13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形中线、角平分线、高的定义、画法及性质，以“哪吒的困惑”情景导入，通过分层次探究锐角、直角、钝角三角形中三线的位置与特性，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接三角形基本概念与后续几何知识。 其亮点在于结合动手画图、合作探究培养几何直观（数学眼光），用表格归纳三线特性、辨析易混概念发展推理意识（数学思维），通过几何语言表达、面积法应用提升模型意识（数学语言）。例如钝角三角形高的画法探究、中线分面积相等两部分等实例，助力学生提升动手与解决问题能力，为教师提供系统的教学资源与方法支持。

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 第十三章 三角形 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形中线、角平分线、高的定义；掌握它们的画法；了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。 通过观察、动手画图、合作探究等活动，体会从一般到特殊的数学思想，提高几何语言表达能力。 在探究钝角三角形高线位置的过程中，培养学生勇于探索、克服困难的意志，感受几何图形的对称美,提高学生动手操作及解决问题的能力. 教学重难点 重点 难点 三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。 1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。 2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。 情景导入 哪吒的困惑 新知探究一 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 ★三角形的高是线段，而垂线是直线 几何语言： ∵是中边上的高(已知) ∴或或 (三角形高的定义) 知识点一：三角形的高 A B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 新知探究一 问1.请画出锐角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点； O A C D E F B 锐角三角形的高 新知探究一 问1.请画出直角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处； 直角三角形的高 A B C D ● 新知探究一 问1.请画出钝角三角形的三条高 边BC边上的高是 ; 边AB边上的高是 ; 边AC边上的高是 ; 问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部. 问3.这三条高之间有怎样的位置关系 钝角三角形的三条高不交于某一点； 钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点 钝三角形的高 A B C D E F O ● 新知探究一 知识点一：三角形的高线 归纳总结：三角形的三条高的特性 三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的 . 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 垂心 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 新知应用一 A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D 1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高( ) D 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 新知应用一 2.若于，以为高的三角形有 个，它们分别是 。 3.如图所示,,,点、分别在的边和上，下列说法：①中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为________.（填序号） A B H C D 3 ,, ①②④ 新知应用一 4.如图所示，在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值为____． 5.如图,、是的两条高, (1)若,,.则=______;=__________ 若,则上的高为________ (2)若，则=_______. 方法总结：可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 新知探究二 定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。 ★三角形的中线是线段 几何语言： ∵是中边上的中线(已知) ∴ (三角形中线的定义) A B C D 知识点二：三角形的中线 新知探究二 分别画出下列三角形的所有中线 归纳总结：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 知识点二：三角形的中线 A B C A B C A B C E D F D F E D E F 新知探究二 知识点二：三角形的中线 问1.观察图形与之差与,之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法： 三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差. 新知探究二 知识点二：三角形的中线 问2.观察图形与之间有怎样的数量关系 ∵,, ∴ 规律与方法: 三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分 E 新知应用二 1.如图所示,分别是的边,的中点,则下列说法不正确的是( ) A.是的中线 B.是的中线 C., D. 2.已知 、分别是 的边、上的中线， (1)若,，则=_____,=_____ (2)若，，且的周长为， 边上的高为4，则的长为______，． C 3 5 5 10 3.如图，已知是的边上的中线，且,，,,则为__________ ;为________。 4.如图，在中，边上的中线把的周长分成和两部分，,则= 。 5.在中,，是的中线，把的周长分成两部分，若其差为，则AB的长为_____________ 新知应用二 B C D A C B D A 或 规律与方法：无图时，注意分类讨论 新知应用二 6.若是的中线，若是的中线， (1)如图若的面积为, 则的面积为_____； (2)如图若的面积是，则的面积为_____； 则的面积为___ ； 的面积为___ (3)如图3，若于点,于点,,,，则的长是_______cm. B C D A B C D A E 新知探究三 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. ★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 几何语言： ∵是中的平分线(已知) ∴(三角形角平分线的定义) 知识点三：三角形的角平分线 A B C D 新知探究三 分别画出下列三角形的所有角平分线 归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. A B C A B C A B C E D F D F E D E F 知识点三：三角形的角平分线 新知应用三 1.如图,在中, ,为中点,延长交于,为上一点,于,判断: ①是的角平分线.( ) ②是边上的中线. ( ) ③是边上的中线. ( ) ④是边上的高. ( ) 2.如图，在中，为角平分线． (1)若，则＝_____. (2)若，则＝_____. 错 错 错 对 B C D A 25° 40° 新知应用三 3.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 解：．理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (1)求作边的高，并求的长； 解（1）作图如下高线即为所求， ∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴ ． ∵是边上的高，， ∴， ∴，即， 即的长度为 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (2)的面积； (3)和的周长的差． 解（2）∵是中线，∴， ∴根据高相同，面积之比等于底之比， 有； （3）∵是中线，∴， ∵的周长与的周长的差为： ∵，， ∴． 典例分析 例1.如图所示，已知分别是的中线，，，，．试求： (4)，，求的度数． 解（4）：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 典例分析 例2.已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于． 求证：； 证明：如图，连接， 于D，于，于F， ，， ， 又， ， ，． 典例分析 例3.在中，，为的中线，且将的周长分为和两部分，求三角形的各边长。 解：如图， ∵是边上的中线 ∴，设,则 ①当时，，解得, ∴ ∵中线将△ABC周长分成和 ∴的周长为 当时，，能构成三角形。 ∴各边长依次是：,, B C D A 典例分析 ②当时，，解得 ∴， 当时，，能构成三角形 ∴的三边依次为：,, 综上所述：△ABC的各边长分别为：,,或,,. B C D A 变式训练 1.如图，在中，为的中点，为上一点，，.若与四边形的周长相等，求的值. 解：∵为的中点，∴. ∵与四边形的周长相等， ∴, ∴, ∴. ∴， ∴. 变式训练 2.如图，在中()，，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长． 解：设,则， ∵边上的中线把的周长分成和两部分,， ①当,时， 解得：=, ∴=,, ∴, ∴，满足条件; ∵,满足三边关系， ∴; 解：②,时， ,解得：, ∴4=, ∴, , ∵, ∴不满足三角形的三边关系， ∴不合题意，舍去， ∴综上所述. 变式训练 变式训练 3.如图，的面积是，点分别位于上，，且，，求的面积. 解：连接. 由已知，得 ∵ ∴, ∵, ∴, ∴ 三角形的重要线段 数量和位置 交点位置 结论 三角形的高线 三角形的中线 三角形的角平分线 3条高，锐角三角形：三条高在三角形内；钝角三角形：一条高在三角形内，两条高在三角形外；直角三角形：一条高在三角形内，两条高为直角三角形两直角边 3条中线，皆在三角形内部 3条角平分线，皆在三角形内部 锐角三角形：三条高交于三角形内；钝角三角形：三条高的延长线交于三角形外；直角三角形：三条高交于直角顶点处 3条中线交于三角形内部 3条角平分线交于三角形内部 1、中线平分面积； 2、一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 1、由高得90°； 2、可利用面积相等作桥梁求三角形的高 1、角平分线分得的两个角相等； 2、角平分线是射线，三角形的角平分线是线段 课堂小结 课堂练习 1.下列说法中正确的是（ ） A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离 B.三角形的角平分线是射线 C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外 D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 D 课堂练习 2. 如图.(1）若是的中线，，则________cm； (2)若是的角平分线，则_________；若，则__________ (3）若是的高，则△是_______三角形. 6 直角 课堂练习 3.在中, , 边上的高,则边上的高= ； 结论：等腰三角形两腰上的高相等 4.如图，,是的两条高，，,，则的长为______ 课堂练习 5.在中，,周长为， 边上的中线将分成周长差为的两个三角形，求的各边长 解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差， (1)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：，， 6cm、6cm、4cm三边能够组成三角形; (2)若，则，又因为, 联立方程组并求解得：, , 三边能够组成三角形; 因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm或, B C D A 布置作业 必做：教材P8练习1；P9练习2，复习巩固4；P10复习巩固7 。 选做：画一个钝角三角形，标出它的三条高、三条中线、三条角平分线，并用不同颜色的笔区分，写出每种线段的特点。 谢谢聆听 6．如图11­1­15，在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长． 图11­1­15 $