课时分层检测(23) 直线与椭圆的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（二十三） 基础达标练0 1.(多选)若直线l:2x十by+3=0过椭圆C: 10x2+y2=10的一个焦点，则b的值可以是 ( A.-1 B.一2 1 C. 1 D.1 2.已知直线1：x+y一3=0，椭圆十y2=1,则 直线与椭圆的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 3.(多选)已知直线1y=2x十3被椭圆C:十 a y2 =1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直 线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有 ( A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+3 4.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x- y十3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的 椭圆方程是 c号+苦1 n+号 =1 5.(多选)设椭圆写+号-1的右焦点为R,直线 y=m(0<m<√3)与椭圆交于A,B两点，则 A.AF|+BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6,12] C当m=受时，△ABF为直角三角形 D.当m=1时，△ABF的面积为√6 15 得分 直线与椭圆的位置关系 6,过椭圆后十号=1的右焦点F作与x轴垂 直的直线与椭圆交于A,B两点，则以AB为 直径的圆的面积是 7.已知O为坐标原点，点F1,F2分别为椭圆 C:营+苦-1的左，右焦点A为%圆C上 的一点，且AF2⊥F1F2,AF1与y轴交于点 B,则|OB= ⑧过椭圆M:之十1(a>b>0)右焦点的直 线x十y一√3=0交于A,B两点，P为AB的 中点，且OP的斜率为2，则椭圆M的方程 为 9.已知平面内两定点M(-1,0),N(1,0),动 点P满足|PM+|PN|=2√3. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线y=x十1与曲线C交于不同的两 点A,B,求|AB. 5 班级 姓名 得分 z⊥6￥口·玉·头氏「马学用子月L=云+酒姓￥口·0工 63 =1(a>b>0)的左焦点为 F1,F2,一条直线1经过F1与椭圆交于A, F,左顶点为A,上顶点为B.已知√3|OA|= B两点， 2OB(O为原点). (1)求△ABF2的周长； (1)求椭圆的离心率； (2)若直线1的倾斜角为45°，求△ABF2的 (2)设经过点F且斜率为子的直线1与椭圆 面积. 在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和 直线1相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥ AP,求椭圆的方程. 5.(2020·全国卷I)已知A,B分别为椭圆E: a三+y=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上 …0能力提升练0 顶点，AG·GB=8.P为直线x=6上的动 点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另 1.若直线m.x十ny=4和圆x2十y2=4没有交 一交点为D 点.则过点m,m)的直线与椭圆号+ 三11 (1)求E的方程； 4 (2)证明：直线CD过定点： 的交点的个数为 A.0或1B.2 C.1 D.0 、知随圆C:之子 =1(a>b>0)的离心率 ,直线Qx一by=0与圆M:x2+ 十}-0相切，则实数m的值是 A.士1 B.士2 C.±4 D.±8 3.已知(4,2)是直线1被椭圆 希+普-1所截 得的线段的中点，则1的方程是 1569 9 所以4=5=5:一X5+ ∴.5a2-5b=a2即4a2=5b ∴.c2=a2-b2= 设椭圈的标准方程为二十5y 3 5y-18,③ =1(a>0), 4a2 由P,Q是轨远E上的两点，得 :椭圆过点P(-5,4),25+5X16-1, 3 18+9=1(<2), a2 4a2 ,∴e= 2 ,故远A. 25x(5%-18) 解得a2=45.∴.椭圆方程 =1(x2<2), 45+36-1.] 3.f ,1 [设左焦 18 9 解得∫=0， 8 [以线段A1A。为直径的圆的方程为 点为F,连接 {=3, x2十y2=a2,由原点到直线bx-ay十2ab} FoA,F。B, 代入③得，y1=一3，x1=0, 2ab 则四边形AFBF。为 所以P(0,-3),Q(0,3),PQ=6. =0的距离d= =a,得a2=3,1 平行四边形. ab 课时分层检测（二十二） .AF+BF=4,,∴.|AF|+AF。 基础达标练 所以C的高心率√-源] 6 4,∴.a=2. 1.B[由2x2+3y=m(m>0),得亡 ⊥y2 4 9解（1)“c=9-4=后，所求椭圆的 设M0,),则≥ ，.1b2. 2 3 焦点为（一√5,0），（√5,0） 离心率e= 所求精周的方程为后十芳 a =1-() =1(a>b> =1,c2= 2- 3 6,e2 6 0 1-()(] 合e-9J 1 .'e 5 5 ,c=√5，∴a=5,b=a2-c214解(1)由AF1=3FB,AB=4, 得AF1=3,FB=1. =20, 2.B[将椭圆方程9r2+4y=36化为 因为△ABF,的周长为16， “所求椭圆的方程为 25+20=1 所以由椭圆定义可得4a=16, =1，故共焦点为(0，±5).又b=1, y AF+AF,=-2a=8,故AF,|=8-3 (2)椭圆的焦点在x轴上， =5. ∴a=十c2=6,故所求椭圆的标准方程 小设它的标准方程为二 =1(a>b> (2)设F1B=k,则k>0且AF1=3k, 为苦+2=1.] AB=4k. 0), 由椭圆定义可得AF2=2a一3k,BF, 2c=8,.c=4,又a=6,∴.=a2-c2 3,B[先将椭圆方程化为标准方程为 =2a-k. =20. 49 在△ABF2中，由余弦定理得AB2= 等-1，则b=2,a=1,e=3后.故长轴长 3y2 椭國的方程为6十0=1. AF22+BF22-2|AFg·BF2 cos∠AF2B, 为2a=14,短轴长为2b=4,离心率e=:10. (1)由题意，点P(√2,1)在椭圆上， 合-35] 代入得号十品-1，解得m=2 即4k=(2a-3k)+(2a-kP-号(2a -3k)(2a-k) 4.C[直线与坐标轴的交点为(0,1)，（一2， 0).当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为 (2②)由1加，箱圆方粒为号+兰-1， 化简可得(a十k)(a-3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. a+东=1(a1>6>0),由题意知，G= 则a=2,b=√2，c=√2， 于是有AF2|=3k=|AFI,BF2=5k. 所以椭圆的长轴长2a=4:短轴长2b=1 因此|BF,2=|F,A2+AB2,可得F1A 2,b1=1,.a=5,.椭圆的标准方程为 2√2： ⊥FgA, 行十y=1;当焦点在y轴上时，设椭圆的 焦距2c=2W2;离心率e=C= 2 故△AF1F2为等腰直角三角形， 2 方程为 :能力提升练 从而c= 之a,所以椭圆E的离心率e= =1(a2>b>0),由题意 1.C[①由题意得a2=√5+1，=2，故e= 知，b,=2,ce=1,∴a吃=5，.椭圆的标准 2 方程为苦+千=1，故选C.] 2 专+干 =1!5.解如图所示，设椭 4 圆的左焦点为F,连 5.A[不妨设椭圆的左 是“黄金椭圆”；②=ac,即a2-c2=ac,! 接AF1,BF,则四边 右焦点分别为F,F2 故十e-1=0,解得e=5,1或e- 形AFBF为矩形， 2 B为椭圆的上顶点，依 ..AB =FF 题意可知，△BF1F2是 一厅-1（舍去），故该椭圆是“黄金椭國”； =2c, 2 正三角形.在Rt AF+BF=2a. △OBF。中，OF2=c, ③由∠ABF=90°，得(a+c)2=a2+b2+ .'AF=2csin a,BF=2ccos a, b2十c2,化简可知e2十e-1=0,解得e= ∴.2 csin a+2 ccos a=2a, BF2=a,∠OF2B=60°，∴.cos60°= 5,成e=一5-1（合去，故孩精國是： ,∴.e= 一，即描圆的离心率e=，故选A] 2 2 sin a++cos a “黄金椭圆”；④由F,F22=|AF|· 6.2,4[e=1 () 由b= FB,得(2c)2=(a十c)·(a-c),则e= ae[臣」a+∈[登] 1,0es 巨（负值合去），故该描國不是“黄金精 5 21 圆”.故远C] -(日解得1≤2 2.A[设圆柱的底面半径为 r,依题意知，最长母线与 601 +）[1] 最短母线所确定的截面如 ∴.2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,1 图所示..AB=DE=2r 描国的高心率e【万-1，] 4.] 2r 课时分层检测（二十三） .+-1[e= c2 从而CD= 5 3 a" 基础达标练 4√3 因此在椭圆中长轴长2a= 3 r,短轴长 a 5, :1AD[易知精圆F十品-1的焦点为 2b=2r, F1(0,-3),F2(0,3),所以b=1或-1.] 235 2.C[把y=一x十3代入椭圆方程，得5x2·9.解(1)由椭圆的定义知，P点的轨迹为： -24x+32=0,其△=(-24)2-4×5×32： 椭圆， 椭圆离心率为e= =一64<0，故直线与椭圆相离.1 其中c=1,a=√3，.b=√2， 3.ACD[直线y=2x-3与直线1关于原，点 1 1- 对称，直线y=一2x一3与直线l关于x轴· ∴所求动点P的轨连C的方程为号 2 1= 对称，直线y=一2x十3与直线1关于y轴1 =1. (2)由(1)得a=2cb=5c, 对称，因此A、C、D中的直线被椭圆C裁 (2)设A(x,y),B(x,y),联立 得的弦长一定为7，而直线y=2x十1被椭！ (v=x+1, 六指圆方程可设为后十品 =1(c>0), 圆C裁得的弦长大于7.故远A、C、D.] x 直线l:y= 4.C[由题意设椭圆方程为 x2 3 +苦=， 3(:+0). +1b2 =1, 消y整理得5.x2十6.x一3=0， 由中+方=1，得(26+1)x2+6(6 6 3 ,x1十x2= 1=-5, 设圆心C(4,n),由 消去y x-y十3=0， ∴.|AB=√1十1·√(x1十x)-41x (4c2 3c21, 十1)x+862+9-b=0,由△≥0，得≥1 整理 4,所以形的最小值为4，由e= 1 )-4x(引-8 得7.x2+6cx-13c2=0,即(7x+13c)(x 51 c)=0, √1十√行中则当=4时，e取 = 最大值，故选C] 10,解由椭圆的方程 后+苦=1知，=4, 13c或x=C 5.ACD[设椭圆的左焦，点为F,则AF b=3, 当x= 9c =BF,..AF+BF=AF+AF c=√a-=√7. 13c时，y= :当x=c时，y =6为定值，A正确：△ABF的周长为I (1)△ABF的周长L△AR,=AB|+I =3c AB+AF+IBF,因为AF+BF为： 2 AF+BF=(AF+AF2)+ 定值6，AB的范图是(0,6)，.△ABF: (BF1|+BF:|)=4a=4×4=16. ! 的周长的范因是(6,12，B错误：将y一 又P在x轴上方P(,) (2)由c=7知，F(一√7,0)，F。(√7,0)， k=tan45°=l,.直线l的方程为x-y :OC∥AP,∴.OC∥AP, 与椭圆方程联立，可解得A- 3W3 2 +7=0, 花-，m,A-(+a,）-(3e, 设A(x1,y1),B(x2,y2) 号)(）又，0 tx-y十√7=0， 则由{x2 得25y2-18V7y- 引 ·=（6+￥)(6- 33 2 (16+9 =1, 4X号=3c·m,m=2,C(4,2),由 187 81=0,y1十y2 y1y2= 81 () 圆C同时与x轴和直线1相切，可得圆C =0,.△ABF为直角三角形，C 25 25 的半径为2， 正确；将y=1与椭圆方程联立，解得A(一 ∴1y-2= /187 ∴.点C(4,2)到直线1的距离为 25 十4×器 6,1),B(6,1),Sa=号×26X1 72N2 3(4+c)-2 =2. =√6，D正确.故选A,CD.] 25 /31 81π +1 6.16 [由题意，在后十苦 =1中，c= 六SAAB,=zFE:·y-=7! T) 解得c=2(负值舍去)， I6-9=√7，故F(√7,0).当x=√7时，y ×22巨-72 25 =±3/1 7 25 a=4,6=2尽，脑圆方程为后十号 16 -+9 ,所以AB=9 2 ·能力提升练 =1 1B[因为直线n.x十y=4和圆2+y=5.解(1)由题设得A(-a,0),B(a, 故以AB为直径的圆的面积是πX 4没有交点，所以 4 =>2,所以m2 0),G(0,1). √n2+ -普] 则AG=(a,1),GB=(a,-1). +<4，而号+牙<+<1，比 由AG·GB=8,得a2-1=8,即a=3 3 7,C:AF:⊥FF,AE的长度是椭 点(m,n)在椭圆内部，从而过点(n,n)的 所以E的方程为号十少=1. 圆C:号+苦-1道径的一半，即AF, 直线与椭圆号+兰=1必有两个交点.故 914 (2)证明：设C(,y1),D(x,边)，P(6, t). =是，：F0=F,0,0B是 选B.] 2B【由题感知，c-5a,则a-6,所以 若1≠0，设直线CD的方程为x-ny十1， 由题意可知一3n3. △AF,R的中位线，即0B=合AF: 直线ax-by=0,即y=√3x,代入x2+y! 由于直线PA的方程为y=号（红+3）， -mx+}=0,得4-mr+号=0，由△ 所以y=9(x1十3). &看+ =1[设A(x1,y1),B(x2,业)， =n2一4=0，解得n=士2.故选B.] :3.x十2y一8=0[设直线1与椭圆相交于 直线PB的方程为y=专（红一3），所以 A(),B(4)两点，则6十 9 =专(x,-3). 二义=-1，由此可得十= 可得3y(x2-3)=y2(x1+3). x2一x1 a2(y2+y） 1,且 36+9 =1,两式相减得当一业= x1一x2 由于至+好=1， -业二y=1,x2十x1=20为十y= x1十xg 9 x2一x1 4y+又十4=8y十=4， 故听= (x2十3)(x2-3) 所以一业一1 9 一2，故直线1的方程为y 可得27y1y2=-(x1十3)(x2十3)， 又由题意知，M的右焦，点为（√3,0），故a2 -2= -b2=3, 2(x-4),即x+2y-8=0.] 即(27+n)yy+m(n+3)(y1+必)+ (n十3)2=0.① 因此a2=6,=3, !4.解(1)由题意可得A(-a,0),B(0,b), “M的方程为+苦-1.] 设F(-c,0),5OA=2OB,∴N5a 将x=my中n代入号+矿=1， =2b, 得(m+9)y2+2nv十2-9=0. 236 所以y1十y?一 n2+g'4y-r9 2mn +|PF2I-2PF·|PF2=16, 又过点Q, m2+g' .PF1·PF2=2,则△FPF2的面积 代入①式得(27+m2)(n2-9)-2n(n+3) 故直线MN的方程为y-1=号(x一1)， 是号PF·PF:=1.] 即x-2y+1=0. mn十(n十3)2·(m+9)=0.解得n=25. :能力提升练 或n=一3（舍去）. [根据题意可知，双曲线的标准方程1.BC[对于A,若曲线表示焦点在y轴上 故直线CD的方程为x=mv十之' 3 的双曲线，则n2十2<0，无解，选项A错 为2-a3 -=1.由其焦距为4，得c=2,1 误；对于B,若曲线表示圆心为坐标原点的 即直线D注定点（是0） 1 则有c=2a+3-a=4,解得a=之] 圆，则n2十2=4一n2,解得n=士1，选项 B正确；对于C,若曲线表示焦点在x轴上 若{0，剥直线CD的方程为y=0,过点6号-言-1[由圆的方程r+y-4r 的双曲线，则4一n<0,所以m>2或m <一2，选项C正确：对于D,若曲线表示长 ( 9=0,令x=0, 轴长为2√6的椭圆，则2a=2√6，a=√6，则 得y2一9=0，v=士3， 综上，直线CD过充点(20） ,4-m>0, /4-m≥0， .圆与y轴的交点坐标为(0,3)，(0,1 m2+2>4-m,或 )n十2<4-n2,无 -3), 课时分层检测（二十四） :圆与y轴的两个交点A,B都在某双曲！ 2a=2√m2+2 2√4-m2=2a, 基础达标练 线上， 解，远项D错误.故选B、C.门] 1.C[由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c! ,.双曲线的焦，点在y轴上，且a=3, 2.C[由√x2+6.x+13-Wx2-6.x+13=4, =√尽，设双曲线的标准方程为 又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三1 a=1 得√a+3)+(2-0P-√(a-3+(2-0 等分， 一4，其几何意义为平面内动点(x,2)与两 a>0,b>0),则有d+=c2=3,月 .c=9,即有b2=72, 定，点（一3,0），(3,0)距离差的绝对值为4 1 此双南线的标准方程为苦一号-1.] 平面内动点与两定点（一3,0），(3,0)距离 =1，解得。=2，=1，故所求双曲线2.2十42[设双曲线C的左焦点为F,则 差的绝对值为4的，点的轨迹是双曲线，由 2a=4, 的标准方程为号-=1.] PF-PF=2a. 题得)c=3, 解得a=2,b=5.所以 由题可知a=1,c=2 c2=a2+2, 2.B[设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦： .PF=2+PF1,F1(-2,0),F(2,0), 平面内动点与两定点（一3,0），(3,0)距离 点，则由题意可知F1(一2,0)，F2(2,0).又 .MF-2√E,△PFM的周长为MF+MP OP=2,所以OP=OF=OF2,所1 差的绝对值为4的点的轨选方程是 以△PFF:是直角三角形，所以S△F,: +PF-2√2+2+MP+PF. 当M,P,F三点共线时，MP+PF最 y=2, =1.联立 解得x= n an45=3(共中0= 3 小，最小值为MF=2√2， 5 =1 4 5 '.△PFM的周长的最小值为2十4√②.] 65,故选C] ∠FPF2),故选B.] 8.解(1)焦点在x轴上，且c=√6， 5 3.解若选①，因为m>0,所以a2=n,b2= 3.C[国为双商线C的方程为需- 一设双曲线的标准方程为 =1, 91 6-a 2,c2=a2+}=3n,所以a=√m,c= =1, 0a2<6. √3m.因为C的左支上任意一，点到右焦点 所以c=√16十9=5. 的距离的最小值为a十c,所以√m十√3m 1 又：进点(-52心9-g。=1 又因为S△m1R:=zX2cn=2X 解得a2=5或a=30(舍去). =3十3，解得m=3,故C的方程为写 10yp=20, 所以yp=4,选项A错误； “双画线的标准方程为号一-1。 6 =1. 将m=4代入C后一号 (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上 9=1, 若选②，则c=3. 点A(一5,6)在双曲线上， 若m>0,则a2=m,形=2，c2=a2十形 得后号-1，所以-婴 42 ∴.2a=|√(-5-0)2+(6+6) =32, /(-5-0)2+(6-6)21=|13-51: 所以c=√3m=3,解得n=3, 不妨取点P的坐标为（婴，可知PE =8, 则a=4,=c2-a2=62-4=20. 则C的方程为号号 1 （碧-可)+=由双南线的定 若m0,则a2=-2n,b2=一m,2=a2+ 31 之所求双身镜的标准方程是若需-引 b2=-3m,所以c=√一3m=3,解得m= 义可知PF1=PF,十2a=1号+8= 9.解(1)由题意知，PA一PB=2√2 -3. 3 AB=2√5，故动点P的轨迹为焦，点在 号所以PF十PF:=号+是-号， x轴上的双曲线，且a=√2，c=√5， 则C的方程为一写一1， 若选③，因为C上一点到两焦点距离之差 远项B正确； b=√2-a=1,故曲线C的方程为 1 的绝对值为4，所以2a=4,即a=2. 对于上面点P,在△PFF2中， -y=1. 若n>0,则a2=n,所以a=√m=2,解得 PF,=>=10>PF,=号， (2)设M(x1,y),N(x,),满： m=4,则C的方程为号-苦=1： 且cos∠PF2F1 -=1， 2 若n<0,则a2=-2m,所以a=√一2m PE+FF-PF 足 =2, 2PF。FF2 则∠PFF为钝角，所以△PFF,为钝角 解得m=一2，则C的方程为号一专-1 三角形，选项C正确；Cos∠F1PF2= 两式相减得矿，主=坊一，即4解由题意得PF-P℉：1=2a, 2 PE2+PF,2-FEF2-319≠ 1 在△F1PF,中，由余弦定理得 2 PFPF.T 487≠2 (西-（十）=(y-y)(y十)， 2 cos 60-PF PE:EF: 所以∠F,PF:≠子，选项D错误，故选 x1x2-1, 2 PF PF2 2 (PF-PF)2+2PF PF2-FF2 B、C. 因为点Q为MN的中点，故 2PF PF, 4.A[由双曲线的定义得|PF一PF,| y1十y2 2 =1, .PF1·PF2=4(c2-a2)=4. =4,F1F=2√5，：PF2+PF22: 1 =FF2,(PF-PF)2=PF y二当 x1一x 2 ,即直线MN的斜率为2， ∴Sag,m,=PEPE,·sim60 237