河南周口市第三高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 融合电路控制、数学竞赛等真实情境，通过向量投影、面面垂直证明等问题设计，分层考查数学思维与应用能力，覆盖高一核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影（1）、空间线面关系（3）、电路概率（5）|以科技情境（5题电路模块）考查概率计算，体现数学眼光| |多选题|3/18|向量基底（9）、概率事件独立性（10）|通过多选项设计深化逻辑推理（10题事件关系判断）| |填空题|3/15|复数几何意义（12）、圆柱外接球（14）|结合空间几何（14题圆柱侧面积最值）考查直观想象| |解答题|5/87|圆锥表面积（17）、频率分布直方图（18）、面面垂直证明（19）|分层设计：17题基础证明与计算，19题综合考查空间距离与二面角，凸显数学语言表达|

2025-2026学年下学期高一年级期末考试 数学试题 一、单选题（每题5分） 1．已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，不共线，且则实数（ ） A． B．1 C． D．2 3．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 4．已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 6．已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 7．某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（ ） A．112 B．119 C．120 D．121 8．不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分） 9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 10．若，，，则（ ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 11．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A．，M，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 三、填空题（每题5分） 12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 13．行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）. 14．已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 四、解答题 15．已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值. (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 17．如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. （1）求证：SA//平面PCD （2）求圆锥SO的表面积. 18．周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 19．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 《高一数学期末考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B C C C C BD ACD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为为单位向量，则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 2．A 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. . 3．D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 4．B 【解析】画出长方体,由长方体性质可知与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得. 【详解】画出长方体如下图所示: 在长方体中，， 则与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角， 因为平面，平面， 所以，即， 因为,， 所以， 故选:B 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题. 5．C 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为. 故选：C. 6．C 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 7．C 【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩为109，然后根据百分位数的求法可得. 【详解】依题意设另外一名同学的成绩为x，则，解得, 将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，109，109，120，126， 则成绩的第75百分位数为即排序后的第4个数据， 所以这5名同学成绩的第75百分位数是120， 故选：C 8．C 【分析】列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解. 【详解】每次取球，取到每个球的概率均为， 若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为或，且至少有个编号为， 取出的个球的编号均为或的概率为； 取出的个球编号全部为的概率为； 故取出的个球的最小编号为2的概率为. 故选：C 9．BD 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 10．ACD 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确； 已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 11．ABC 【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于为正方体的体对角线， 在平面内，据此可得平面平面于， 又交平面于点，故点在上，故项正确； 很明显平面，平面，故， 同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，，故项正确； 设到平面的距离为，，，解得，故D项错误； 故选：ABC． 12．－2＋i 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 13．2 【分析】根据题意结合中位数、平均数和标准差的定义求的值，进而可求标准差. 【详解】因为125､､121､､127的中位数为124，可知中必有一个为124， 不妨设， 又因为平均数为：，解得：，符合题意， 可得该样本的标准差为：. 故答案为：2. 14． 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或；............................................................（6分） （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为..........................................................................（13分） 16．(1) (2)10 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以．.........................................（7分） （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为．.............................................................（15分） 17．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）连结OP，由中位线定理得到OP//SA，由线面平行判定定理得证； （2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积． 【详解】解∶ （1）连结OP， ∵O,P分别为AB,SB的中点， ∴OP//SA， 又∵SA⊄平面PCD,OP⊂平面PCD, //平面；...........................................................................（7分） （2）记底面圆的半径为r，侧面展开图扇形的半径为R，且R=2， 则， 得r=1，又侧面展开图为半圆， ∴S底=, S侧=, S表=..............................................................................................（15分） 18．(1)，众数为85，平均成绩为77.5 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， ，解得． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为85，平均成绩为77.5．...................................................（8分） （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．.........................................（17分） 19．（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. (2) 在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离. (3) 先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解. 【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ， 可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB//CD，所以 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB， 又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB..........................................（4分） (2)因为PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB. 又 PA=2， AB=1，所以. 因为正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，所以. 因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB， 所以 因为，PA⊥底面ABCD， 设点D到平面PBE的距离为d， 所以， 而 所以，即点D到平面PBE的距离为............................（10分） (3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线. 取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI. 由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以 . 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH. 又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A， 所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF， 又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B， 所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角. 因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI. 因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，. 在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF， 所以，，又， 所以中，，， 即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为.........................................（17分） 高一数学试题 第 1 页 共 4 页 高一数学试题 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $