2.4 概率的简单应用（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦概率的简单应用，涵盖等可能事件概率计算、频率估计概率、标记重捕法等核心知识点。通过伯努利频率稳定性理论及移植存活率、鱼塘估算等生活实例导入，衔接知识回顾中的等可能事件公式与频率概率关系，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点是以抽奖、渔场估算、疾病防控等真实情境为载体，通过问题驱动和典例分析，培养数学眼光（抽象实际问题为概率模型）、数学思维（推理与运算）、数学语言（数据意识与模型意识）。课堂小结系统梳理知识技能、思想方法及易错点，帮助学生建立统计与概率思维，教师可直接用于教学提升效率。

2.4 概率的简单应用 第二章 随机事件的概率 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 经历运用等可能概率公式、频率估计概率、标记重捕法解决生活实际问题的完整探究过程，感知概率在养殖、销售、人口统计、疾病防控等真实场景中的应用。 掌握等可能随机事件的概率计算公式；会通过多组试验频率估计事件发生概率；熟练利用标记重捕法结合比例方程估算总体数量；能规范书写概率应用题解题步骤。 体验数学知识解决生产生活问题的实用价值，建立用统计与概率模型分析现实问题的思维；能区分确定性判断与随机统计预测，培养严谨、客观的数据说理意识。 概率的取值边界与意义 等可能事件的概率公式 P(A) = 当试验的所有结果有限且发生的可能性完全相等时，事件A发生的概率等于其包含的有利结果数m与总结果数n的比值。这是古典概型的基础计算方式。 P(A) = 0 → 不可能事件 事件A在试验中绝对不会发生 0 < P(A) < 1 → 随机事件 事件A可能发生也可能不发生 P(A) = 1 → 必然事件 事件A在试验中一定会发生 知识回顾 频 率 概 率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率； 试验抽取的样本容量越大，频率与概率的差值越小。 知识回顾 频率与概率 频率 事件发生的频繁程度 事件发生的可能性大小 稳定性 大量重复试验 概率 知识回顾 （1）抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出数字 3 的概率是多少？ 频率与概率 说一说 （2）重复抛掷骰子 1000 次，数字 3 出现的频率会稳定趋近于哪个数值？ 抛掷一枚质地均匀的骰子共6种等可能结果，“3”是其中1种。 P(掷出3) = 理论概率 会稳定在 附近。 大量重复试验会让频率无限逼近这个理论值。 频率估计概率 导入新课 瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４－１７０５）,被公认的概率论的先驱之一，他最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。 实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。 导入新课 概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策，因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。 ＊移植树木时希望知道树苗的存活率有多大， 例如 幼树移植成活率可理解为成活的概率.是实际问题中的一种概率 ٭出门旅游时希望知道天气晴朗的概率有多大。 •••••• ٭在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。 ٭随着移植数n越来越大，频率一会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。 导入新课 养殖户想要估计渔场中有多少条鱼，你能用概率的知识帮他设计一种估算方法吗？ 池塘里鱼的总数无法一次性全部捕捞清点，我们可以借助抽样、频率、概率的相关知识，科学估算鱼塘鱼的总数量 ——今天我们就学习概率在实际问题中的应用。 新知探究 知识点1 等可能抽奖场景的概率计算 背景材料： 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同。以每 10 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 100 个。 （1）单次抽取 1 张奖券，全部等可能结果一共有多少种？ 问题解决： （2）“抽中一等奖” 这件事包含多少种获奖结果？如何计算抽中一等奖的概率？ 每 10 000 张奖券为一个开奖单位，抽取结果一共10000种 一等奖 10 个，中奖率： 10÷10000= 单个奖项概率 = 该奖项奖券数量 ÷ 开奖单位总奖券数量； 全部中奖总概率 = 所有获奖奖券数量之和 ÷ 开奖单位总奖券数量； 新知探究 知识点1 等可能抽奖场景的概率计算 背景材料： 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同。以每 10 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 100 个。 问题解决： （3）“中奖” 包含特等奖、一等奖、二等奖三类，所有中奖奖券一共有多少张？怎么计算任意 1 张奖券中奖的概率？ 所有中奖奖券种类和=1+10+100=111（种） 任意 1 张奖券中奖的概率： 111÷10000= 解：因为 10 000 张奖券中能中一等奖的张数是 10 张， 所以 1 张奖券中一等奖的概率： 典例分析 知识点1 等可能抽奖场景的概率计算 例 1.某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同。以每 10 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 100 个。问：1 张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？ 又因为 10 000 张奖券中能中奖的奖券总数 （张）， 所以 1 张奖券中奖的概率： 答：1 张奖券中一等奖的概率是，中奖的概率是。 规范解答： 等可能抽奖的概率计算 P(事件) =符合条件的结果÷总结果数 新知探究 知识点2 用大量样本频率估计随机事件的概率 背景材料： 某渔场养殖了草鱼和鲤鱼，养殖户为了与商户签订买卖协议，需要提前预估渔场中两种鱼的总条数。养殖户随机从渔场中捞出 200 条鱼，其中草鱼 138 条，鲤鱼 62 条，分别做好标记后放回渔场。在它们完全混合于鱼群后，依次捞出不同数量的鱼，统计两类鱼的数量，如表 所示。 捞出鱼的总数 100 200 500 1 000 2 000 草鱼的数量 72 136 354 725 1 450 捞出草鱼的频率           鲤鱼的数量 28 64 146 275 550 捞出鲤鱼的频率           （1）请分别算出每组样本中草鱼、鲤鱼对应的频率； 问题解决： 频率=频数÷总数 捞出鱼的总数 100 200 500 1 000 2 000 草鱼的数量 72 136 354 725 1 450 捞出草鱼的频率 0.720 0.680 0.708 0.725 0.725 鲤鱼的数量 28 64 146 275 550 捞出鲤鱼的频率 0.280 0.320 0.292 0.275 0.275 背景材料： 某渔场养殖了草鱼和鲤鱼，养殖户为了与商户签订买卖协议，需要提前预估渔场中两种鱼的总条数。养殖户随机从渔场中捞出 200 条鱼，其中草鱼 138 条，鲤鱼 62 条，分别做好标记后放回渔场。在它们完全混合于鱼群后，依次捞出不同数量的鱼，统计两类鱼的数量，如表 所示。 新知探究 知识点2 用大量样本频率估计随机事件的概率 问题解决： （2）随着捞出鱼的总数不断增大，草鱼、鲤鱼的频率数值呈现怎样的变化趋势？ 随着试验样本容量不断扩大，草鱼、鲤鱼的频率数值波动会越来越小，最终稳定在某个固定常数附近； 背景材料： 某渔场养殖了草鱼和鲤鱼，养殖户为了与商户签订买卖协议，需要提前预估渔场中两种鱼的总条数。养殖户随机从渔场中捞出 200 条鱼，其中草鱼 138 条，鲤鱼 62 条，分别做好标记后放回渔场。在它们完全混合于鱼群后，依次捞出不同数量的鱼，统计两类鱼的数量，如表 所示。 新知探究 知识点2 用大量样本频率估计随机事件的概率 问题解决： （3）当样本容量足够大时，频率稳定后的数值可以用来表示什么？ 随着试验样本容量不断扩大，随机事件的频率波动会越来越小，最终稳定在固定常数附近；这个稳定常数可以用来估计该事件发生的概率 背景材料： 某渔场养殖了草鱼和鲤鱼，养殖户为了与商户签订买卖协议，需要提前预估渔场中两种鱼的总条数。养殖户随机从渔场中捞出 200 条鱼，其中草鱼 138 条，鲤鱼 62 条，分别做好标记后放回渔场。在它们完全混合于鱼群后，依次捞出不同数量的鱼，统计两类鱼的数量，如表 所示。 新知探究 知识点2 用大量样本频率估计随机事件的概率 问题解决： （4） 估计在该渔场中随机捞出一条鱼是草鱼的概率。 由表格可得，随机捞出一条鱼是草鱼的频率接近于0.725 估计随机捞出一条鱼是草鱼的概率是0.725 即 P（随机捞出一条鱼是草鱼）=0.725 新知探究 知识点3 利用比例方程估算总体数量 某渔场养殖了草鱼和鲤鱼，养殖户为了与商户签订买卖协议，需要提前预估渔场中两种鱼的总条数。养殖户随机从渔场中捞出 200 条鱼，其中草鱼 138 条，鲤鱼 62 条，分别做好标记后放回渔场。在它们完全混合于鱼群后，依次捞出不同数量的鱼，统计两类鱼的数量 背景材料： 问题解决： (5) 若养殖户在渔场里随机捞出 1 000 条鱼，草鱼 725 条，鲤鱼 275 条。其中，带有标记的草鱼有 12 条，带有标记的鲤鱼有 10 条。请你估计该渔场中共有多少条草鱼和多少条鲤鱼。 （5）设渔场中草鱼的数量为，鲤鱼的数量为。由题意得， 随机捞出 1 000 条鱼，其中草鱼 725 条，带有标记的草鱼有 12 条。 在捞出的 725 条草鱼样本中，带有标记的草鱼所占的比例， 应当和放入的带有标记的草鱼在渔场的全体草鱼中所占的比例是相近的。 解得。 同理， 解得。 答：估计该渔场中共有 8 338 条草鱼和 1 705 条鲤鱼。 新知探究 知识点3 利用比例方程估算总体数量 标记重捕法 解题思路 1.第一次捕捞，将捕捞的鱼条数全部标记放回， 2.第二次捕捞，计算实验标记鱼占捕捞的鱼总数的比例 3.估计整个鱼塘标记鱼占鱼总数的频数 4.公式： 鱼塘总鱼数≈第一次标记总数÷重捕样本中标记鱼的频率 捕捞样本量越大，标记鱼出现的频率越稳定，估算结果越准确。 5.列方程计算 设总体数量为，第一次标记个体总数； 二次抽取样本数，样本内标记个体数 ∵ ∴ 归一归 新知巩固 教材p70页 1.九年级三班同学统计了 100 辆私家车的乘坐人数，统计结果如下表： 每辆私家车乘客的数目 1 2 3 4 5 私家车的数目 58 27 8 4 3 根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过 2 名乘客的概率。 解：载客超过 2 名乘客，即乘客数目为 3、4、5， 符合条件私家车总数：（辆） 总私家车样本数量：100 辆 答：抽查一辆私家车且载有超过 2 名乘客的概率为。 课内练习 KENEILIANXI 新知巩固 教材p70页 2.某公司举办周年庆活动，每位参加者领 1 张奖券参加摇奖。共分发 328 张奖券，每张奖券获奖的机会相同。小王所在的销售部门共有 25 人参加晚会。如果第一轮摇奖只有 1 张奖券号码能中奖，那么在第一轮摇奖中，小王得奖的概率是多少？小王所在的销售部门有人得奖的概率是多少？ 解：总奖券数量 328 张，仅 1 张中奖。 小王只持有 1 张奖券，因此小王得奖概率： 销售部门 25 人，共持有 25 张奖券，因此部门有人得奖概率： 答：小王得奖的概率是，小王所在销售部门有人得奖的概率是。 课内练习 KENEILIANXI 拓展提升 1．某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（    ） A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 解：依题意得击中靶心频率为0.90， A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确； B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误； C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误； D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误； A 真题感知 1.（2023·甘肃兰州·统考中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是 ．（填序号） 解： ①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确． ①③ 2．（2025•揭阳校考）在军训结束的汇报演出中，某同学在一次射击中，射中 10环、9 环、8 环的概率分别是0.25 、0.29 、0.20 ，那么这名同学： (1)射中10 环或 9环的概率是多少？ (2)不够8 环的概率是多少？ (3)如果他射击100 次，估测一下射中9 环（包含9 环）以上的次数． 解： （1） ∵射中10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.25 、0.29 、0.20 ∴射中10 环或9 环的概率是： ， ∴射中10 环或9 环的概率是0.54 ； （2）∵射中10 环、9 环、 8环的概率分别是 0.25 、0.29 、0.20 ， ∴不够8 环的概率是： ， ∴不够 8环的概率是0.26 ； （3）一下射中 9环（包含9 环）以上的次数为： （次）， ∴估测一下射中 9环（包含 9环）以上的次数为 54次。 真题感知 课堂小结 ① 等可能事件概率计算： 利用，可计算单个奖项、多事件合并的中奖概率； ② 频率估计概率： 大量重复抽样试验后，稳定的频率数值可作为事件发生概率的估计值； ③ 标记重捕法： 根据标记个体的样本占比建立比例方程，求解生物、物品的总体数量。 知识与技能 课堂小结 ①数学建模思想： 将抽奖、捕鱼、人口抽样等生活问题转化为分式概率模型； ②统计估计思想： 用样本数据（频率、比例）推断整体总体的特征； ③方程思想： 标记重捕类估算总量问题，通过比例等式列方程求解未知总量。 思想与方法 课堂小结 ①计算 “中奖”“超过 XX 人” 等复合事件时，漏加全部符合条件的有利结果； ②混淆频率与概率：频率是单次抽样算出的试验值，概率是大量试验后稳定的理论估计值； ③标记重捕列比例式时，分子、分母对应关系颠倒，造成计算结果错误； ④估算生物、车辆等实物总数时，结果出现小数未合理取整，实物数量必须为正整数。 易错点提醒 课后练习 教材p70--71页 1.据疾病预防控制局发布的 “2019 年全国法定传染病疫情概况” 数据显示，2019 年全国（不含香港、澳门特别行政区和台湾地区）共报告法定传染病 10 244 507 例，其中流行性感冒 3 538 213 例。从这 10 244 507 个传染病病例中任意抽查一名传染病患者，患流行性感冒的概率约是多少？ 解：总病例数：10 244 507，流感病例：3 538 213 答：患流行性感冒的概率约为 0.345。 作业题 ZUOYETI 课后练习 教材p70--71页 2.下表为某中学统计的 13 岁学生体重情况。 某中学 13 岁学生体重情况统计表 性别 总人数 正常人数 偏瘦人数 偏重人数 男 258 172 30 56 女 242 165 41 36 合计 500 337 71 92 注：标准体重，标准体重范围属于 “正常”。 （1）根据以上结果，在该中学随机抽取一名学生，估计该生 “偏瘦” 的概率。 （2）从该中学学生中随机抽取一名女生，估计该生 “偏重” 的概率。 作业题 ZUOYETI 解： （1）全校学生合计 500 人，偏瘦共 71 人 答：该生偏瘦的概率为 0.142； 课后练习 教材p70--71页 2.下表为某中学统计的 13 岁学生体重情况。 某中学 13 岁学生体重情况统计表 性别 总人数 正常人数 偏瘦人数 偏重人数 男 258 172 30 56 女 242 165 41 36 合计 500 337 71 92 注：标准体重，标准体重范围属于 “正常”。 （1）根据以上结果，在该中学随机抽取一名学生，估计该生 “偏瘦” 的概率。 （2）从该中学学生中随机抽取一名女生，估计该生 “偏重” 的概率。 作业题 ZUOYETI 解：（2）女生总人数 242 人，偏重女生 36 人 答：该女生偏重的概率约为。 课后练习 教材p70--71页 3.2010～2022 年全国常住人口出生人数统计图如下。2022 年出生（经户籍登记）的新生儿共 956 万人，其中男孩 503.56 万人，女孩 452.44 万人。 （1）从 2022 年出生的新生儿（经户籍登记）中随机选取一名，是男孩的概率是多少？是女孩的概率是多少？ （2）有人认为，出生人口数量在最近几年内都是逐年降低的，因此未来 5 年内每年出生人口数量将低于 2022 年。你认为这种说法对吗？说明理由。 解：（1）新生儿总人数 956 万人，男孩 503.56 万人，女孩 452.44 万人 作业题 ZUOYETI 课后练习 教材p70--71页 3.2010～2022 年全国常住人口出生人数统计图如下。2022 年出生（经户籍登记）的新生儿共 956 万人，其中男孩 503.56 万人，女孩 452.44 万人。 （1）从 2022 年出生的新生儿（经户籍登记）中随机选取一名，是男孩的概率是多少？是女孩的概率是多少？ （2）有人认为，出生人口数量在最近几年内都是逐年降低的，因此未来 5 年内每年出生人口数量将低于 2022 年。你认为这种说法对吗？说明理由。 解：（2）这种说法不对。理由： 近几年出生人口逐年下降只是过往的历史统计数据，出生人口数量属于随机变化的统计指标，无法根据过去短期的变化趋势，确定性预判未来 5 年的人口数量，随机事件不能依靠过往规律给出绝对、肯定的结论。 作业题 ZUOYETI 课后练习 教材p70--71页 4.一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从 0 到 9 的自然数。若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需多少位？ 解：设密码位数为位，每一位数字有 0~9 共 10 种等可能选择，因此全部密码组合总数为。 一次拨对密码仅有 1 种正确组合， 因此一次拨对概率为。 根据题意列不等式： 分子相同，分数值越小则分母越大，得： ， ，满足不等式的最小整数。 答：密码的位数至少需要 3 位。 作业题 ZUOYETI 谢谢聆听 $