 3.（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4. （1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 5. （1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 判断整式的加减运算过程是否正确题型02 6. （1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 7. 解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 8. 解：有错，正确的解答过程如下： ． 9. （1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 10. （1）解：以上步骤第一步是进行去括号； 故答案为：去括号； （2）解：以上步骤第一步开始出现错误， 去括号时弄成了，去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； 故答案为：一；去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； (3)解： ． 绝对值与整式的加减运算综合题型03 11. （1）解：观察数轴得， ∴，，， 故答案为：<；>；>； （2）解：依题意，得，，， ． 12. 解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ . 13. （1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 14. （1）解：由数轴可得，，且， ． （2）解：∵， ∴ ． 15. （1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 整式加减中的化简求值问题题型04 16. 解： ， 把代入得： 原式 ． 17. 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 解： ， 当，时，原式． 19. 解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 20. 解： ． 当，时 原式． 整式加减中无关类问题题型05 21. （1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 22. （1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 23. （1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 24. （1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 整式的运算比较大小题型06 25. 26. 27. 28. 29. 整式的运算中新定义类题型题型07 30. 31. 32. 33. 34. 整式的运算中看错类题型题型08 35. （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 36. （1）解：∵的结果是，， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 37.解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 38. 解：∵， ∴， ∴． 39. （1）解：（1） ； （2）解： ． 40.（1）解：已知，且，则： ， ∴ ； （2）解： ∵， ∴ ， ∵的结果与的值无关， ∴， 解得：． 整式的运算中遮挡类题型题型09 41. （1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为 所以． 则原式 ． 42. （1）解：根据题意， ； （2）解：当，时， 则． 43. （1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 44.（1）解： ； （2）解：． 45. （1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 整式的运算中定值类题型题型10 46. （1）解：当，时， ， ， ； （2）解： ． 无论取何值，的值为定值， 含的项的系数为，即， 解得，此时． 47. （1）解：第①行数的规律是正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，每项是2的乘方，且指数与项数相同， 则第8个数为； 第②行数的规律是第①行数加2得到对应的第②行数，则第8个数为； 第③行数与第②行数对应的数的和为5，则第8个数为； 故答案为：256；258；； （2）解：由三行数的规律得：， ， 由题意知，， 即，此时， 故当时，为定值21． 48. （1）解：据题意得： ∴ ， ． （2）解： ， 当时，原式=， ∴这个值是． 49. （1）解：根据题意，得 ； （2）解：由（1）知， ∵当取任何数值，的值是一个定值， ∴， 解得． 50. （1）解： ； （2）解：∵， ∵无论 取何值， 都是一个定值， ∴， 即． 整式的运算实际应用整除题型题型11 51. 解：(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； 52.（1）解：∵，，，， ∴， ∵ ∴该四位数能被3整除． (2) 证明： ∵能被整除， 已知可以被整除， ∴能被整除， 即可以被整除． 53. （1）解：对于4376： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是； 百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以不是千丝数． 对于7787： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是，个位数字是，它们的平均数是； 百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以是千丝数． (2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）． 根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是． 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： ∴ 所以能被5整除． 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 54. (1)证明：设这个四位数为， 则． 能被整除，能被整除， 能被整除， 即能被整除． （2）解：由探究可得，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除． 取五位数，它的各数位数字和为，能被整除， 因此是符合要求的能被整除的五位数．（答案不唯一） 55. (1)解：是“友善四位数”，理由如下： ∵四位数， ∴各数位数字为， ∴各数位数字互不相等， 又∵ ，，满足， ∴是友善四位数； （2）解：∵四位数是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是的整数，且四个数位数字互不相等， ∴，即， 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； 当时，，与千位数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； ∴这个友善四位数是或， 故答案为：或； (3)证明：∵，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴能被整除，即能被1111整除． 整式的运算实际应用题型12 56. （1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 57. （1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 58. （1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 59.（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 60. （1）解：第二组人数：（人）． 第三组人数：（人）．                  第四组人数：（人）； （2）解： （人）， 故七年级一班的总人数是人． 1. C 2. C 3.D 4. C 5. 6. 7. 8. 9. 解：∵， ∴， ∵ ， 把代入，原式． 10. （1）解： ，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 11. （1）解： ； （2）解： ． 12. （1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 13. （1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 1. A 2. C 3. B 4. B 5. (1)如图所示： ， (2)6或9 6. （1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 7. （1）解：根据题意，， 由图1可知，桨3在下方， 因此点表示的数为； ，桨4在上方，因此点表示的数为； (2)能，理由如下： 由题意可知， ； 所以赛艇能保持“稳定”； （3）解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为， 根据图2可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ∴点，，，所表示的数的和为0， ∴， 或． 1. D 2. 16 3. 4.理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $