第02讲 公式法与因式分解法解一元二次方程（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第02讲 公式法与因式分解法解一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程标准形式 2 知识点02 公式法核心知识点 2 知识点03 因式分解法核心知识点 3 知识点04 一元二次方程三大解法择优 4 剖题型·讲技巧 题型1 公式法常规解方程（基础必考） 5 题型2 提公因式因式分解解方程（高频易错） 6 题型3 十字相乘法解方程（培优核心） 7 题型4 判别式判定方程根的情况 8 题型5 整体换元因式分解（培优压轴） 9 释疑惑·重难拓展 题型1 含参数方程根的存在性分类讨论（月考高频压轴） 10 题型2 方程两根特殊性质（秒杀结论） 12 题型3 解方程择优培优 13 知中考·真题探源 14 练好题·提分培优 17 课标要点 ✅基础课标要求 1.能自主通过配方法推导一元二次方程求根公式，理解根的判别式的几何代数意义； 2.熟练掌握公式法、因式分解法，求解常规数字系数一元二次方程； 3.辨析配方法、公式法、因式分解法的适用条件，能择优选择方法解方程。 ✅培优拔高课标要求 1.利用根的判别式判定方程根的个数，分类讨论含参数一元二次方程实数根存在性问题； 2.精通十字相乘法分解二次三项式，快速求解复杂整系数一元二次方程； 3.掌握整体换元思想，活用因式分解法求解复合型、换元型一元二次方程； 4.结合实际问题列写方程，结合题型择优解法，规避解方程常见漏根、符号易错点。 知识点01 一元二次方程标准形式 一般形式： 核心定义：为二次项系数，为一次项系数，为常数项；只要是一元二次方程，必须满足二次项系数。 知识点02 公式法核心知识点 1. 求根公式推导（配方法必考推导） 已知 移项： 配方： 整理： 2. 根的判别式 定义： ：方程有两个不相等实数根； ：方程有两个相等实数根； ：方程无实数根。 3. 求根公式 当时， 4. 公式法标准解题四步骤 整理：化为一元二次方程标准式； 定参：确定取值，数值必须自带正负符号； 判根：计算判别式，判断实数根情况； 求解：代入求根公式，化简根式，算出方程两根。 练习 1．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 知识点03 因式分解法核心知识点 1. 解题核心原理 零乘积性质：若，则或 2. 适用条件 方程右侧化简为0，左侧整式可拆解为两个一次因式相乘形式。 3. 三大常用因式分解解法 提公因式法：适用于缺常数项方程，例： 公式法分解（平方差）：适用于平方差型方程，例： 十字相乘法（培优核心） 二次项系数为1：，找数字满足，分解为 二次项系数不为1：拆分，交叉相乘之和等于一次项系数即可分解 4. 因式分解法解题四步骤 移项：将所有项移至左侧，保证方程右侧等于0； 分解：对左侧多项式因式分解； 拆解：令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 求解：解一元一次方程，得出原方程两根。 练习 2． （2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 知识点04 一元二次方程三大解法择优 解法 适用场景 优缺点&选用优先级 因式分解法 整式易分解、整系数简易方程 计算简便、速度最快，解题优先选用 公式法 所有一元二次方程通用 万能解法，无需变形，计算量大，无法分解时使用 配方法 公式推导、代数式最值、证明题型 步骤繁琐，日常解方程极少使用 练习 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 题型1 公式法常规解方程（基础必考） 方法技巧 取值带符号、先算判别式、根式必化简、结果规范书写 典例：解方程 解： 解得： 【典例1】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）解方程：． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）解方程：． 【变式1-2】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 【变式1-3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型2 提公因式因式分解解方程（高频易错） 方法技巧 严禁等式两边直接约去含未知数因式，会直接丢根 易错典例：解方程 错误解法：直接约去，得（漏根） 正确解法：移项得，得 【典例2-1】（2026·安徽阜阳·二模）解方程： 【典例2-2】（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程：． 【变式2-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： 【变式2-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 题型3 十字相乘法解方程（培优核心） 方法技巧 1.二次项系数为1：凑常数项两因数，和为一次项系数 典例：， 2.二次项系数不为1：交叉拆分凑中间项 典例：，拆分得， 【典例3】（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【变式3-1】（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 【变式3-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 题型4 判别式判定方程根的情况 方法技巧 不解方程，只求；含参数方程，先区分一次、二次方程 培优典例：判断根的情况 解：，方程无实数根 【典例4-1】（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【典例4-2】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【变式4-1】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式4-2】（2026·河南开封·一模）写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 【变式4-3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 题型5 整体换元因式分解（培优压轴） 方法技巧 整体代换，把多项式括号看成整体，降次分解 【典例5-1】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例5-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【变式5-1】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 题型1 含参数方程根的存在性分类讨论（月考高频压轴） 方法技巧 题目仅说方程有实数根，未说明是一元二次方程，必须分（一次方程）、（二次方程）分类讨论 典例：已知方程有实数根，求取值范围 1.当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； 2.当时，方程为一元二次方程，需满足 综上取值范围： 1．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 2．（2026九年级下·北京·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 3．（25-26九年级上·广东中山·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于x的“黄金方程”，要构造一个以2为一个解的“黄金方程”，已知新的黄金方程与原黄金方程的二次项系数与常数项分别相同，求出这个“黄金方程”； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 题型2 方程两根特殊性质（秒杀结论） 方法技巧 1.方程有两个相等实数根：； 2.方程有一根为0：常数项； 3.方程两根互为相反数：一次项系数且； 4.方程两根互为倒数：二次项系数与常数项相等，即。 4．（2026·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 5．（2026·湖南·模拟预测）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是________． 6．（2026·河南驻马店·三模）已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 7．（2026·山东聊城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 8．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是_____． 9．（2026·贵州黔南·一模）下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 10.分别写一个满足下列条件的一元二次方程： 方程的两个根相等___________________________________ 方程的两根互为相反数______________________________________ 方程的两根互为倒数__________________________________________ 题型3 解方程择优培优 方法技巧 1.有公因式、平方差、十字可分解：首选因式分解法； 2.分数、繁杂系数、无法因式分解：统一用公式法； 3.含分母方程：先去分母化为整系数方程，再求解。 11．（2026·江苏常州·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 12．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 13．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 14．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 15．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．解方程： (1)； (2)； (3) ． (4) 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．（2023·内蒙古·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 5．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 二、填空题 7．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 8．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 10．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 11．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 三、解答题 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 13．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 14．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2) 若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 2．（2026·河南南阳·模拟预测）关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（     ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 3．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 4．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 二、填空题 5．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 6．（2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 7．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 8．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 三、解答题 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）解方程： (1)． (2)． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 11．（2026·四川南充·二模）为实数，关于的方程为． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为，当为何值时，是直角三角形，并求出的面积． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 14．（25-26九年级上·福建三明·期中）定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． (1)直接写出最小的“欢乐数”是______； (2)若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； (3)若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 15．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 公式法与因式分解法解一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 一元二次方程标准形式 2 知识点02 公式法核心知识点 2 知识点03 因式分解法核心知识点 3 知识点04 一元二次方程三大解法择优 4 剖题型·讲技巧 题型1 公式法常规解方程（基础必考） 5 题型2 提公因式因式分解解方程（高频易错） 7 题型3 十字相乘法解方程（培优核心） 10 题型4 判别式判定方程根的情况 11 题型5 整体换元因式分解（培优压轴） 13 释疑惑·重难拓展 题型1 含参数方程根的存在性分类讨论（月考高频压轴） 15 题型2 方程两根特殊性质（秒杀结论） 18 题型3 解方程择优培优 21 知中考·真题探源 26 练好题·提分培优 33 课标要点 ✅基础课标要求 1.能自主通过配方法推导一元二次方程求根公式，理解根的判别式的几何代数意义； 2.熟练掌握公式法、因式分解法，求解常规数字系数一元二次方程； 3.辨析配方法、公式法、因式分解法的适用条件，能择优选择方法解方程。 ✅培优拔高课标要求 1.利用根的判别式判定方程根的个数，分类讨论含参数一元二次方程实数根存在性问题； 2.精通十字相乘法分解二次三项式，快速求解复杂整系数一元二次方程； 3.掌握整体换元思想，活用因式分解法求解复合型、换元型一元二次方程； 4.结合实际问题列写方程，结合题型择优解法，规避解方程常见漏根、符号易错点。 知识点01 一元二次方程标准形式 一般形式： 核心定义：为二次项系数，为一次项系数，为常数项；只要是一元二次方程，必须满足二次项系数。 知识点02 公式法核心知识点 1. 求根公式推导（配方法必考推导） 已知 移项： 配方： 整理： 2. 根的判别式 定义： ：方程有两个不相等实数根； ：方程有两个相等实数根； ：方程无实数根。 3. 求根公式 当时， 4. 公式法标准解题四步骤 整理：化为一元二次方程标准式； 定参：确定取值，数值必须自带正负符号； 判根：计算判别式，判断实数根情况； 求解：代入求根公式，化简根式，算出方程两根。 练习 1．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 【答案】，． 【详解】解：． ，，， ， ， 解得：，． 知识点03 因式分解法核心知识点 1. 解题核心原理 零乘积性质：若，则或 2. 适用条件 方程右侧化简为0，左侧整式可拆解为两个一次因式相乘形式。 3. 三大常用因式分解解法 提公因式法：适用于缺常数项方程，例： 公式法分解（平方差）：适用于平方差型方程，例： 十字相乘法（培优核心） 二次项系数为1：，找数字满足，分解为 二次项系数不为1：拆分，交叉相乘之和等于一次项系数即可分解 4. 因式分解法解题四步骤 移项：将所有项移至左侧，保证方程右侧等于0； 分解：对左侧多项式因式分解； 拆解：令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 求解：解一元一次方程，得出原方程两根。 练习 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 解得． 知识点04 一元二次方程三大解法择优 解法 适用场景 优缺点&选用优先级 因式分解法 整式易分解、整系数简易方程 计算简便、速度最快，解题优先选用 公式法 所有一元二次方程通用 万能解法，无需变形，计算量大，无法分解时使用 配方法 公式推导、代数式最值、证明题型 步骤繁琐，日常解方程极少使用 练习 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型1 公式法常规解方程（基础必考） 方法技巧 取值带符号、先算判别式、根式必化简、结果规范书写 典例：解方程 解： 解得： 【典例1】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【变式1-1】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）解方程：． 【答案】, 【详解】解：， ∵， ∴， 解得，． 【变式1-2】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）解方程：． 【答案】    【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， ， 解得，． 【变式1-3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 题型2 提公因式因式分解解方程（高频易错） 方法技巧 严禁等式两边直接约去含未知数因式，会直接丢根 易错典例：解方程 错误解法：直接约去，得（漏根） 正确解法：移项得，得 【典例2-1】（2026·安徽阜阳·二模）解方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ∴． 【典例2-2】（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【详解】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【变式2-1】（24-25九年级上·吉林·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 【变式2-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： 【答案】， 【详解】解： 或 ∴， 【变式2-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： ， ， 或， ，． 题型3 十字相乘法解方程（培优核心） 方法技巧 1.二次项系数为1：凑常数项两因数，和为一次项系数 典例：， 2.二次项系数不为1：交叉拆分凑中间项 典例：，拆分得， 【典例3】（2026·安徽阜阳·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 整理得， 因式分解得， 所以或， 解得． 【变式3-1】（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 解得，． 【变式3-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 或， 解得，． 【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：． 【答案】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得，    因式分解得，               或，              ． 题型4 判别式判定方程根的情况 方法技巧 不解方程，只求；含参数方程，先区分一次、二次方程 培优典例：判断根的情况 解：，方程无实数根 【典例4-1】（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 【典例4-2】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式4-1】关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【变式4-2】（2026·河南开封·一模）写出一个使一元二次方程有两个不相等的实数根的的值___________． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：∵为一元二次方程， 则 由题可知，， ∴， 则取且即可， ∴ 【变式4-3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 题型5 整体换元因式分解（培优压轴） 方法技巧 整体代换，把多项式括号看成整体，降次分解 【典例5-1】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 【典例5-2】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 【变式5-1】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 题型1 含参数方程根的存在性分类讨论（月考高频压轴） 方法技巧 题目仅说方程有实数根，未说明是一元二次方程，必须分（一次方程）、（二次方程）分类讨论 典例：已知方程有实数根，求取值范围 1.当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； 2.当时，方程为一元二次方程，需满足 综上取值范围： 1．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 2．（2026九年级下·北京·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：因式分解得：， ， 又方程的两根中有且仅有一个正数， ，即，无解； ，即，解得； 综上，． 3．（25-26九年级上·广东中山·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于x的“黄金方程”，要构造一个以2为一个解的“黄金方程”，已知新的黄金方程与原黄金方程的二次项系数与常数项分别相同，求出这个“黄金方程”； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 【详解】（1）解：一元二次方程是“黄金方程”．理由如下： ∵， 一元二次方程是“黄金方程”； （2）是关于x的“黄金方程”， ， ①， 设这个黄金方程为，则 ②， ， 这个方程的一个解为， ③， 把①代入得，， 这个黄金方程为． （3）∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 题型2 方程两根特殊性质（秒杀结论） 方法技巧 1.方程有两个相等实数根：； 2.方程有一根为0：常数项； 3.方程两根互为相反数：一次项系数且； 4.方程两根互为倒数：二次项系数与常数项相等，即。 4．（2026·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【详解】解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为， 因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式， 解得 5．（2026·湖南·模拟预测）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得 6．（2026·河南驻马店·三模）已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足 ∴该方程有两个相等的实数根， ∴． ∵方程中一次项系数， ∴， 整理得， 解得． 7．（2026·山东聊城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且， 由得， 化简得：，解得或， ． 8．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是_____． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 整理得， 解得，． ∴的值是或． 9．（2026·贵州黔南·一模）下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 10.分别写一个满足下列条件的一元二次方程： 方程的两个根相等___________________________________ 方程的两根互为相反数______________________________________ 方程的两根互为倒数__________________________________________ 【答案】 x2+2x+1=0；（答案不唯一） x2-4=0；（答案不唯一） x2-x+1=0；（答案不唯一） 【详解】（1）如：（x+1）2=0，即x2+2x+1=0；（答案不唯一） （2）如：x2-4=0；（答案不唯一） （3）如：（x-3）（x-）=0，即x2-x+1=0；（答案不唯一） 题型3 解方程择优培优 方法技巧 1.有公因式、平方差、十字可分解：首选因式分解法； 2.分数、繁杂系数、无法因式分解：统一用公式法； 3.含分母方程：先去分母化为整系数方程，再求解。 11．（2026·江苏常州·模拟预测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 解得：． 12．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 则， 直接开平方得， ； （2）解：， ， 则， ， 即， ． 13．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 14．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程为，移项，得， 开平方，得，解得； （2）解：方程为， 移项，得，变形得， 提取公因式得，整理得， 可得或，解得． 15．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 16．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解： 直接开平方得，， ∴或， 解得：，． （4）解： 整理得，， ∴， 解得：，． 17．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：∵， 整理得：， ∴， ∴， ∴，. 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 3．（2023·内蒙古·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 4．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 5．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 6．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 二、填空题 7．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 8．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 【答案】 ③ 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 三、解答题 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 13．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 14．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得 综上，的取值范围是且． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（     ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【答案】A 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 根的判别式， 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项A正确，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项B错误，不符合题意； 当时，若，则，此时方程有两个不相等的实数根，选项C错误，不符合题意； ，的正负与的取值有关， 方程根的情况与的值有关，选项D错误，不符合题意． 3．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 4．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 二、填空题 5．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 写出一个满足条件的实数的值：（答案不唯一，即可）． 6．（2026·江苏南通·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 7．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 8．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 三、解答题 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ∴， 即，． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 11．（2026·四川南充·二模）为实数，关于的方程为． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 【详解】（1）证明：整理原方程得 当时，方程化为，解得，方程有实数根； 当时，计算根的判别式得：，方程有两个实数根； ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：整理原方程得 方程有两根，因此， 对方程因式分解得： 解得， ∵两根均不大于，且满足条件， ∴只需． 当时，，不等式成立，符合条件； 当时，不等式两边同乘得，即； 综上，的取值范围是或． 12．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为，当为何值时，是直角三角形，并求出的面积． 【详解】（1）解：在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，． 不妨设，， ①当为斜边时，有，即， 解得：，（舍去）．此时 则直角三角形的面积为：； ②当为斜边时，有，即 解得：，此时， 则直角三角形的面积为：． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为， 解得， 当时，，解得； 当时，，移项，得， ∵， ∴原方程没有实数根， 综上，原方程有两个根：； （2）设， ∵， ∴ 即， 解得 ∵斜边， ∴，则， ∴的周长为 14．（25-26九年级上·福建三明·期中）定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，，因为，所以432是“欢乐数”． (1)直接写出最小的“欢乐数”是______； (2)若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且是方程的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； (3)若一个“欢乐数”（，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求出“欢乐数”k的值． 【详解】（1）解：∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最小为， ∴最小的“欢乐数”是111． （2）∵是“欢乐数”， ∴， ∵是方程的一个根， ∴，且， ∴， ∴，即， ∵各个数位上的数字都不为零， ∴三个数都大于等于1且小于等于9， ∴， ∴， ∴的值可以为：1，2，3； 当时，，符合，此时“欢乐数”为741； 当时，，符合，此时“欢乐数”为852； 当时，，符合，此时“欢乐数”为963； （3）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴或， ∴k的值为或． 15．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 【详解】（1）解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见（2）； （2）证明：整数为奇数时，设（其中为整数）， ， 是整数， 是整数， 能被整除， 被除所得余数为； （3）解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数）， ∴， 当为偶数时，由题干可得，能被整除， ∵是的整数倍， ∴能被整除，即被除余数为； 当为奇数时，由（2）可知，被除余数为， ∵是的整数倍， ∴被除余数为， ∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或， ，即2026被除余数为，不满足上述结论， 小红的计算结果不正确． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $