精品解析：河北省石家庄市正定县2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期质量评价试题 七年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 4. 琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ①题 B. ②题 C. ③题 D. ④题 5. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4或5 D. 6 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是（　　） 去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 系数化为1，得…⑤ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ） A. 增加，5 B. 增加，10 C. 减小，5 D. 减小，10 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 14. 分解因式：________． 15. 若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是________． 16. 如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是______（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为_____． 18. 如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为________； （2）若，是的高，求的度数． 19. 如图，学校有一块长方形活动区域，长为，宽为，中间预留一块边长为的正方形区域搭建小型书屋，其余区域铺设塑胶地面，求铺塑胶区域的面积，并计算当，时的铺塑胶的面积． 20. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 21. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． （1）请用含a的式子分别表示________，________； （2）当时，分别求，的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 22. 七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． ​​​​【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形？ 23. 智能巡检机器人在工厂巡检、园区安防、电力运维等诸多场景中应用广泛．某科技公司为了优化库存管理，对旗下两款小型智能巡检机器人的销售情况进行了统计．下表是该公司连续两天销售甲、乙两种智能巡检机器人的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 甲种机器人 乙种机器人 第一天 4个 5个 11200元 第二天 6个 10个 19400元 （1）求甲、乙两种机器人每个的售价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种机器人每个的进价分别为1200元和800元，公司决定再采购甲、乙两种机器人共30个，采购资金不超过34400元，求甲种机器人最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，公司销售完这30个机器人的利润不低于8700元，那么有哪几种采购方案？ 24. 实践与探究 材料：将一副直角三角尺分别记作三角尺和三角尺，其中，，． （1）操作一：将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点，则的度数为______°； （2）操作二：保持不变，将图①中的两个三角尺旋转到如图②所示的位置，其中点在上，点在上，点与点重合，点与点重合．若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为．当时，若线段与三角尺的一条直角边（边或）平行，请直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期质量评价试题 七年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：147000用科学记数法可以表示为． 2. 下列各式中，计算结果为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项的知识分别计算，即可判断． 【详解】解：A、，符合题意，故选项正确． B、，不符合题意，故选项错误． C、，不符合题意，故选项错误． D、，不符合题意，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则以及合并同类项，属于基础题，掌握运算法则是解题的必要能力． 3. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可． 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 4. 琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A. ①题 B. ②题 C. ③题 D. ④题 【答案】B 【解析】 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 5. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：由，，不能判定其中的两条直线平行， ， ， 由，能判定另一组直线平行，不能判定， 故选：C． 6. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4或5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： ， 故选：B． 8. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 9. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 10. 下面展示了解不等式的过程，开始出现错误的一步是（　　） 去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 系数化为1，得…⑤ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的基本性质判断即可得出答案． 【详解】解：开始出现错误的一步是①，左边去分母时未加括号； 故选：A． 11. 如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 12. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（ ） A. 增加，5 B. 增加，10 C. 减小，5 D. 减小，10 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交于点，根据三角形的内角和求出，得到，再根据三角形的外角，求出，由图中，得到应增加，即可解答． 【详解】解：延长，交于点， ， 而图中 应增加． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. ________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定关于的不等式，即可求出的取值范围，确定的范围是解题关键． 【详解】解：解不等式组， 解不等式， 得， 解不等式，得 ， 由原不等式组有解集，得 不等式组的解集为， 关于的不等式组有个整数解， 不等式组的整数解为， 可得， 解得． 16. 如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，列代数式．当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是． 【详解】解：在图1中的任一小三角形内任取一点，图中互不重叠的所有角的和是； 在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），图中互不重叠的所有角的和是； 当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3； 当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5； 以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7； 当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是， ∴当取到点，图中互不重叠的所有角的和是：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 琪琪在解不等式组时，发现其中一个的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如下所示． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 由得……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为_____（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为_____． 【答案】（1） （2）C （3） 【解析】 【分析】（1）由一元一次不等式解集求解步骤计算即可； （2）由不等式解法步骤-去分母，得到利用了不等式性质； （3）分别解不等式组中的①②，再由同小取小即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ， 即， ， ， 解得， 故被墨迹覆盖的系数是； 【小问2详解】 解：由去分母过程可知，选C； 【小问3详解】 解：解①得； 解②得； 该不等式组的解集为． 18. 如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为________； （2）若，是的高，求的度数． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中线得，两三角形周长相减消去公共线段，直接算出边长差； （2）由高得，由角平分线求出，再用三角形的外角性质算出． 【小问1详解】 解：∵是中线， ∴， ∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵，， ∴， ∴与的周长差为1； 【小问2详解】 ∵是的高， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∵是的外角， ∴， 即． 19. 如图，学校有一块长方形活动区域，长为，宽为，中间预留一块边长为的正方形区域搭建小型书屋，其余区域铺设塑胶地面，求铺塑胶区域的面积，并计算当，时的铺塑胶的面积． 【答案】铺塑胶的面积为149 【解析】 【分析】先用长方形面积减正方形面积列出面积代数式，展开多项式并合并同类项化简，最后将，代入化简式求出数值． 【详解】解：铺塑胶区域面积： ， 当，时 原式 ， ∴当，时的铺塑胶的面积为． 20. 如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解： 理由如下： 又 （2） 【解析】 【分析】（1）依据同位角相等，即可得到，由平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （2）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 答：的度数为． 21. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． （1）请用含a的式子分别表示________，________； （2）当时，分别求，的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）解： 理由： ， ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：当时 ， ； 【小问3详解】 略 22. 七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． ​​​​【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）已知的三边a，b，c满足，请通过计算说明是什么三角形？ 【答案】（1） （2） （3）解： ，b，c是的三边 是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）运用分组分解法将式子进行因式分解； （2）运用分组分解法将式子进行因式分解； （3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得，据此可得三角形为等腰三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 23. 智能巡检机器人在工厂巡检、园区安防、电力运维等诸多场景中应用广泛．某科技公司为了优化库存管理，对旗下两款小型智能巡检机器人的销售情况进行了统计．下表是该公司连续两天销售甲、乙两种智能巡检机器人的情况： 销售时段 销售数量 销售收入 甲种机器人 乙种机器人 第一天 4个 5个 11200元 第二天 6个 10个 19400元 （1）求甲、乙两种机器人每个的售价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种机器人每个的进价分别为1200元和800元，公司决定再采购甲、乙两种机器人共30个，采购资金不超过34400元，求甲种机器人最多能采购多少个？ （3）在（2）的条件下，公司销售完这30个机器人的利润不低于8700元，那么有哪几种采购方案？ 【答案】（1）甲种机器人每个的售价是1500元，乙种机器人每个的售价是1040元 （2）甲种机器人最多能采购26个 （3）公司有2种采购方案：方案一：采购甲种机器人25个，采购乙种机器人5个．方案二：采购甲种机器人26个，采购乙种机器人4个 【解析】 【分析】（1）设甲种机器人每个的售价是x元，乙种机器人每个的售价是y元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设采购a个甲种机器人，则采购个乙种机器人，根据题意，列出一元一次不等式，求出的取值范围，即可解答； （3）根据题意，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据a为正整数，得到或26，即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种机器人每个的售价是x元，乙种机器人每个的售价是y元． 根据题意，得： 解得： 答：甲种机器人每个的售价是1500元，乙种机器人每个的售价是1040元． 【小问2详解】 解：设采购a个甲种机器人，则采购个乙种机器人． 根据题意，得： 解得： 的最大值为26 答：甲种机器人最多能采购26个． 【小问3详解】 解：根据题意，得： 解得， ∵， ∴，且a为正整数， ，26 公司有2种采购方案 方案一：采购甲种机器人25个 采购乙种机器人5个 方案二：采购甲种机器人26个 采购乙种机器人4个． 24. 实践与探究 材料：将一副直角三角尺分别记作三角尺和三角尺，其中，，． （1）操作一：将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点，则的度数为______°； （2）操作二：保持不变，将图①中的两个三角尺旋转到如图②所示的位置，其中点在上，点在上，点与点重合，点与点重合．若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为．当时，若线段与三角尺的一条直角边（边或）平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据三角形定理求出，再由对顶角相等可得的大小； （2）设，则，过点作，根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，结合平行线的判定与性质，数形结合求解即可． 【小问1详解】 解：由图得， 在中，， 则， ； 【小问2详解】 解：设，则， 过点作，如图④所示： ， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得，即； 【小问3详解】 解：当，且在上方时，延长交于点，如图⑤所示： 将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为， ， ， ，， ， 则，解得； 当，且在下方时，延长交于点，如图⑥所示： 将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为， ， ，， ， 则，解得； 当时，延长交于点，如图⑦所示： 将图①中的三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为， ， ，， ， 则，解得； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $