1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数交点式的推导及三类解析式（一般式、顶点式、交点式）的应用，通过旧知回顾（韦达定理、抛物线与x轴交点、已学解析式）搭建支架，引导学生从一般式出发，用韦达定理替换系数完成推导，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以合作学习任务（小组研讨代数变形依据）培养推理意识，汇总三类解析式适用场景表强化模型意识，结合拱桥问题等实际例题提升应用意识。典例分析覆盖不同已知条件下的解析式选择，课堂练习层次分明，助力学生掌握知识，教师可直接用于教学提高效率。

1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系 （第2课时） 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 依托一元二次方程根与系数的关系,能分步完成二次函数交点式y=a(x-x1)(x-x2)的代数推导理解式子每一步变形依据。 熟记二次函数三类解析式(一般式、顶点式、交点式)的书写格式，分清每种形式各自适配的已知条件。 可以依据抛物线和x轴交点坐标写出交点式，代入额外点求解参数a,完成基础解析式求值题目。 旧知回顾 前置知识1：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1，x2， 韦达定理： 前置知识2：抛物线与x轴交点(x1，0)，(x2，0)的横坐标，是对应一元二次方程的两个实数根； 前置知识3：已经学过二次函数一般式y=ax2+bx+c，顶点式y=a(x-m)2+k。 借助方程两根，能不能推出全新的二次函数书写形式? 合作学习 小组讨论 任务1：跟着步骤做代数变形 1.对一般式提取系数： 小组研讨：为什么要把a整体提出来? 统一二次项系数，方便套用韦达定理替换 2.用韦达定理替换：，代入 小组研讨：括号内的二次多项式可以因式分解成什么? 因式分解得到交点式： y=a(x-x1)(x-x₂) 4 合作学习 小组讨论 任务2：三类解析式汇总梳理 解析式类型 表达式 适用场景 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 已知抛物线上任意 3 个普通点 顶点式 y=a(x−m)2+k(a≠0) 已知顶点(m，k)或者最值、对称轴 交点式 y=a(x−x1​)(x−x2​)(a≠0) 已知抛物线与x轴两个交点(x1​，0)，(x2​，0) 5 典例1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点：(-1，-1)，(0，-2)，(1，1). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 典例分析 (1)解：将(-1，-1)，(0，-2)，(1，1)分别代入y=ax²+bx+c， 得 解得 所以这条抛物线对应的二次函数表达式为y=2x²+x-2; 典例1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点：(-1，-1)，(0，-2)，(1，1). (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 典例分析 (2)解对二次函数配方得y=2x2+x-2=2(x2+x)-2=2(x+)²- ∵a=2>0 抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，顶点坐标为(，-) (3)解：∵抛物线开口向上 这个函数有最小值，最小值为 练一练 已知一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-11)，(1，9)三点，求这个二次函数的表达式 典例分析 解：由题知，设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0)， 将(0，0)，(-1，-11)，(1，9)代入，得 解得 所以这条抛物线对应的二次函数表达式为y=-x²+10x; 典例分析 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点A(0，-2)，顶点为 B(1，-3)。 (1)求该二次函数解析式. (2)当0≤x≤6时，求y的取值范围. 典例2 (1)解：顶点为B(1，-3)， 二次函数解析式为y=a(x-1)²-3， 代入点A(0，-2)得，-2=a-3， 解得a=1， 该二次函数解析式为y=(x-1)²-3; （2）解：抛物线y=(x-1)²-3的开口向上，对称轴为直线 x=1，函数有最小值为-3， 当 x=6时， y=(6-1)2-3=22, 当x=0时，y=(0-1)2-3=-2, ∴当0≤x≤6时， y的取值范围是-3≤y≤22. 典例分析 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为(2，4)，且经过点(1，-7). (1)求该抛物线的解析式； (2)将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式 练一练 (1)解：抛物线的顶点坐标为(2，-4)， 设抛物线的解析式为y=a(x-2)²-4， 把点(1，-7)代入得：a(1-2)²-4=-7， 解得：a=-3， 抛物线的解析式为y=-3(x-2)²-4; (2)解：将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到y=-3(x-2+2)2-4+5，即平移后的抛物线的解析式为y=-3x2+1. 典例分析 已知二次函数图象经过(-1，0)、(1，3)、(3，0)三点 (1)求二次函数表达式； (2)结合图象直接写出y>0时，自变量x的取值范围是 。 典例3 (1)解：由题意可设y=a(x+1)(x-3)，把点(1，3)代入得： a(1+1)(1-3)=3，解得：a=， ∴二次函数表达式为 (2)解：由(1)函数解析式可得图象 由函数图象可知：当y>0时，自变量x的取值范围是-1<x<3; 典例分析 已知二次函数图象与x轴的交点是(1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点P(-1，8)是否在此抛物线上. 练一练 (1)解：∵二次函数图象与x轴的交点是(1，0)，(3，0)， 设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)， 依题意，把(0，3)代入y=a(x-1)(x-3)，得3=a×(0-1)×(0-3)， 解得a=1，∴y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3; (2)解：由(1)得y=x2-4x+3，当x=-1时，y=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∴点P(-1，8)在此抛物线上. 课堂练习 1.已知抛物线y1顶点坐标为(-1，2)，且与y2=x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为( ) A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=-(x-1)2+2 D.y=-(x-1)2+2 2.二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1，-7)和(-1，-3)，则b，c的值分别是( ) A. 2，4 B. 2，-4 C. -2，4 D. -2，-4 课堂练习 3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3 课堂练习 4.2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，某校计划举行一次安全教育活动，学生会的小月同学查看了活动当日的天气情况，发现活动当日8时至20时的气温y(°C)随时间t(h)的变化满足二次函数关系，其图象如图所示，那么这天的最高气温是( ) A.23℃ B.24℃ C.25℃ D.26℃ 课堂练习 5.已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式: 。 y=-x2（答案不唯一） 6.将抛物线y=-2(x-1)2-1先向左平移2个单位长度，再向上平移h(h>0)个单位长度。若得到的抛物线经过点(-2，3)，则h的值是 。 6 课堂练习 7.已知：二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，如表: 则二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是 。 思路点拨：由表格数据可知，二次函数经过点(-3，0)和(1，0)，因此对称轴为直线x=-1，顶点横坐标为-1，代入函数表达式求纵坐标。 （-1，） 课堂练习 8.求下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点(2，8); (2)抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且抛物线经过点(1，10); (3)抛物线经过三点：(0，-2)，(1，0)，(2，3) (1)解：因为抛物线顶点在原点,设二次函数表达式为y=ax2。将点(2，8)代入表达式得8=a·22. 解得a=2. 因此二次函数表达式为y=2x2. 课堂练习 8.求下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点(2，8); (2)抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且抛物线经过点(1，10); (3)抛物线经过三点：(0，-2)，(1，0)，(2，3) (2)解：因为抛物线顶点坐标为(-1，-2)，设二次函数表达式为y=a(x+1）²-2 将点(1，10)代入表达式得10=a(1+1)²-2解得a=3. 展开整理得y=3(x+1)²-2=3x2+6x+1因此二次函数表达式为y=3x²+6x+1. 课堂练习 8.求下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点(2，8); (2)抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且抛物线经过点(1，10); (3)抛物线经过三点：(0，-2)，(1，0)，(2，3) (3)解：设二次函数表达式为y=ax²+bx+c。 将(0，-2)，(1，0)，(2，3)分别代入表达式得 解得 所以这条抛物线对应的二次函数表达式为y=x²+x-2; 课堂练习 9.如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度AB为12米。若以水面AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题: 由题知A(-6，0) 、B(6，0) 、C(0，3.6) ， 设抛物线为y=ax2+3.6 ∴3.6=62a，解得a= -0.1, 桥洞所对应的抛物线的解析式为y=-0.1x2+3.6; (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； 课堂练习 9.如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度AB为12米。若以水面AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题: 解：∵4.6-1.4=3.2 当y=3.2时，3.2=-0.1x²+3.6, 解得x=±2, 横幅长为：2-(-2)=4米； (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH，横幅上边沿EF与桥面PQ重合，G、H恰好落在拱孔上，求横幅的长 $