第10讲 反比例函数概念（暑假预习培优讲义，4题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第10讲 反比例函数概念（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 反比例函数概念 2 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 3 剖题型·讲技巧 题型1 反比例函数识别（基础必考） 3 题型2 定义法求参数（中档高频考点） 4 题型3 待定系数法求解析式（基础应用题） 5 题型4 实际问题列反比例函数（中考基础应用） 6 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数参数综合求值 8 题型2 跨学科反比例模型 9 题型3 与反比例函数有关新定义 12 知中考·真题探源 13 练好题·提分培优 15 课标要点 1.结合现实生活情境，抽象出变量间的反比例变化关系，精准理解反比例函数的定义和核心意义，能够快速识别反比例函数； 2.熟练掌握反比例函数的三种等价表达式，掌握待定系数法的核心步骤，可独立求解反比例函数解析式； 3.能够从工程、几何、行程等实际问题中建立反比例函数数学模型，准确确定自变量的取值范围。 知识点01 反比例函数概念 一、反比例函数标准定义 一般地，形如 （ 为常数，且）的函数叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数。 1. 自变量取值范围：（分式分母不为0，核心限制条件）； 2. 函数值取值范围：； 3. 本质特征：自变量与函数值的乘积恒为定值，即 。 二、三种等价表达（考试全覆盖形式） 形式分类 表达式 适用题型场景 分式标准式 函数识别、已知图像上一点求解析式 乘积定值式 几何面积计算、快速求解参数 负指数幂式 参数求值、根据次数判定反比例函数 三、反比例关系与反比例函数的区别和联系 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y =（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y=​  表示 y 与 x²成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 练习 1．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 1.用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式。 练习 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 题型1 反比例函数识别（基础必考） 方法技巧 ① 整理原式，判断能否化为 的形式； ② 自变量必须为单独一次项，分母不能为等多项式、高次项； ③ 比例系数，彻底排除的无意义情形。 【典例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【变式1-3】下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 题型2 定义法求参数（中档高频考点） 方法技巧 已知 是反比例函数，求参数的值。 1. 定次数：反比例函数自变量指数必须为，即 ； 2. 定系数：比例系数不为0，即 ； 3. 联立求解，舍去不符合条件的增根。 核心技巧：两步条件缺一不可，只计算指数、忽略系数不为0的限制，是本节最高频易错点。 【典例2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【变式2-2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是__________． 题型3 待定系数法求解析式（基础应用题） 方法技巧 设解析式→代入点坐标→求解→还原完整解析式。 【典例3-1】已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式． 【典例3-2】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 【典例3-3】（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式3-1】已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和 时， 的值都是1，求关于的函数关系式． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时，的值． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 题型4 实际问题列反比例函数（中考基础应用） 方法技巧 1. 找定值：确定题目中固定不变的总量（总路程、总面积、总工作量、电压等），即为参数； 2. 设变量：根据题意设出两个变化的自变量、函数变量； 3. 列关系：根据“总量=变量1×变量2”列出定值关系； 4. 定范围：转化为标准反比例函数式，补充自变量实际取值范围（多为）。 【典例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 (1)请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． (2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）一场暴雨过后，一水池存有一定量的雨水，全部排完雨水所需时间（分钟）与排水量（立方米/分）之间成反比例函数关系，已知当排完全部雨水所需时间为8分钟时，每分钟的排水量为立方米． (1)求全部排完雨水所需时间与排水量之间的函数解析式； (2)当排水量为4立方米/分时，全部排完雨水所需的时间为多少分钟？ 【变式4-3】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 题型1 反比例函数参数综合求值 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 5．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 6．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 题型2 跨学科反比例模型 7．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 8．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 10．（25-26九年级上·河南许昌·期末）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 题型3与反比例函数有关新定义 11．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 12．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 一、单选题 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 6．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 5．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 7．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 三、解答题 8．（25-26九年级上·福建三明·期末）已知点在反比例函数的图象上，求和的值． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 11．（2025九年级上·北京·专题练习）已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 12．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 13．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 14．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 15．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 16．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 反比例函数概念（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 反比例函数概念 2 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 3 剖题型·讲技巧 题型1 反比例函数识别（基础必考） 4 题型2 定义法求参数（中档高频考点） 6 题型3 待定系数法求解析式（基础应用题） 8 题型4 实际问题列反比例函数（中考基础应用） 10 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数参数综合求值 13 题型2 跨学科反比例模型 16 题型3 与反比例函数有关新定义 20 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 29 课标要点 1.结合现实生活情境，抽象出变量间的反比例变化关系，精准理解反比例函数的定义和核心意义，能够快速识别反比例函数； 2.熟练掌握反比例函数的三种等价表达式，掌握待定系数法的核心步骤，可独立求解反比例函数解析式； 3.能够从工程、几何、行程等实际问题中建立反比例函数数学模型，准确确定自变量的取值范围。 知识点01 反比例函数概念 一、反比例函数标准定义 一般地，形如 （ 为常数，且）的函数叫做反比例函数。其中是自变量，是的函数。 1. 自变量取值范围：（分式分母不为0，核心限制条件）； 2. 函数值取值范围：； 3. 本质特征：自变量与函数值的乘积恒为定值，即 。 二、三种等价表达（考试全覆盖形式） 形式分类 表达式 适用题型场景 分式标准式 函数识别、已知图像上一点求解析式 乘积定值式 几何面积计算、快速求解参数 负指数幂式 参数求值、根据次数判定反比例函数 三、反比例关系与反比例函数的区别和联系 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y =（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y=​  表示 y 与 x²成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 练习 1．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 知识点02 用待定系数法求反比例函数的解析式 1.用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式。 练习 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 题型1 反比例函数识别（基础必考） 方法技巧 ① 整理原式，判断能否化为 的形式； ② 自变量必须为单独一次项，分母不能为等多项式、高次项； ③ 比例系数，彻底排除的无意义情形。 【典例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【变式1-2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 【变式1-3】下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 题型2 定义法求参数（中档高频考点） 方法技巧 已知 是反比例函数，求参数的值。 1. 定次数：反比例函数自变量指数必须为，即 ； 2. 定系数：比例系数不为0，即 ； 3. 联立求解，舍去不符合条件的增根。 核心技巧：两步条件缺一不可，只计算指数、忽略系数不为0的限制，是本节最高频易错点。 【典例2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式2-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是__________． 【答案】4 【详解】解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 题型3 待定系数法求解析式（基础应用题） 方法技巧 设解析式→代入点坐标→求解→还原完整解析式。 【典例3-1】已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式． 【答案】y=+ 【详解】解：设y1=，y2=，则y=+， 把x=1，y=5；x=3，y=分别代入得 ， 解得 ， 所以y与x的函数关系式为y=+=+=+ ∴y=+； 【典例3-2】（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知计划修建铁路，设铺轨天数为y天，每天铺设铁轨的长度为， (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)判断该函数是否是反比例函数，若是，请写出比例系数． 【详解】（1）解：∵铺轨天数=铁路长÷每天铺轨量， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）∵反比例函数解析式的一般形式为，比例系数为k， ∴是反比例函数，比例系数为． 【典例3-3】（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：在中，当时，． 【变式3-1】已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和 时， 的值都是1，求关于的函数关系式． 【答案】 【详解】解：∵y1与x成反比例，y2与x成正比例， ∴设y1=，y2=kx． ∵y=y1-y2， ∴y=-kx， ∵当时，y=1；当x=1时，y=1， ∴，解得：， ∴关于的函数关系式为：. 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数， ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：把代入得： ， 答：当时，的值为． 【变式3-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ，解得， ； （2）解：把代入，得； （3）解：把代入，得， 解得． 题型4 实际问题列反比例函数（中考基础应用） 方法技巧 1. 找定值：确定题目中固定不变的总量（总路程、总面积、总工作量、电压等），即为参数； 2. 设变量：根据题意设出两个变化的自变量、函数变量； 3. 列关系：根据“总量=变量1×变量2”列出定值关系； 4. 定范围：转化为标准反比例函数式，补充自变量实际取值范围（多为）。 【典例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 (1)请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． (2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【详解】（1）解：由数据可知， ∴与成反比例， ∴关于的函数解析式． （2）解：令，即， 解得， 又∵， ∴． 答：负重重量的取值范围是． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）一场暴雨过后，一水池存有一定量的雨水，全部排完雨水所需时间（分钟）与排水量（立方米/分）之间成反比例函数关系，已知当排完全部雨水所需时间为8分钟时，每分钟的排水量为立方米． (1)求全部排完雨水所需时间与排水量之间的函数解析式； (2)当排水量为4立方米/分时，全部排完雨水所需的时间为多少分钟？ 【详解】（1）解：设（）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：∵，， ∴， 答：全部排完雨水所需的时间为分钟． 【变式4-3】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为，电热水器热水出水率为，热水出水率，家里的手持花洒每分钟出水量为，用该电热水器洗澡的最大时间为； (1)求与的函数关系式； (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． 【详解】（1）解：热水输出容积为， ∴， ∴； （2）解：热水够用，理由如下： 当时，， 解得x=， 经检验：x=是原方程的解， ∵， ∴电热水器中的热水够用． 题型1 反比例函数参数综合求值 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期末）若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：点与点都在反比例函数的图象上， ，且． ． （反比例函数中，故）， ，解得． 故答案为：． 5．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 6．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 题型2 跨学科反比例模型 7．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 8．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【答案】(1)④ (2)成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） (3)弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 10．（25-26九年级上·河南许昌·期末）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 【详解】（1）解：由表中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例， 故答案为：反比例； （2）解：由（1）知，拉力是的反比例函数， 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为； （3）解：由题意得，将，代入，解得， ， ∴小星能成功． 题型3与反比例函数有关新定义 11．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 或 或 【详解】解：设函数的“和谐点”坐标为， 根据“和谐点”定义，， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，， 所以，函数的“和谐点”坐标为或； （2）二次函数，其顶点坐标为， 因为该二次函数是“和谐二次函数”，所以顶点是“和谐点”，即， 解得， 所以二次函数的表达式为 对于二次函数，其对称轴为直线， 当时，； 当时，， 因为线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点，所以有两种情况：如图， ①当时，点Q在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有两个公共点，； 当时，点P在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 所以，当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． ②当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 综上，线段与二次函数图象有且只有一个公共点满足的条件是或． 故答案为：或；或 12．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 【详解】（1）解：∵1，2，3的倒数分别为， ∴1，2，3不是“和谐三数组”； ∵的倒数分别为， ∴是“和谐三数组”； ③∵的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，， ∴是“和谐三数组”； ④∵的倒数为，的倒数为，的倒数为，． ∴是“和谐三数组”． 故答案为：②③④； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）解：∵三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：或或． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 二、填空题 5．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 6．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为______． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是正比例函数，不符合定义； B选项是一次函数，不符合定义； C选项是二次函数，不符合定义； D选项符合反比例函数的定义． 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 二、填空题 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，即自变量x的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26九年级上·福建三明·期末）已知点在反比例函数的图象上，求和的值． 【答案】， 【详解】解：依题意，将代入， 得， ． 依题意，将代入， 得， ． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 11．（2025九年级上·北京·专题练习）已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)当时，x的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵与成反比例函数， ∴， ∵当时，， ∴， ∴ ∴； （2）解：当时，2， ∴． 12．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 13．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 【详解】（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 14．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 15．（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表： 流程 变量 加热过程 水温下降过程 0 1 2 3 4 … 8 10 20 … 20 40 60 80 100 … 50 40 20 … (1)饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式； (3)已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间． 【答案】(1)一次函数模型， (2)反比例函数模型， (3) 【详解】（1）解：∵每过1分钟，水温上升，所以加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型． 设一次函数表达式为， 过点， ，解得， ，； （2）解： 停止加热水温下降时，水温与通电时间满足反比例函数模型， 设反比例函数表达式为， 则， ； （3）解：在中，当时，由得， 在中，当时，， ∴， 从饮水机加热开始到可以饮用需要． 16．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $