2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与几何综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 1 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 2 【知识点三】核心解题步骤 2 【知识点四】高频易错点汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 3 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 6 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 10 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 15 三.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 17 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 23 【题型 7】一次函数与全等三角形综合问题（预习进阶） 33 【题型 8】一次函数与特殊三角形综合问题（预习进阶） 41 【题型 9】一次函数与图形存在性综合问题（预习进阶） 47 四.同步自测 57 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 57 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 66 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 75 一.教材知识梳理 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 一次函数与几何综合的本质：几何问题代数化，代数表达式几何化。 1. 函数图像上的点⇔对应坐标满足函数解析式； 2. 直线交点坐标⇔对应二元一次方程组的解； 3. 坐标差值⇔平面内线段长度； 4. 函数图像⇔平面内直线图形，可结合三角形、线段、平行关系分析。 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 1. 一次函数与坐标轴交点坐标 对于一次函数 ： （1）与 轴交点：令 ，得交点 ，纵截距为 ； （2）与 轴交点：令 ，得交点 ，横截距为 . 2. 坐标轴上线段长度公式 (1)横轴两点 ：； (2)纵轴两点 ：。 3. 一次函数与坐标轴围成三角形面积公式 (1)直线 与两坐标轴围成的直角三角形： (2)直角边长：、 (3)面积： 4. 两直线位置关系 (1)平行：，无交点； (2)相交：，有唯一交点（联立方程组求解）。 【知识点三】核心解题步骤 1. 求点：根据函数解析式，求出直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标； 2. 定边：由坐标算出图形的底、高、线段长度； 3. 计算：代入面积、长度公式求解； 4. 检验：结合图像位置、绝对值性质，舍去不合理结果。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 求线段长度忘记加绝对值，出现负数边长； 2. 混淆横、纵截距，面积计算时代错底和高； 3. 两直线平行判定忽略 ，误将重合判定为平行； 4. 多个交点、动点问题漏解，未分类讨论； 5. 坐标与线段长度转化混乱，横纵坐标对应错误。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 【例题1】（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． （1）在直角坐标系中画该一次函数的图象； （2）求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）图见分析；（2）1 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 解：（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， 作出一次函数图象如下： （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等； 当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D； 解：A.当时，，所以，故不符合题意； B.当时，，的面积是，故符合题意； C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不符合题意； D.当时，，所以点不在函数图象上，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，直线向下平移4个单位后得到的直线与坐标轴分别交于A、B两点，则的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移问题． 由一次函数平移的规律得到平移后的直线为，进而求出，，即可求出的面积． 解：直线向下平移4个单位后得到的直线为， 当，，即； 当，，即； ∴的面积． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·广西桂林·阶段检测）已知一次函数的图象经过，两点． （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积． 【答案】（1），；（2）2 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出，然后根据三角形的面积公式求得即可． 解：（1）解：把 ，两点坐标代入， 得，， 解得：，； （2）解：由（1）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴ ∴图象与坐标轴围成三角形面积为． 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 【例题2】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． （1）直接写出的面积； （2）若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； （3）若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 【答案】（1）9；（2）点C的坐标为或；（3）点或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 解：（1）解：直线与轴相交于点，与轴相交于点， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是12， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：，， ， ， 点或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 【变式1】（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于，则该一次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题；首先求出直线与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于，得到一个关于x的方程，求出方程的解，即可得直线的表达式． 解：对于一次函数，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为，， ∵一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 则一次函数的表达式为， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是_____________．    【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标． 解：∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 设点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点C的坐标是或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数的图像经过点    ． （1）求一次函数的表达式； （2）若点、在一次函数的图像上，，求的取值范围； （3）过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）y=x 【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，然后用待定系数法求解； （2）根据函数的增减性列出关于a的不等式求解； （3）先根据过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，求出点E坐标，然后利用待定系数法求解． 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把，代入，得 ， ∴， ∴； （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴2a<1-a， ∴； （3）∵过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分， ∴E为线段AB中点， ∵，， ∴Ex=，Ey=， ∴E（-4，3）， 设直线OE的解析式为y=ax， 把E（-4，3）代入得， -4a=3， ∴a=， ∴y=x． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，解一元一次不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 【例题3】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平面直角坐标系中，． （1）求直线的表达式； （2）求直线的表达式，并直接写出直线与轴的交点坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，能正确求出函数解析式，从而得到相应点的坐标是解题的关键． （1）设直线的表达式为，将代入，利用待定系数法即可求解； （2）设直线的表达式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）根据的面积即可求解． 解：（1）解：设直线的表达式为：，过 则：，即， 所以直线的表达式为：； （2）设直线的表达式为：，过， 所以，解得， 所以直线的表达式为：， 当时，， ∴直线与轴的交点； （3）的面积． 【变式1】（2025·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 【答案】B 【分析】设与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据即可求出答案． 解：联立， 解得：， ∴P（2，4）． 联立， 解得：， ∴Q（，）． 对于，令，则， 解得：， ∴A（-2，0）． 设与x轴的交点为B， 对于，令，则， 解得：， ∴B（，0）． ∴， ∴ 当时，， 当时，（不合题意）， 当时，． 综上可知的面积为10． 故选B． 【点拨】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是解题关键． 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是______，与轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 12 【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：联立得， 解得． 所以，交点坐标为， 令，则，解得， ，解得， 所以，两直线与轴交点之间的距离为， 所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积． 故答案为：，12． 【点拨】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 解：（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 【例题4】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知直线与直线平行，且过点． （1）求，值； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 先根据一次函数平移值不变求得值，再用待定系数法求解即可； 根据中求解的和的值得到直线的解析式，根据解析式求得直线与轴、轴的交点坐标，据此即可求得直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 解：（1）解：直线与直线平行， ，， 又该直线过点， ， ． （2）解：由得，直线解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为， 当时，， 直线与轴的交点为， 此时该直线与两坐标轴围成的三角形面积为：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）两直线与平行，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，当两条直线平行时，它们的比例系数的值相等，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵两直线与平行， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式．熟练掌握两直线平行值相等是解题的关键．先根据两直线平行的问题得到，然后把代入中可计算出的值． 解：直线与直线平行， ， 直线过点，则， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一次函数的图象与直线平行，与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3． （1）求函数的表达式； （2）是直线上一点，若点到轴的距离是点到轴距离的4倍，求点坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由一次函数的性质可得，再确定点，然后代入一次函数解析式即可解答； （2）设，则点到轴的距离是，点到轴距离是，再根据题意列绝对值方程求解即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵直线过点A，且点A的纵坐标是3， ∴，解得， ∴， 将代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设，则点到轴的距离是，点到轴距离是， ∵点到轴的距离是点到轴距离的4倍， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 【例题5】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理、折叠性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合，熟练掌握勾股定理及待定系数法是解决问题的关键． （1）根据题中数据，在中，利用勾股定理求出，再由折叠性质得到，从而确定，即可得到答案； （2）根据已知条件，利用勾股定理列方程得到，再由待定系数法求出直线的解析式即可得到答案． 解：（1）解：∵，， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， ∵将沿直线折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设， 根据折叠的性质得，， 由（1）知， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得 ， 解得， 故直线的解析式为． 【变式1】（23-24八年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在x轴上的点处，则直线所对应的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、折叠的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式，先求出，，得出，，，由折叠的性质可得：，，则，设，则，，由勾股定理可得，求出的值即可得出的坐标，最后由待定系数法求直线的解析式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：在中，当时，，当时，，解得， ，， ，， ， 由折叠的性质可得：，， ， 设， ，则， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】此题考查的是勾股定理和折叠的性质，掌握用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．根据勾股定理即可求出的长，然后根据折叠的性质，可得：，，从而求出的长，设，则，再根据勾股定理列方程即可求出的值，从而求出点坐标． 解：点， ， 根据勾股定理： 根据折叠的性质：， - 设，则 根据勾股定理： 即： 解得： 点坐标为， 故答案为：． 【变式3】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，等腰三角形的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质； （1）根据勾股定理求得，根据折叠的性质，求得，再利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，进一步用待定系数法求出一次函数的解析式．过作于．由折叠可知．再由，得到，，从而可求出的坐标； （2）设．可求得，．然后分三种情况讨论：①以为圆心，为半径作圆与轴交于点；②以为圆心，为半径作圆与轴交于点；③设线段的垂直平分线交轴于． 解：（1）解：， ， 沿折叠、重合， ， ，设，则， ，即，， 设代入得：， 解得：， 直线的解析式是：； 过作于．    沿折叠、重合， ． ， ，， ， ，， ， 的坐标是：； （2）设． ，，．分三种情况讨论： ①以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则， 或； ②以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则． ， 与重合， ； ③设线段的垂直平分线交轴于，则， ， 解得：， ．    综上所述：P的坐标为：或或或． 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 【例题6】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． （1）P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． （2）P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （3）P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）P点运动到时距离A点最近；（2）见分析，；（3）见分析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 解：（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ______，k的最大值为 _____． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 利用直线的表达式求得A、B的坐标，进一步求得点C的坐标，求得直线分别过B、C时k的值，即可得到结论． 解：直线函数表达式为，其中点，点， ， ， ，， ∵点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点， ， ∵一次函数的图象过点， ， ， ∴一次函数为， 当经过点B时，则，解得， 当经过点C时，则，解得， 故k的最小值为，k的最大值为2， 故答案为：，2． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 【题型 7】一次函数与全等三角形综合问题（预习进阶） 【例题7】（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 解：（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象、全等三角形的判定与性质，关键是分情况讨论全等三角形的对应顶点关系．首先求出、两点坐标，得到、的长度，再根据推出，然后分两种全等对应情况，分别计算的长度，进而确定点坐标． 解：当时，， ； 当时，，解得， ； ，； ， ， ∴． ，， ； 情况1：若，则； 点的纵坐标为，即； 情况2：若，则， 点的纵坐标为，即； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 解：（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． （3）解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点拨】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 【题型 8】一次函数与特殊三角形综合问题（预习进阶） 【例题8】（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数的表达式． （2）点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据直角三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，根据直角三角形的定义进行求解即可． 解：（1）解：将，代入得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：①当时， 点在一次函数图象上． 解得， ， 且是轴上的动点， ； ②当时， 过点作，垂足为， 由（1）得则，， 设，则， 由勾股定理得，， ， ，由勾股定理得， ， 解得， ， ； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 解：一次函数， 令，得，； 令，得，； 直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形， 直线必经过线段的中点． 设的中点为，则点的坐标为，即． 设直线的解析式为． 将代入，得，解得． 直线的解析式为． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，先求出，，设，则，，，再结合勾股定理分两种情况：当时，；当时，；分别计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：在中，当时，，则， ∵直线与直线交于点， ∴联立， 解得， ∴， ∵点是轴上的一个动点， ∴设， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为：或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），． 【构建联系】 （1）求点，，的坐标； （2）判断是否存在，使得是等腰三角形？并说明理由； 【深入探究】 （3）当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；；；（2）不存在，使得是等腰三角形；理由如下：∵为的外角， ∴， 假设， ∴， ∵， ∴，而这与矛盾， ∴假设不成立， 即不存在，使得是等腰三角形； （3）或 【分析】（1）根据一次函数解析式，求出点，，的坐标； （2）根据三角形外角性质得出，假设，根据等腰三角形性质得出，从而说明，而这与矛盾，推出假设不成立； （3）分为三种情况：①，②，③，分别求解即可． 解：（1）解：， 当时，， 当时，， 解得：， 即点的坐标是，点的坐标是， 点与点关于轴对称， 的坐标是； （2）略 （3）解：分为三种情况： ①当时，如图所示： 和关于轴对称， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， 点的坐标是；   ②当时，根据解析（2）可知，此种情况不存在； ③当时，如图所示： 则， 即， 设此时的坐标是，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的坐标是． 当为等腰三角形时，点的坐标是或． 【题型 9】一次函数与图形存在性综合问题（预习进阶） 【例题9】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点坐标为或；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）由对称性得到，，由勾股定理得到，用待定系数法即可求的解析式； （2）分两种情况：当点与点关于直线对称时，；当轴，轴时，，再根据全等三角形的性质，找到等边，建立关系求解； （3）当点与点关于点对称时，，设，根据，即可求点坐标；当点在轴正半轴时，设，根据，求点坐标即可． 解：（1）解：如图1， ，， ， 由对称性可知，，， ∴， 在中，， 中，， 即， 解得， ， 设所在直线解析式为， 将，代入， ， 解得， 故所在直线解析式为； （2）解：①如图2， 当点与点关于直线对称时，， 点在直线上， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ， ， ； ②如图3， 当轴，轴时，， 此时，，，， ； 综上所述：点坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图4， 当点与点关于点对称时，， ， 点在直线上， 设， ， ， ， （舍）或； 故点坐标为； 如图5，当点在轴正半轴时， ，， ， ，， 由对称性可知，， ， 设， 根据折叠的性质，有， 即， 解得， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 ， 解得：， 故直线的解析式为：， 点在直线上， 设， ， ， ， 解得（舍）或， 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确分类讨论是解题关键．先分别求出，，，，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质和一次函数的性质求解即可得． 解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的斜边， ∴也是以为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当时， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图2和图3，当时， ∴， ∴点的纵坐标为或， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，这样的点有3个． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【答案】 是 ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理； （Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； （Ⅱ）根据勾股定理得到，分两种情况：当点A落在y轴的正半轴上时，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 解：（Ⅰ）折叠以后可以发现存在两个C点使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上； 故答案为：是； （Ⅱ）∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， ∴， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，过作于， 设点C的坐标为， ∵折叠后点A对应的点恰好落在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 同理，当点A落在y轴的负半轴上时，过作于， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：，． 【变式3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求点坐标； （2）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出，得到，，进而求出，设，则，，根据列方程求解即可． 解：（1）解：与轴交于点， 当时，， 解得：， ； （2）解：∵ ， 与轴交于点， 当时，， 则， ∴， 点是的中点， ， ，， 设，则， ， 当时，， 解得：或， 或． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F．若，则EF的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先令求出的值，再由可知点的横坐标为，故可得出的长度，根据勾股定理即可得出结论． 解：∵当时，， 解得：， ∴． ∵， ∴， 当时， ∴， 在Rt中，， 故选：B. 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有，而的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，也就求出M的坐标． 解：直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 令，，令，则，解得， ∴， ∴， 设， 由折叠知，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段检测）已知和两点，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．6或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，一次函数与几何图形的综合，理解坐标轴上的点，几何图形面积的计算是关键． 根据点坐标得到对应线段的长，结合几何图形面积的计算即可求解． 解：已知和两点， ∴， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，从而得到，然后根据的面积为3，得到关于m的方程，即可求解． 解：设点P的坐标为， ∵轴，交直线于点， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵的面积为3， ∴，即， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 5．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，几何图形面积的计算，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象与坐标轴的交点，几何图形面积的计算公式计算即可． 解：一次函数，当时，，当时，， ∴， 故选：D ． 6．（23-24八年级下·上海·期中）若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的周长公式可得，根据三角形的三边关系可得，所以等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是直线上的一段，并且和的位置应是空心圆． 解：等腰三角形的周长是， ， 整理得：， 根据三角形三边之间的关系，可得：，， ， 等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象如下图所示： 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，射线与x轴正半轴夹角为，点A和点B分别为射线，上的动点，和的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（   ）上． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定定理和性质定理，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，第一象限角的平分线的直线解析式，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 解：过点P作于点E，于点N，于点G， ∵和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴点P一定在的角平分线上， 作射线， 则平分， ∵， ∴， 设Q是x轴的正半轴上的一点，R是y轴的正半轴上的一点， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴点P一定在直线上， 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴正半轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握一次函数图象的性质是关键． 根据折叠得到，由一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，则，，，在中，由勾股定理即可求解． 解：由折叠知，， 把代入，得， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴点的坐标为． 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合，涉及求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握知识点是解题的关键． 作直线于点，连接，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知的长是长的最小值，先求出，由勾股定理求得，再由等积法求解即可． 解：如图：作直线于点，连接，根据“点到直线上所有的点的连线指中，垂线段最短”可知：的长是长的最小值 直线与轴、轴分别交于点、， 当， ， ∴ ，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴线段长的最小值为8， 故选：B． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1 【答案】D 【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论． 解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2， ∴A（1，0），B（0，2）． ∴OA＝1，OB＝2． ∴AB＝． ∵AP⊥AB，点C是射线AP上， ∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°， ∵∠OAB＋∠OBA＝90°， ∴∠CAD＝∠OBA， 若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°， 即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO． 如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB， ∴OD＝AD＋OA＝＋1； 如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2， ∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3． 综上所述，OD的长为3或＋1． 故选：D． 【点拨】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 12．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，，一次函数的图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段上的一点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点P的坐标为______． 【答案】/ 【分析】将点代入一次函数求出b的值，可得一次函数，设由翻折的性质得，，即可求解． 解：设翻折后点A落在y轴上的点为， 则，， ∵一次函数的图象经过点A，点， ∴，解得：， ∴点， ∴一次函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，则， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，折叠问题，一次函数与几何综合，用勾股定理解三角形，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为___． 【答案】 【分析】先分别令和确定和的坐标，过点作，交于点，过作 轴于点，根据证明，得，，可得，把点及点代入直线的解析式为：，即可解答． 解：当时，，当时，， ∴，， ∴，， 过点作，交于点，过作 轴于点， ∵， ， 在中，根据三角形内角和为180°， 可 得， ∴， ∴. 又∵，， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴点横坐标为，点纵坐标为，所以， 设直线的解析式为：，把，代入， 则， 解得， 则直线的解析式为：， 故答案为： 【点拨】本题考查一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，构造全等三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据在函数上，得到，于是点；在函数上，得，于是点，确定点关于x轴的对称点坐标为，连接交x轴于点P，此时的交点P就是值最小时的位置，利用待定系数法确定解析式，计算与x轴的交点即可． 解：∵在函数上， ∴， ∴点； ∵在函数上， ∴， ∴点， ∴点关于x轴的对称点坐标为，连接交x轴于点P，此时的交点P就是值最小时的位置， 设直线的解析式，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当得， 解得． 故点， 故答案为：． 【点拨】本题考查了图象过点的意义，待定系数法求解析式，轴对称求线段和最小，图象与x轴的交点，熟练掌握待定系数法，线段和最小确定是解题的关键． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 解：把代入得，把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·全国·课堂例题）如图，直线：与直线：交于点，点P在直线上且位于直线下方，轴交直线于点Q．若，则点P的坐标为 ______． 【答案】 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，由题意得到关于m的方程是解题的关键．由直线l2的解析式求得点A，代入求得k，即可求得直线：，设，则，由，得到关于m的方程，解方程求得m的值，从而求得点P的坐标． 解：∵直线：过点， ∴， ∴， 把点A的坐标代入得，， 解得， ∴直线：， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 17．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平移的性质可知平移后点的纵坐标不变，将其代入直线解析式求出横坐标，进而求出平移距离． 解：如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，直线的解析式是，点的坐标是． （1）________； （2）连接，为一次函数图象上的一点（），过点分别作轴，轴，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据勾股定理求出，结合已知条件求出的值，设点的坐标，利用两点间距离公式列方程求解，最后根据确定点的位置 解：（1）点在直线上 解得； （2）， ，即 由（1）知直线的解析式为 设点的坐标为 解得， 当时，，此时点坐标为 当时，，此时点坐标为 直线与轴交于点，与轴交于点 点为线段的中点 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是一次函数． （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）不在；（3） 【分析】（1）利用一次函数定义列出方程，解出方程得到，进而可求解； （2）将代入函数解析式求出此时的值，进而可判断； （3）先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，进而可求出三角形的面积． 解：（1）解：∵是一次函数， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上； （3）解：当时，， 当时，，解得， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为：和， ∴此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知中，，，直线的函数解析式是． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】求出，，根据全等三角形的判定定理可证明≌； 由全等三角形的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 解：（1）证明：令， ， ， 令，， ， ，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，， ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． （1）求点坐标及一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）的面积为；（3）存在一点，使得，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是利用分类讨论思想解题． （1）将代入可求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：①当点在轴上时；②当点在轴上时． 解：（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得， 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， ①当点在轴上时，， ， ， ，， 点的坐标为或， ②当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 （1）求直线的表达式． （2）若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； （3）如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 【答案】（1）；（2）或；（3）2秒 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据待定系数法求得直线的解析式， （2）设，则，根据，求得m的值，可求得M的坐标； （3）根据平行直线的解析式的k值相等设出平移后直线的解析式为，然后把点代入求出t，即可得解． 解：（1）解：依题意，设直线的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：依题意，设， 由（1）得直线的表达式为； 令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴， ∵三角形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：设经过t秒后，该直线与y轴交于点， 则平移后的解析式为， 把代入， 得， ∵， ∴， 故经过2秒后，该直线与y轴交于点． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西铜川·期末）【问题提出】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线n过点，且与直线l交于点，直线l与y轴交于点C． ①直线n的函数表达式为_______； ②若的面积为9，且点C在y轴正半轴上，求点C的坐标； 【问题解决】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，经过，两点的直线n是某城市景观规划中的一条景观大道，景观设计部门计划在y轴正半轴上找一点C，使得由点A，B，C构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B，C两点的景观道路所在的直线l对应的函数表达式． 【答案】（1）①②（2）或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次方程的解法，三角形面积，等腰三角形，分类讨论思想的运用，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）①用待定系数法求直线n的函数解析式； ②根据的面积为 9 可得的长，确定的长，可得结论； （2）分三种情况：①当时，②当时，③当，利用待定系数法可得结论． 解：（1）①设直线n的解析式为， ∵直线n过点，且与直线l交于点， ∴将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线n的函数表达式为． 故答案为：． ②的面积为9， ， 解得． ， ． 点C在y轴正半轴上， ． ． （2）分三种情况：如图，当时， ，， ． ， ． ． 设直线l对应的函数表达式为． 将，分别代入，得， 解得 直线l对应的函数表达式为； 如图，当时，过点B作y轴的垂线，垂足为D． 轴于点D， ， ． 同理可得直线l对应的函数表达式为； 如图，当时，过点B作y轴的垂线，垂足为D． ， ， 轴于点D， 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得 ． ． 同理可得直线l对应的函数表达式为． 综上所述，经过B，C两点的景观道路所在的直线l对应的函数表达式为或或． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知一直线与坐标轴交于A，B两点，形成直角如图1所示． （1）求直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标． （2）折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标． （3）若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3），，． 【分析】（1）分别求出当时，当时，另一个变量的取值，即可得到直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标； （2）由（1）知，，设，则，由折叠的性质可知，，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； （3）根据平行于坐标轴的点的坐标特征求出点M，N的坐标，以及，即可解题． 解：（1）解：当时，， 当时，即，解得， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 由折叠的性质可知，， ， ， 解得， 点C的坐标为． （3）解：轴， ， 且当时，有，解得， ，， 轴， 且当时，有， ，， ， 综上所述，，，． 【点拨】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理，平行于坐标轴的点的坐标特征，解题的关键在于灵活运用相关知识． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——一次函数与几何综合 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 1 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 2 【知识点三】核心解题步骤 2 【知识点四】高频易错点汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 3 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 4 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 5 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 7 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 8 【题型 7】一次函数与全等三角形综合问题（预习进阶） 11 【题型 8】一次函数与特殊三角形综合问题（预习进阶） 12 【题型 9】一次函数与图形存在性综合问题（预习进阶） 13 四.同步自测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.教材知识梳理 【知识点一】核心转化思想（本专题核心） 一次函数与几何综合的本质：几何问题代数化，代数表达式几何化。 1. 函数图像上的点⇔对应坐标满足函数解析式； 2. 直线交点坐标⇔对应二元一次方程组的解； 3. 坐标差值⇔平面内线段长度； 4. 函数图像⇔平面内直线图形，可结合三角形、线段、平行关系分析。 【知识点二】必备基础公式与结论（预习必背） 1. 一次函数与坐标轴交点坐标 对于一次函数 ： （1）与 轴交点：令 ，得交点 ，纵截距为 ； （2）与 轴交点：令 ，得交点 ，横截距为 . 2. 坐标轴上线段长度公式 (1)横轴两点 ：； (2)纵轴两点 ：。 3. 一次函数与坐标轴围成三角形面积公式 (1)直线 与两坐标轴围成的直角三角形： (2)直角边长：、 (3)面积： 4. 两直线位置关系 (1)平行：，无交点； (2)相交：，有唯一交点（联立方程组求解）。 【知识点三】核心解题步骤 1. 求点：根据函数解析式，求出直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标； 2. 定边：由坐标算出图形的底、高、线段长度； 3. 计算：代入面积、长度公式求解； 4. 检验：结合图像位置、绝对值性质，舍去不合理结果。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 求线段长度忘记加绝对值，出现负数边长； 2. 混淆横、纵截距，面积计算时代错底和高； 3. 两直线平行判定忽略 ，误将重合判定为平行； 4. 多个交点、动点问题漏解，未分类讨论； 5. 坐标与线段长度转化混乱，横纵坐标对应错误。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】求一次函数与坐标轴围成的三角形面积（基础必考） 【例题1】（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． （1）在直角坐标系中画该一次函数的图象； （2）求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．的面积是4 C．随的增大而减小 D．点在函数图象上 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，直线向下平移4个单位后得到的直线与坐标轴分别交于A、B两点，则的面积是____________． 【变式3】（23-24八年级下·广西桂林·阶段检测）已知一次函数的图象经过，两点． （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积． 【题型 2】已知面积，反求一次函数解析式（逆向题型） 【例题2】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． （1）直接写出的面积； （2）若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； （3）若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于，则该一次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是_____________．    【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数的图像经过点    ． （1）求一次函数的表达式； （2）若点、在一次函数的图像上，，求的取值范围； （3）过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式． 【题型 3】两直线相交，求交点坐标及围成图形面积（中档重点） 【例题3】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平面直角坐标系中，． （1）求直线的表达式； （2）求直线的表达式，并直接写出直线与轴的交点坐标； （3）求的面积． 【变式1】（2025·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线、、所对应的函数表达式分别为、、（k≠0且k≠1），若与x轴相交于点A，与、分别相交于点P、Q，则△APQ的面积（　　） A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化 【变式2】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是______，与轴围成的三角形的面积是______． 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． （1）求直线的表达式； （2）若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【题型 4】一次函数平行类几何问题（高频重难点） 【例题4】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知直线与直线平行，且过点． （1）求，值； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）两直线与平行，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是___________． 【变式3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一次函数的图象与直线平行，与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3． （1）求函数的表达式； （2）是直线上一点，若点到轴的距离是点到轴距离的4倍，求点坐标． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】一次函数与几何折叠问题（预习进阶） 【例题5】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 【变式1】（23-24八年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在x轴上的点处，则直线所对应的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 【变式3】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 6】一次函数与几何最短路径问题（预习进阶） 【例题6】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． （1）P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． （2）P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （3）P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【变式1】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ______，k的最大值为 _____． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【题型 7】一次函数与全等三角形综合问题（预习进阶） 【例题7】（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为_______． 【变式3】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【题型 8】一次函数与特殊三角形综合问题（预习进阶） 【例题8】（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数的表达式． （2）点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，且与直线：交于点，若点是轴上的一个动点，当是以为直角边的直角三角形时，点的坐标为：___________． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．动点，分别在线段，上（点不与点，重合，点不与点，重合），． 【构建联系】 （1）求点，，的坐标； （2）判断是否存在，使得是等腰三角形？并说明理由； 【深入探究】 （3）当是等腰三角形时，求点的坐标． 【题型 9】一次函数与图形存在性综合问题（预习进阶） 【例题9】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠． （Ⅰ）在x轴上是否存在C点，使折叠后点A对应的点恰好落在y轴上？______（请填写“是”或“否”）． （Ⅱ）如果存在满足（Ⅰ）中条件的点C，请直接写出它的坐标．______． 【变式3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． （1）求点坐标； （2）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形ABCO的边OC，BC分别交于点E，F．若，则EF的长为（    ） A．3 B． C． D．5 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段检测）已知和两点，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．6或 C．3 D．3或 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·上海·期中）若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，射线与x轴正半轴夹角为，点A和点B分别为射线，上的动点，和的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（   ）上． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于两点，点是轴上一点，把坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴正半轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线上的一个动点，则线段长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 12．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，已知点，，一次函数的图象经过点A，且与y轴相交于点C，若点P为线段上的一点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点P的坐标为______． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线 与轴，轴分别交于，两点，点是第二象限内一点，连接，若，则直线的解析式为___． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为________． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为__________． 16．（24-25八年级下·全国·课堂例题）如图，直线：与直线：交于点，点P在直线上且位于直线下方，轴交直线于点Q．若，则点P的坐标为 ______． 17．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 18．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，直线的解析式是，点的坐标是． （1）________； （2）连接，为一次函数图象上的一点（），过点分别作轴，轴，若，则点的坐标是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是一次函数． （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知中，，，直线的函数解析式是． （1）求证：； （2）求的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． （1）求点坐标及一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 （1）求直线的表达式． （2）若y轴上有一点M，且三角形的面积为12，求M点的坐标； （3）如图，把直线以每秒2个单位的速度向右平移，问经过几秒后，该直线与y轴交于点？（直接写答案） 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西铜川·期末）【问题提出】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线n过点，且与直线l交于点，直线l与y轴交于点C． ①直线n的函数表达式为_______； ②若的面积为9，且点C在y轴正半轴上，求点C的坐标； 【问题解决】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，经过，两点的直线n是某城市景观规划中的一条景观大道，景观设计部门计划在y轴正半轴上找一点C，使得由点A，B，C构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B，C两点的景观道路所在的直线l对应的函数表达式． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）已知一直线与坐标轴交于A，B两点，形成直角如图1所示． （1）求直线经过两坐标轴交点A，B两点的坐标． （2）折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标． （3）若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $