2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第8讲）——平面直角坐标系（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第8讲）——平面直角坐标系（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】平面直角坐标系基础概念 1 【知识点二】点的坐标表示 2 【知识点三】各区域点的坐标符号规律（必背） 2 【知识点四】点到坐标轴的距离（高频考点） 2 【知识点五】点的对称变换规律（必考） 2 【知识点六】平行于坐标轴的直线特征 3 【知识点七】平面内两点间距离（结合勾股定理） 3 【知识点八】平面直角坐标系图形的平移 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】判断点的位置（象限、坐标轴） 3 【题型 2】求点到坐标轴的距离 4 【题型 3】求点的对称坐标 4 【题型 4】平行坐标轴的点的坐标求解 5 【题型 5】平面两点距离计算 6 【题型 6】坐标参数取值范围（中档易错） 6 【题型 7】平面直角坐标系中的平移 7 三.经典题型精析（综合提升） 8 【题型 8】平面直角坐标系与三角形全等综合 8 【题型 9】平面直角坐标系与等腰三角形综合 10 【题型 10】平面直角坐标系与几何折叠问题 11 【题型 11】平面直角坐标系与规律问题 12 四.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系基础概念 1. 定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 2. 坐标轴分类 （1）横轴（x轴）：水平数轴，向右为正方向； （2）纵轴（y轴）：竖直数轴，向上为正方向； （3）原点：两坐标轴交点，坐标为，是坐标基准点。 3. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点二】点的坐标表示 平面内任意一点，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数，分别为点的横坐标、纵坐标。记作：； 规范：横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，整体用括号包裹。 【知识点三】各区域点的坐标符号规律（必背） 点的位置 坐标符号 核心特征 第一象限 横、纵坐标均为正数 第二象限 横坐标负、纵坐标正 第三象限 横、纵坐标均为负数 第四象限 横坐标正、纵坐标负 x轴上 纵坐标为0，横坐标任意 y轴上 横坐标为0，纵坐标任意 原点 横坐标、纵坐标均为0 【知识点四】点到坐标轴的距离（高频考点） 设平面内一点： （1）点到x轴的距离 = 纵坐标的绝对值：； （2）点到y轴的距离 = 横坐标的绝对值：； 易错提醒：距离为非负数，计算必须加绝对值，不可直接取用坐标正负值。 【知识点五】点的对称变换规律（必考） 已知点，对称点坐标变换口诀： （1）关于x轴对称：横轴对称，横不变、纵变号，坐标为； （2）关于y轴对称：纵轴对称，纵不变、横变号，坐标为； （3）关于原点对称：中心对称，横纵全变号，坐标为； 【知识点六】平行于坐标轴的直线特征 （1）平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标不同； （2）平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标不同。 【知识点七】平面内两点间距离（结合勾股定理） 设两点、： （1）水平线段（）：； （2）竖直线段（）：； （3）任意两点距离公式：。 【知识点八】平面直角坐标系图形的平移 设平面内任意一点坐标为，平移仅改变点的位置，不改变点的本质属性，横纵坐标变化有固定规则。 1. 左右平移（水平平移）：只改变横坐标，纵坐标y 保持不变 （1）向右平移a个单位：；（2）向左平移a个单位：， 口诀：左减右加，纵不变。 2. 上下平移（竖直平移）：只改变纵坐标y，横坐标x保持不变， （1）向上平移b个单位：；（2）向下平移b个单位：。 口诀：上加下减，横不变。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断点的位置（象限、坐标轴） 【例题1】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知，点． （1）若点在轴上，点的坐标为______； （2）若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）平面直角坐标系中，与点在同一象限的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么a的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【题型 2】求点到坐标轴的距离 【例题2】（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为3，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·单元复习）点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 【题型 3】求点的对称坐标 【例题3】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； （2）若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求，的值； （2）若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【题型 4】平行坐标轴的点的坐标求解 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若直线过点，且与y轴平行，则点关于直线对称的点的坐标是________，点关于直线对称的点的坐标是________． （2）已知直线过点，且与y轴平行，点和点关于直线对称，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）点和点，若所在的直线与轴平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆璧山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点是平面直角坐标系内一点． （1）若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标． （2）经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标． 【题型 5】平面两点距离计算 【例题5】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点．其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． （1）已知点，则_________； （2）已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则________； （3）已知点M和（1）中的点A有轴，且，求点M的坐标； （4）已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是_________． 【变式1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． （1）点与点之间的距离是 ． （2）已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 【题型 6】坐标参数取值范围（中档易错） 【例题6】（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平面直角坐标系中，有一点，试求满足下列条件m的值或取值范围： （1）点P在y轴上； （2）点P在第二象限； （3）点P到x轴的距离是2． 【变式1】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【题型 7】平面直角坐标系中的平移 【例题7】（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． （1）画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形三个顶点的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【变式3】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标______________； （2）点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． （3）求出三角形的面积． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】平面直角坐标系与三角形全等综合 【例题8】（25-26八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是． （1）在图中作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点的坐标； （3）如果与全等（点C，D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知：在平面直角坐标系中如图放置，且，现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与全等，则D点坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点D在y轴右侧，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 __ ． 【变式3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，都在格点上． （1）作关于轴的对称图形（其中，，的对称点分别为，，），并写出，，点的坐标； （2）若平面内有一格点，使得与全等，写出满足条件的点的坐标（点与点不重合）． 【题型 9】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题9】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点C的坐标； （2）设P是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点，，轴有一点，使得是等腰三角形，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点．若在轴上取点，使为等腰三角形，求满足条件的点的坐标是______． 【变式3】（八年级数学月考卷（河南专用，北师大版八下第1~2章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考）如图，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求的面积； （2）求原点到的距离； （3）在轴上确定点，使得为等腰三角形，直接写出满足这样条件的点坐标． 【题型 10】平面直角坐标系与几何折叠问题 【例题10】（25-26八年级下·山东济宁·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）求和的长． 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）长方形在平面直角坐标系中的位置如图：、满足，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，则点F的坐标为____． 【变式3】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【题型 11】平面直角坐标系与规律问题 【例题11】（2026·广西百色·三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按照先向上、再向右、最后向右下方向依次平移，向上、向右都是每次移动1个单位长度，向右下方向每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，， ，点的坐标是_______． 【变式1】（25-26八年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川广安·期末）如图，动点在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点……按这样的规律，第2026秒运动到点________． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． （1）画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ （2）请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ （3）探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）已知点是第一象限内的一点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·云南红河·期末）点是平面直角坐标系中第________象限的点． 12．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标，连接．若轴，则点C的坐标___________． 13．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在点的上方．若轴，且，则点的坐标为________． 14．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如果将点向左平移4个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是_________． 15．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 16．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知点与点关于原点对称，则______． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知线段轴，且，若点A的坐标是，则点B的坐标是______． 18．（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）在平面直角坐标系中，点，，．若轴，则当线段的长度取得最小值时，点的坐标为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． （1）直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； （2）求三角形的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，且 （1）求的值 （2）若轴上存在一点，使，求点坐标 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）作关于轴对称的； （2）若与全等（点不与点重合），请直接写出所有满足条件的点的坐标． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． （1）写出的坐标； （2）在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，在图中分别标明、关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：___________、___________； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为___________（不必证明）； 运用与拓展： （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，并写出最短距离为___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——平面直角坐标系（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】平面直角坐标系基础概念 2 【知识点二】点的坐标表示 2 【知识点三】各区域点的坐标符号规律（必背） 2 【知识点四】点到坐标轴的距离（高频考点） 2 【知识点五】点的对称变换规律（必考） 3 【知识点六】平行于坐标轴的直线特征 3 【知识点七】平面内两点间距离（结合勾股定理） 3 【知识点八】平面直角坐标系图形的平移 3 二.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】判断点的位置（象限、坐标轴） 4 【题型 2】求点到坐标轴的距离 6 【题型 3】求点的对称坐标 8 【题型 4】平行坐标轴的点的坐标求解 11 【题型 5】平面两点距离计算 13 【题型 6】坐标参数取值范围（中档易错） 15 【题型 7】平面直角坐标系中的平移 17 三.经典题型精析（综合提升） 21 【题型 8】平面直角坐标系与三角形全等综合 21 【题型 9】平面直角坐标系与等腰三角形综合 25 【题型 10】平面直角坐标系与几何折叠问题 30 【题型 11】平面直角坐标系与规律问题 33 四.同步自测 37 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 37 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.教材知识梳理 【知识点一】平面直角坐标系基础概念 1. 定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 2. 坐标轴分类 （1）横轴（x轴）：水平数轴，向右为正方向； （2）纵轴（y轴）：竖直数轴，向上为正方向； （3）原点：两坐标轴交点，坐标为，是坐标基准点。 3. 象限划分：两坐标轴将平面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点二】点的坐标表示 平面内任意一点，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数，分别为点的横坐标、纵坐标。记作：； 规范：横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，整体用括号包裹。 【知识点三】各区域点的坐标符号规律（必背） 点的位置 坐标符号 核心特征 第一象限 横、纵坐标均为正数 第二象限 横坐标负、纵坐标正 第三象限 横、纵坐标均为负数 第四象限 横坐标正、纵坐标负 x轴上 纵坐标为0，横坐标任意 y轴上 横坐标为0，纵坐标任意 原点 横坐标、纵坐标均为0 【知识点四】点到坐标轴的距离（高频考点） 设平面内一点： （1）点到x轴的距离 = 纵坐标的绝对值：； （2）点到y轴的距离 = 横坐标的绝对值：； 易错提醒：距离为非负数，计算必须加绝对值，不可直接取用坐标正负值。 【知识点五】点的对称变换规律（必考） 已知点，对称点坐标变换口诀： （1）关于x轴对称：横轴对称，横不变、纵变号，坐标为； （2）关于y轴对称：纵轴对称，纵不变、横变号，坐标为； （3）关于原点对称：中心对称，横纵全变号，坐标为； 【知识点六】平行于坐标轴的直线特征 （1）平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，横坐标不同； （2）平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等，纵坐标不同。 【知识点七】平面内两点间距离（结合勾股定理） 设两点、： （1）水平线段（）：； （2）竖直线段（）：； （3）任意两点距离公式：。 【知识点八】平面直角坐标系图形的平移 设平面内任意一点坐标为，平移仅改变点的位置，不改变点的本质属性，横纵坐标变化有固定规则。 1. 左右平移（水平平移）：只改变横坐标，纵坐标y 保持不变 （1）向右平移a个单位：；（2）向左平移a个单位：， 口诀：左减右加，纵不变。 2. 上下平移（竖直平移）：只改变纵坐标y，横坐标x保持不变， （1）向上平移b个单位：；（2）向下平移b个单位：。 口诀：上加下减，横不变。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】判断点的位置（象限、坐标轴） 【例题1】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知，点． （1）若点在轴上，点的坐标为______； （2）若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】（1）；（2）点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （）根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； （）根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 解：（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）平面直角坐标系中，与点在同一象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．先确定已知点所在象限，再根据各象限内点的坐标特征，判断选项中各点的象限，找出符合条件的点． 解：∵平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标为负，纵坐标为正. ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限. A．点横坐标正、纵坐标负，在第四象限，不符合题意； B．点横坐标负、纵坐标负，在第三象限，不符合题意； C．点横坐标负、纵坐标正，在第二象限，符合题意； D．点横坐标正、纵坐标正，在第一象限，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征列出关于的一元一次不等式组，然后解不等式组即可． 解： 在平面直角坐标系中，点在第三象限，第三象限内点的横纵坐标均小于， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为，即a的取值范围是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限    D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．    B．　0 C．    D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（1）B；（2）D；（3）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限的坐标符号特征．在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． （1）判断点横、纵坐标的符号，进而确定其所在象限； （2）根据题意得，据此判断即可； （3）根据题意得，据此判断即可． 解：（1）∵，， ∴点在第二象限， 故选：B； （2）∵点在第四象限， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）∵点在第二象限， ∴， ∴m的值可以是（答案不唯一）． 【题型 2】求点到坐标轴的距离 【例题2】（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为3，求点的坐标． 【答案】或 【分析】根据题意，得，去绝对值，解答即可． 解：∵点，点到轴的距离为3， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； 故或． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第二象限内点的坐标符号特征求解即可． 解：设点的坐标为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·上海·单元复习）点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知在平面直角坐标系中，点在y轴左侧，且到y轴的距离为2，求a的值． 【答案】 【分析】在y轴左侧的点的横坐标为负，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此列式求解即可． 解：∵点在y轴左侧， ∴， ∵点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】求点的对称坐标 【例题3】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，． （1）画出关于轴的对称图形（其中点分别是点的对应点）； （2）若点，，并且与关于直线对称，画出和直线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图-轴对称变换以及关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，得到对应点坐标，再依次连接即可； （2）先作出，再根据对称坐标特征作出直线即可． 解：（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，和直线即为所求： 【变式1】（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·期末）已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求，的值； （2）若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 解：（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 【题型 4】平行坐标轴的点的坐标求解 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若直线过点，且与y轴平行，则点关于直线对称的点的坐标是________，点关于直线对称的点的坐标是________． （2）已知直线过点，且与y轴平行，点和点关于直线对称，求的值． 【答案】（1）， ；（2） 【分析】根据纵坐标不变，横坐标中点在直线上，利用该规律列方程求解． 解：（1）由题，直线：， 点关于直线对称的点的横坐标，， 故为， 点关于直线对称的点的横坐标，， 故为， 故答案为：， ． （2）由题，直线：， 、关于对称 纵坐标相等，， 横坐标中点在上，， 解得，， ． 【点拨】本题考查了与轴平行的直线的对称点坐标规律，熟练掌握与轴平行的直线，对称点纵坐标不变，横坐标满足中点在直线上是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）点和点，若所在的直线与轴平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与x轴平行的直线上的点的坐标特征． 直线与x轴平行时，其上所有点的纵坐标相等． 解：∵轴， ∴点A与点B的纵坐标相等， 即． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·重庆璧山·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，在第一象限，且与轴平行，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点的坐标是，与轴平行，得出点的纵坐标是，又因为，在第一象限，得出点的坐标，即可作答． 解：∵点的坐标是，与轴平行， ∴点的纵坐标是 ∵， ∴或， ∵在第一象限， ∴点的坐标为． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点是平面直角坐标系内一点． （1）若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标． （2）经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标． 【答案】（1）点A的坐标或；（2） 【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由点A到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可． （2）由过点，的直线，与x轴平行，可得，再解方程，进而可得点A的坐标； 解：（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， ∴点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标或． （2）解：∵过点，的直线，与x轴平行， ∴，解得， ∴， ∴点A的坐标为； 【题型 5】平面两点距离计算 【例题5】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题： 已知在平面内有两点．其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． （1）已知点，则_________； （2）已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则________； （3）已知点M和（1）中的点A有轴，且，求点M的坐标； （4）已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是_________． 【答案】（1）5；（2）6；（3）点的坐标为或；（4） 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接计算即可； （2）根据两点间的距离公式直接计算即可； （3）设的坐标为，根据公式得，解得或，即可求出点M的坐标； （4）根据两点间的距离公式计算线段的长，即可得出答案． 解：（1）解：由两点间的距离公式可得； （2）解：由两点间的距离公式可得； （3）解：设的坐标为， ∵点M和（1）中的点有轴，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （4）解：由两点间的距离公式可得，，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可利用平面直角坐标系中纵坐标相同的两点的位置特点计算线段长，纵坐标相同的两点连线平行于x轴，线段长度等于横坐标差的绝对值． 解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算即可 解：已知，， 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． （1）点与点之间的距离是 ． （2）已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，见分析 【分析】（1）根据两点的距离公式代入数值计算，即可作答． （2）分别算出，再得出，即可作答． 解：（1）解：依题意，； （2）解： 是等腰直角三角形．理由如下： 由题意可知，， 则， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形． 【题型 6】坐标参数取值范围（中档易错） 【例题6】（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平面直角坐标系中，有一点，试求满足下列条件m的值或取值范围： （1）点P在y轴上； （2）点P在第二象限； （3）点P到x轴的距离是2． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）因为y轴上的点横坐标为0，所以令点P的横坐标，求解m的值． （2）因为第二象限内的点横坐标小于0且纵坐标大于0，所以列出不等式组，求解m的取值范围． （3）因为点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，所以令，求解m的值． 解：（1）解：∵点P在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵点P在第二象限， ∴ ， 解得且， ∴； （3）解：∵点P到x轴的距离是2， ∴， ∴ 或 ， 解得 或 ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握各象限中点的符号是关键． 第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，点P的纵坐标已为负，故只需横坐标． 解：∵点在第四象限， ∴横坐标， ∴， ∴a的取值范围是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在平面直角坐标系的第四象限，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 【题型 7】平面直角坐标系中的平移 【例题7】（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． （1）画出平移后的三角形； （2）直接写出三角形三个顶点的坐标． 【答案】（1）图见分析；（2） 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出三角形即可； （2）根据图形，写出点的坐标即可． 解：（1）解：如图，三角形即为所求； （2）由图可知：． 【变式1】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 【答案】B 【分析】掌握“左减右加，上加下减”的平移规则是解题关键，先根据平移规则得到平移后点的坐标，再结合平移后的点与原点重合列方程求出的值，最后计算即可． 解：点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为， ∵平移后该点与原点重合，原点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 【变式3】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． （1）请画出平移后的，并写出点的坐标______________； （2）点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________________． （3）求出三角形的面积． 【答案】（1）如图，平移后的即为所求 点的坐标是；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出，的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解； （3）先求出所在的长方形的面积，然后减去四周的三角形的面积即可． 解：（1）由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到； （2）由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为； （3） 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】平面直角坐标系与三角形全等综合 【例题8】（25-26八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是． （1）在图中作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点的坐标； （3）如果与全等（点C，D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）顶点的坐标为；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． 解：（1）解：如图即为所求； （2）解：顶点的坐标为； （3）解：如图所示，点位置如下： ∴ 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知：在平面直角坐标系中如图放置，且，现另有一点D，满足以A，B，D为顶点的三角形与全等，则D点坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在图形中画出点D的可能位置，结合直角坐标系，可得点D的坐标． 解：如图所示，满足题意的点D的坐标可以为，，，不可以为． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点D在y轴右侧，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 __ ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质，分两种情况：，，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 解：如图，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标是， 过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的坐标是， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，都在格点上． （1）作关于轴的对称图形（其中，，的对称点分别为，，），并写出，，点的坐标； （2）若平面内有一格点，使得与全等，写出满足条件的点的坐标（点与点不重合）． 【答案】（1）见分析，，，；（2）点的坐标为，，． 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）找出，，关于轴对称点，，，然后依次连接即可； （）根据全等三角形的性质即可求解． 解：（1）解：如图所示，即为所求，其中，，； （2）解：如图所示，点的坐标为，，． 【题型 9】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题9】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点C的坐标； （2）设P是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过C作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，由勾股定理得到，于是得到结论； （2当时，求得点P的坐标为或；当时，点P在的垂直平分线上，求得，当时，，求得． 解：（1）解：如图，过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵为等腰三角形， ∴当时，点P的坐标为或； 当时，点P在的垂直平分线上， 设点P的坐标为，则， 解得， ∴点P的坐标为， 当时，， ∴． ∴当为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【变式1】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点，，轴有一点，使得是等腰三角形，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点．若在轴上取点，使为等腰三角形，求满足条件的点的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，坐标与图形性质等知识点，学会运用分类讨论的思想是解题的关键．根据，两点的坐标求出的长，然后根据等腰三角形的性质进行分类讨论：当时；当时，确定点的坐标，即可求解． 解：设点C的坐标为， ∵， 根据勾股定理得，， ． 分情况讨论： ①当时，，即． 解得． 当时，在同一直线上，不合题意； ∴当时，C与原点O重合，即； ②∵， ∴，不存在点C使； ③当时，， 即． 解得， ∴点． 综上所述，满足条件的点C的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】（八年级数学月考卷（河南专用，北师大版八下第1~2章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考）如图，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求的面积； （2）求原点到的距离； （3）在轴上确定点，使得为等腰三角形，直接写出满足这样条件的点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点的坐标为或或或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1），其中的长为点纵坐标的绝对值； （2）由勾股定理求出的长，再根据，即可求出的长，即原点到的距离； （3）为等腰三角形，则底边是、或，分情况解答即可． 解：（1）解：过点作轴，垂足为， ，， ，， ； （2）解：过点作于， ，， ，，， ， 在中，利用勾股定理可得：， ， 解得：， 原点到的距离； （3）解：当时，点在点左侧，且，则，则点的坐标为； 当时，若点在点右侧，则，点的坐标为； 若点在点左侧，则，点的坐标为； 若，此时点与点重合，则点的坐标为； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【题型 10】平面直角坐标系与几何折叠问题 【例题10】（25-26八年级下·山东济宁·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）求和的长． 【答案】（1）；；（2）， 【分析】（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答． 解：（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． 【变式1】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由折叠得，由勾股定理求出，再求出，进而可求出点的坐标． 解：由折叠可知，， ∵点，点， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴的坐标为． 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）长方形在平面直角坐标系中的位置如图：、满足，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，则点F的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． 根据非负数的性质得到，即，，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出点F的坐标． 解：∵， ∴， ∴， ，， 由翻折的性质可知：， 在中，由勾股定理得：． ∴点F的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查坐标与图形，折叠的性质及勾股定理，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．由折叠可知，设，则，求出，在中，利用勾股定理求解即可． 解：由折叠可知， ， ，， 设，则， 是的中点， ， 在中，， ， 解得． 答：的长为． 【题型 11】平面直角坐标系与规律问题 【例题11】（2026·广西百色·三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按照先向上、再向右、最后向右下方向依次平移，向上、向右都是每次移动1个单位长度，向右下方向每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，， ，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点，，，，，， ，得点的纵坐标3个点一循环，再结合横坐标规律求解即可． 解：∵点，，，，，， ， ∴点的纵坐标3个点一循环， ∵， ∴在类似，的位置上，纵坐标为1， 横坐标与的横坐标相同， ∵的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ， ∴， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中规律和等腰直角三角形的性质得出点的规律，即可解答； 解：根据题目给出的、、，…， ∴， ∵图中三角形为全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴的横坐标为2，纵坐标为，的横坐标为4，纵坐标为，的横坐标为6，纵坐标为，…， 结合图形排列规律可得：所有点的横坐标都等于下标；下标为奇数的点都在轴上，纵坐标为；下标为偶数的点（为正奇数）的纵坐标都等于，点（为正偶数）的纵坐标都等于， 对于：，得，是奇数，因此纵坐标为， ∴的坐标是． 【变式2】（25-26七年级下·四川广安·期末）如图，动点在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点……按这样的规律，第2026秒运动到点________． 【答案】 【分析】根据第1秒到第4秒的坐标得到规律由此求解即可． 解：根据规律可知，点的横坐标为秒数，纵坐标按照循环， ∵， ∴第2026秒点的横坐标为2026，纵坐标为0， 故第2026秒运动到点． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． （1）画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ （2）请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ （3）探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 【答案】（1）画图见分析，第4个正方形上有16个整点；（2）第20个正方形的四条边上的整点个数为80个；（3）点在第7个正方形边上；在第个正方形边上 【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和， （2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有个，据此规律进行解答即可． （3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答． 解：（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示， 解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； 第4个正方形上有个整点； （2）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； … 第n个正方形有个整点； 所以第20个正方形有个整点． （3）观察第1个正方形上的点，、，横纵坐标绝对值之和 ，． 观察第2个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 观察第3个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 结论：若点在第个正方形的边上，则． 计算点： 横坐标，纵坐标． 计算绝对值之和：． 所以点在第7个正方形的边上． 计算点： 横坐标，纵坐标（为正整数）． 计算绝对值之和：． ∴点在第7个正方形边上；在第个正方形边上． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，需掌握点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，且第二象限内点的坐标符号为，据此计算点的横纵坐标即可． 解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，纵坐标大于， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）已知点是第一象限内的一点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，横纵坐标都为正数，点的纵坐标已是正数，只需列不等式求解横坐标大于，即可得到的取值范围． 解：点是第一象限内的一点， 横坐标满足，解得． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点、的坐标确定原点，从而画出平面直角坐标系，根据坐标系写出点的位置． 解：建立平面直角坐标系如图所示： 由坐标系可知，“宝藏”点的位置为． 4．（25-26七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中，一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此求解即可． 解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的纵坐标的绝对值为4，横坐标的绝对值为5， ∴点的纵坐标为4，横坐标为， ∴ 点的坐标为． 5．（25-26七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果． 解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为， 再向下平移2个单位长度，纵坐标变为， ∴． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 7．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变得出，，然后代入计算即可． 解：∵点的坐标和点的坐标关于轴对称， ∴，， ∴． 8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 9．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． 10．（25-26七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，再由2022÷4=505……2，可得点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1，再由A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……，可得A4n（2n，0），从而得到A2020的坐标是（1010，0），从而可得出点A2022的坐标． 解：根据题意得：点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），…… ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵2022÷4=505……2， ∴点A2022在第505个循环的第2个点的位置，即纵坐标与A1的相同，为1， ∵A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），……， ∴A4n（2n，0）， ∴A2020的坐标是（1010，0）， ∴A2022的坐标是（1010+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）． 故选：D． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·云南红河·期末）点是平面直角坐标系中第________象限的点． 【答案】四 【分析】平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限；根据各象限内点的坐标符号特点，即可判断点所在象限． 解：∵点的横坐标为正数，纵坐标为负数，符合第四象限点的坐标特征， 因此点是第四象限的点． 12．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标，连接．若轴，则点C的坐标___________． 【答案】 【分析】根据轴，可以得出点，点的纵坐标相等，从而得到关于的方程，解出即可获得答案． 解：轴， 点A，点B的纵坐标相等， ， ， ， 的坐标为． 13．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在点的上方．若轴，且，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，先确定点的横坐标，再根据的长度和点在点上方的位置关系，求解点的纵坐标即可． 解：轴， 点与点的横坐标相等． 点的坐标为， 点的横坐标为． 设点的纵坐标为， 点在点的上方，且， ，解得， 点的坐标为． 14．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如果将点向左平移4个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是_________． 【答案】 解：∵将点向左平移4个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 15．（25-26七年级下·天津武清·期末）将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【答案】先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） 【分析】根据已知点平移前后的坐标特征，即可确定三角形的平移方式． 解：点平移后的对应点为， 横坐标加，符合向右平移个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减，符合向下平移个单位长度的坐标变化规律， 三角形的平移方式为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） ． 16．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）已知线段轴，且，若点A的坐标是，则点B的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题涉及了平面直角坐标系中垂直于轴的线段的坐标特征（横坐标相等），平行于 轴的两点间距离计算． 解：轴，， ，两点的横坐标相等，均为， 又， 当点在点上方时，点的纵坐标为，即， 当点在点下方时，点的纵坐标为，即， 即B点的坐标为或． 18．（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）在平面直角坐标系中，点，，．若轴，则当线段的长度取得最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据轴确定点的横坐标，再利用垂线段最短确定点的纵坐标，即可得出答案． 解：轴，，． ，点在直线上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，线段的长度取得最小值， ∵轴， 轴， ， 点的坐标为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形各顶点在格点上． （1）直接写出三角形的三个顶点的坐标：_______；_______；_______； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）；；；（2）4 【分析】（1）根据点所在的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用网格求面积即可. 解：（1）略 （2）解：三角形的面积. 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，且 （1）求的值 （2）若轴上存在一点，使，求点坐标 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出、的值即可； （2）求出的长，根据三角形的面积求出的面积，再根据求出，即可得出的坐标． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， 解得：； （2）解：，， ，， ， ， 的面积， ∵在轴上存在一点，使， ， 解得：， 即点的坐标是或． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的坐标为或；（2）存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 解：（1）解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； （2）解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）作关于轴对称的； （2）若与全等（点不与点重合），请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）图见分析；（2）或或 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标系中的全等三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． 解：（1）解：如图即为所求； （2）解：如图，点的位置如图： 由图可知：或或． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，将长方形纸片放在直角坐标系中，为原点，在的负半轴上，，． （1）写出的坐标； （2）在上取点，将沿折叠，使落在边上的点，求点坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由矩形的性质可得，，即可求B点坐标； （2）由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，从而求得，再用勾股定理求出，进而求得E点坐标． 解：（1）解：四边形是长方形， ，， B点坐标； （2）解：沿折叠，使落在边上的点， ，， ，， 中，， ，即， 解得， E点坐标为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． 实验与探究： （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，在图中分别标明、关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：___________、___________； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为___________（不必证明）； 运用与拓展： （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小，并写出最短距离为___________． 【答案】（1）图见分析，；（2）；（3）7 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称变换，点关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据点关于直线对称的定义，作出、两点关于直线l的对称点，写出坐标即可． （2）通过观察即可得出对称结论． （3）作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，然后结合坐标写出答案即可． 解：（1）如图所示： ； 故答案为：； （2）观察可发现，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）作点关于的对称点，连接交于点， 根据对称，可知， ，此时点到、两点的距离之和最小，最小值为， ， ， 最短距离为：7． 故答案为：7． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $