13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形中线、角平分线、高的概念及性质，通过视频《哪吒的困惑》创设情境导入，衔接三角形概念与三边关系旧知，为后续全等、等腰三角形“三线合一”等内容铺垫，构建知识支架。 以动手画图、合作探究为主线，突破钝角三角形高的画法难点，培养几何直观与空间观念（数学眼光），归纳三线交点性质渗透推理意识（数学思维），规范几何语言表达与面积法应用强化数学语言，助力学生提升动手与探究能力，为教师提供清晰教学路径与资源支持。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 教师 课题 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 教学 目标 知识与技能 理解三角形中线、角平分线、高的定义；掌握它们的画法；了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。 过程与方法 通过观察、动手画图、合作探究等活动，体会从一般到特殊的数学思想，提高几何语言表达能力。 情感态度价值观 在探究钝角三角形高线位置的过程中，培养学生勇于探索、克服困难的意志，感受几何图形的对称美。提高学生动手操作及解决问题的能力. 教材 分析 本节课是在学生已经学习了“三角形的有关概念”和“三角形三边关系”的基础上进行的。它不仅是三角形内部结构的第一次深入剖析，也是后续学习三角形全等等腰三角形“三线合一”、以及三角形重心、内心、垂心的重要铺垫。从知识体系来看，三角形的这三条特殊线段，实际上是小学学过的“垂线”、“角的平分线”和“线段中点”在三角形这一特定封闭图形中的综合应用与再定义。因此，学好本节课，既能巩固旧知，又能培养学生的图形转化能力和空间想象能力，起着承上启下的关键作用。 学情分析 授课对象为八年级学生。他们在小学阶段已经接触过三角形高线的直观认识，在本章前几节课中也掌握了三角形的构成要素和三边关系。同时，学生在七年级已经系统学习了线段的中点、角的平分线和垂线的作法。这些都为新知的同化提供了良好的“固着点”。尽管有基础，但在实际学习中，学生仍面临以下挑战：概念混淆：受前摄抑制影响，学生容易把“三角形的角平分线”误认为是射线，而忽略了它是“顶点到对边交点”之间的一段线段。作图定势：在画钝角三角形的高时，学生往往习惯于在三角形内部寻找垂直关系，很难想到要去延长边，从而导致作图失败或产生畏难情绪。语言转换困难：八年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，将文字语言（如“中线”）准确转化为图形语言和符号语言的能力还比较薄弱。 教学重点 三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 教学难点 1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。 教学器材 多媒体ppt，包含1个视频：《哪吒的困惑》 教学过程 教师活动 学生活动 情景导入 【视频】展示ppt，让学生观看视频《哪吒的困惑》 【教师提问】哪吒画了一个三角形，想找到顶点到对边的垂线段、对边中点的连线、内角平分线的线段，却不知道怎么命名和区分，邀请同学们帮忙解决。 【设计意图】用学生熟悉的动画人物创设问题情境，激发学习兴趣，自然引出本节课的三个核心概念，让学生明确学习任务。 认真听情境，明确本节课要解决的核心问题，带着兴趣进入学习。 新知探究一、三角形的高 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 1.锐角三角形的高 问1.请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CF ; 边AC边上的高是 BE ; 问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点； 2.直角三角形的高 问1.请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 AB ; 边AB边上的高是 BC ; 边AC边上的高是 BD ; 问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部问3.这三条高之间有怎样的位置关系 直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处； 3.钝角三角形的高 问1.请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 AD ; 边AB边上的高是 CE ; 边AC边上的高是 BF ; 问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 钝角三角形的三条高不交于某一点； 钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点 【归纳总结】：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的 垂心 . 【设计意图】 1. 通过“做数学”让学生自主发现不同三角形高的位置差异，突破“钝角三角形外高”的难点； 2. 动画演示将抽象的空间关系可视化，降低认知难度； 3. 培养学生观察、归纳、表达的能力。 1.学生动手操作画图. 2. 小组讨论后派代表回答问题，纠正自己画图中的错误。 3. 记录概念和性质，重点标注钝角三角形高的画法要点。 新知应用一 1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高( D ) 【方法总结】：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 2.若于，以为高的三角形有 3 个，它们分别,, 。 3.如图所示,,,点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为__①②④ ______.（填序号） 4.如图所示，在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值为____． 5.如图,、是的两条高, (1)若,,.则=__54____;=__10.8________ 若,则上的高为 13.5 (2)若，则= 5：4 . 【方法总结】：可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法” 【设计意图】1. 及时巩固高的概念，强化“高是从顶点向对边作的垂线段”这一本质； 2. 渗透“面积法”这一重要解题思想，为后续几何计算打基础。 1. 独立完成习题，同桌互查，说明错误原因（如AD未过顶点、垂足不在对边上等）。 2. 跟随老师推导面积法公式，理解“高与面积的一一对应关系” 新知探究 二、三角形的中线 定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) 1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线 【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 2.中线分周长问题 问1.观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差. 3.中线分面积问题 问2.观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 【设计意图】1.延续“动手画图—观察归纳”的学习路径，符合学生认知规律. 2. 通过面积问题渗透“等底同高”的核心几何模型，深化对中线性质的理解。 动手画图，观察发现：无论哪种三角形，三条中线都在内部，交于内部一点。 2. 小组讨论面积问题：两个小三角形等底同高，所以面积相等，即中线平分三角形面积。 新知应用二 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( C ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.已知 、分别是的边、上的中线， (1)若,，则=___3__,=__5___ (2)若，，且的周长为， 边上的高为4，则的长为___5___，． 3.如图，已知是的边上的中线，且,，,,则为___10_______ 为___14_______。 4.如图，在中，边上的中线把的周长分成和两部分，,则= 。 5.在中,，是的中线，把的周长分成两部分，若其差为，则AB的长为 或 规律与方法：无图时，注意分类讨论 6.若是的中线，若是的中线， (1)如图若的面积为, 则的面积为__24___； (2)如图若的面积是，则的面积为_16____； 则的面积为 8 ； 的面积为 16 (3)如图3，若于点,于点,,,，则的长是_______cm. 【设计意图】巩固中线的核心性质，培养学生用几何性质解决实际问题的能力，渗透“转化思想”。 1. 独立完成后小组交流，明确“公共边抵消”的逻辑。 2.体会中线“平分面积、影响周长”的双重作用。 新知探究 三、三角形的角平分线 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 【设计意图】延续“动手画图—观察归纳”的学习路径，符合学生认知规律. 动手画图，观察发现：三条角平分线都在三角形内部，交于内部一点 新知应用三 1.如图,在中, ,为中点,延长交于,为上一点,于,判断: ①是的角平分线.( 错 ) ②是边上的中线. ( 错 ) ③是边上的中线. ( 错 ) ④是边上的高. ( 对 ) 2.如图，在中，为角平分线． (1)若，则＝ . (2)若，则＝ . 3.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 解：．理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【设计意图】巩固角平分线的定义，同时串联三角形内角和的知识点，体现知识的综合性。. 1. 独立完成计算，同桌互查。 2. 总结解题逻辑：角平分线→得角的一半→结合其他条件计算。 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． (4)，，求的度数． 解（1）作图如下高线即为所求， ∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴ ． ∵是边上的高，， ∴， ∴，即， 即的长度为 （2）∵是中线，∴， ∴根据高相同，面积之比等于底之比， 有； （3）∵是中线，∴， ∵的周长与的周长的差为： ∵，， ∴． （4）：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 例2.已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于． 求证：； 证明：如图，连接， 于D，于，于F， ，， ， 又， ， ，． 例3.在中，，为的中线，且将的周长分为和两部分，求三角形的各边长。 解：如图，∵是边上的中线 ∴，设,则 ①当时，，解得, ∴ ∵中线将△ABC周长分成和 ∴的周长为 当时，，能构成三角形。 ∴各边长依次是：,, ②当时，，解得 ∴， 当时，，能构成三角形 ∴的三边依次为：,, 综上所述：△ABC的各边长分别为：,,或,,. 【设计意图】巩固三角形三线的性质，同时串联等腰三角形的知识点，体现知识的综合性。 认真思考问题，根据教师示范学习规范书写和如何思考问题 变式训练 1.如图，在中，为的中点，为上一点，，.若与四边形的周长相等，求的值. 解：∵为的中点，∴. ∵与四边形的周长相等， ∴, ∴, ∴. ∴，∴. 2.如图，在中()，，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长． 解：设,则， ∵边上的中线把的周长分成和两部分,， ①当,时，解得：=, ∴=,, ∴, ∴，满足条件; ∵,满足三边关系， ∴; ②,时， ,解得：,∴4=,∴, , ∵, ∴不满足三角形的三边关系，不合题意，舍去， ∴综上所述. 3.如图，的面积是，点分别位于上，，且，，求的面积. 解：连接.由已知，得 ∵ ∴, ∵, ∴, ∴ 【设计意图】通过此题提高学生综合解决问题的能力 独立完成计算，同桌互查。教师评讲 课 堂 练 习 1.下列说法中正确的是（ D ） A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离 B.三角形的角平分线是射线 C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外 D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2. 如图.(1）若是的中线，，则___6_____cm； (2)若是的角平分线，则___ ______；若，则___ ______ (3）若是的高，则△是__直角_____三角形. 3.在中, , 边上的高,则边上的高= 10 ； 结论：等腰三角形两腰上的高相等 4.如图，,是的两条高，，,，则的长为___3___ 5.在中，,周长为， 边上的中线将分成周长差为的两个三角形，求的各边长 解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差， (1)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：，， 6cm、6cm、4cm三边能够组成三角形; (2)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：, , 三边能够组成三角形; 因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm或, 板 书 设 计 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 一、三角形的高 二、三角形的中线 三、三角形的角平分线 1．定义：顶点→对边所在直线 1．定义：顶点→对边中点 1．定义：内角平分线→对边交点 垂足的线段 2．位置特征： 2．位置特征： 2．位置特征： -锐角：全在内部 －所有三角形：全在内部 -所有三角形：全在内部 -直角：两直角边+内部一条 -钝角：1条内部+2条外部 3．交点：垂心 3．交点：重心（内部） 3．交点：内心（内部） -锐角：内部 -直角：直角顶点 -钝角：外部（延长线交点） 4．性质：-得90° 4．性质：-平分面积 4．性质：－分得两个等角 5．核心思想：等积思想 -周长差=另外两边差 课 堂 小 结 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 作业 1. 必做：教材P8练习1；P9练习2，复习巩固4；P10复习巩固7。 2. 选做：画一个钝角三角形，标出它的三条高、三条中线、三条角平分线，并用不同颜色的笔区分，写出每种线段的特点。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $