1.3 二次函数的性质（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数性质，涵盖开口方向、与x轴交点、对称轴、增减性及最值等核心知识点。通过复习上节课对称轴与顶点坐标公式，以函数y=x²-4x+3为问题支架，衔接旧知，引出本节课对交点情况、增减变化与最值规律的探究。 其亮点是采用分组合作学习，学生计算判别式、画图分析不同c值函数的交点，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过归纳增减性发展推理意识（数学思维），典例和练习用数学语言精确描述性质培养模型意识。学生能直观理解知识，教师可借助结构化流程提升教学效率。

1.3 二次函数的性质 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能结合系数a和判别式△=b2-4ac，判断抛物线开口方向、与x轴交点个数,熟记对称轴与顶点坐标公式； 会根据a的正负，划分二次函数的增减区间，并准确求出函数的最大值或最小值； 建立数形结合思想，能对照图象归纳二次函数性质，利用图象与代数性质解决基础题型。 复习导入 上节课我们已经推导并学习了二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴与顶点坐标，回顾核心公式: 对称轴是直线： 顶点坐标是 函数y=x2-4x+3，它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 顶点在二次函数图象中是特殊点，它除了决定对称轴，还会带来哪些函数性质?本节课：结合图象完整探究二次函数的交点情况、增减变化与最值规律。 新课探究 全班分为三大组，每组固定一个二次函数，先计算判别式，再画图，围绕问题小组探讨： 第1组：y=x2-2x-3；第2组：y=x2-2x+1；第3组：y=x2-2x+3 1.本组函数的a= ，b ，c ，计算出△= ， 2.画出图象后，你的抛物线与x轴有几个交点?交点坐标大概在什么位置? 3.观察顶点和x轴的上下位置关系：顶点在x轴上方、下方，还是刚好落在x轴上? 合作学习 小组讨论 三组函数a、b完全相同，只有常数项c不同，导致△出现三种不同结果，分别对应几种交点情况? 当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是什么？对应抛物线和x轴有几个交点？ 当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是什么？为什么此时抛物线只有1个交点？ 当△<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有没有实数根？抛物线和x轴为什么没有交点？ 5 新知探究 拓展推理问题 如果把函数改为开口向下的形式，以y=-x2-2x+2为例: 1.若△>0，顶点会在x轴上方还是下方？图象和x轴有几个交点? 2.若△<0，整条抛物线会在x轴上方还是下方？还会和x轴相交吗？ ①△>0：抛物线与x轴有2个交点； ②△=0：抛物线与x轴仅有1个交点，顶点落在x轴上； ③△<0：抛物线与x轴没有交点。 新知探究 合作学习 动手画出的两条抛物线开展观察： ①开口向上代表函数：y=x2-2x-3，对称轴直线x=1 ②开口向下代表函数：y= -x2-2x+1，对称轴直线x=-1 1.观察开口向上的抛物线：对称轴左边，曲线是上升还是下降？y随x 变大怎么变？对称轴右侧呢? 2.观察开口向下的抛物线：对称轴左边，曲线是上升还是下降？y随x变大怎么变？对称轴右侧呢？ 3.改变增减变化的分界直线是什么? 新知探究 总结 1.当a>0(开口向上) 对称轴左侧,图象呈下降趋势，y随x的增大而减小；对称轴右侧图象呈上升趋势，y随x的增大而增大。 2.当a<0(开口向下) 对称轴左侧图象呈上升趋势，y随x的增大而增大； 对称轴右侧图象呈下降趋势，y随x的增大而减小。 新知探究 合作学习 继续观察上图两个函数图象，回答下面的问题 1.开口向上的抛物线有没有最高点？有没有最低点？这个特殊点是什么? 2.开口向下的抛物线有没有最低点？有没有最高点？这个特殊点是什么? 3.取得最值时，对应的横坐标、纵坐标如何用a，b，c表示？ 新知探究 总结 ①a>0，开口向上： 图象仅有最低点(顶点)，当时，函数取得最小值图象向上无限延伸，无最高点，因此函数无最大值。 2.a<0，开口向下： 图象仅有最高点(顶点)，当时，函数取得最大值;图象向下无限延伸，无最低点，因此函数无最小值。 典例1 用描点法画函数y= -x2+2的图象，并完成下列问题: (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，随x变化而变化的情况. 典例分析 （1）令x=0，则y=2，即二次函数与y轴的交点为(0，2)； 令y = 0 ，则 -x2+2=0，解得 ，即二次函数与x轴的交点为（ ，0）和（ ，0）； （2）解：由图象可知，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 练一练 已知二次函数y=x²-4x+3. 典例分析 (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与x轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； x ... 0 1 2 3 4 ... y ... ... (3)结合函数图象，请直接写出y<0时x的取值范围. 典例分析 已知点A（1，y1）,B（2，y2）在抛物线y=-(x+1)2+2 上，则下列结论正确的是（ ） A. 2 > y1 > y2 B. 2 > y2 > y1 C. y1>y2>2 D. y2 > y1 > 2 典例2 解：抛物线解析式为y= - (x+1)2+2, ∴a= −1<0，抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,2), ∴抛物线的最大值为2，即抛物线上点的纵坐标都不大于2，可得y1<2，y2<2，排除C，D选项. 又:抛物线对称轴为直线x=-1，当x>-1时，y随x的增大而减小, ∵点A(1，y1)，B(2，y2)满足-1<1<2，两点都在对称轴右侧， ∴y1＞y2，综上可得2＞y1＞y2. 典例分析 点 P1(-1，y1) ， P2(3，y2) ， P3(5，y3) 均在二次函数 y=-x2+4x+c 的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系是（ ） A. y1=y2＞y3 B. y2＞y1=y3 C. y1＞y2＞y3 D. y3＞y2＞y1 练一练 解：二次函数y=-x²+4x+c，a=-1<0， 抛物线开口向下，对称轴为直线 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越近，函数值越大， |-1-2|=3，|3-2|=1，|5-2|=3，1<3=3 y₂>y₁=y3· 典例分析 已知二次函数y=x2-3mx+m2-1(m是常数),求证：无论m为何值,该二次函数的图象与x轴总有两个交点. 典例3 解：对于二次函数y=x2-3mx+m2-1，对应的一元二次方程为x2-3mx+m2-1=0. ∵此方程中a=1，b=-3m，c=m2-1, ∴判别式Δ=b2-4ac=(-3m)2-4×1×(m2-1)=9m2-4m2+4=5m2+4>0 即Δ>0恒成立. ∴无论m为何值，一元二次方程x2-3mx+m2-1=0总有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与x轴总有两个交点. 典例分析 已知二次函数y=x2+ax-6. (1)当a=-1时，求函数图象与x轴的交点坐标。 (2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围 练一练 (1)解:当a=-1时，二次函数y=x2-x-6，当y=0时，0=x2-x-6, 解得：x1=3，x2=−2， ∴函数图象与x轴的交点坐标(-2，0)，(3，0); (2)这样的实数a不存在，理由如下： 因为Δ=a2+24>0, 所以该函数图象与x轴必有交点， 若使该函数图象与x轴没有交点，这样的实数a不存在. 抛物线与c轴交点(判别式△=b²-4ac) 1.△>0：抛物线与x轴有2个交点(x1，0)、(x2，0) a>0：顶点在x轴下方；a<0：顶点在c轴上方。 2.△=0：抛物线与c轴仅有1个交点(顶点落在c轴上，x₁=x₂); 3.△<0：抛物线与x轴无交点； a>0：整条抛物线在x轴上方；a<0：整条抛物线在c轴下方。 知识与技能 课堂小结 对称轴固定为直线：增减性以对称轴为分界： ①a>0(开口向上) ：y随x增大而减小；：y随x增大而增大②a<0(开口向下) ：y随x增大而增大；：y随x增大而减小 知识与技能 课堂小结 函数最值(顶点纵坐标） 顶点坐标：最值在对称轴处取得： ①a>0：当时，函数取最小值，无最大值； ②a<0：当时，数取最大值无最小值。 知识与技能 课堂小结 课堂练习 1.已知二次函数y=x2-2x+3，下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.对称轴为直线x=1 C.顶点坐标为(1，-4) D.当x>1时，y随x的增大而增大 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，,顶点坐标为(2，-3)，那么该抛物线 有( ) A.最小值-3 B.最大值-3 C.最小值2 D.最大值2 课堂练习 3. 二次函数y=-x2-3x+c上有两点A(2，y1)，B(-4，y2) ，则 y1，y2的大小关系为（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. y1=y2 D. 无法确定 4.若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m，0)，则代数式m2+m+119的值为（ ）A.118 B.119 C.120 D.121 课堂练习 5.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，对称轴为直线x=1，当y>0时，x的取值范围是( ) A. -1<x<3 B. x > -1 C. x < -1或x>3 D. 无法确定 课堂练习 6.请写出一个满足以下条件的y关于x的二次函数表达式： ①图象经过原点； 2当x>1时，y随x的增大而增大. 则这个二次函数表达式可以是 .(写出一个即可) y=x2-2x（答案不唯一） 7.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-6x+k(k为常数)与x轴的一个交点是(-1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标为 . (7，0) 课堂练习 8. 已知二次函数y=2x2+4x-6. (1)将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式; (2)求二次函数y=2x2+4x-6图象与x轴，y轴的交点坐标. (1)解：y=2x²+4x-6=2(x+1)²-8，即y=2(x+1)²-8； (2)解：把y=0代入y=2x²+4x-6，得2x2+4x-6=0，解得x₁=1，x₂=-3, 二次函数图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(-3，0)， 把x=0代入y=2x²+4x-6，得y=-6，二次函数图象与y轴的交点坐标为(0，-6). $