2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第11讲）——用一次函数解决问题（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第11讲）——用一次函数解决问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】待定系数法标准四步法（必考） 1 【知识点二】一次函数应用题通用解题步骤 2 【知识点三】四大经典应用模型（必考） 2 【知识点四】自变量取值范围易错点 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】待定系数法求一次函数解析式 3 【题型 2】行程问题（匀速运动建模） 3 【题型 3】阶梯收费问题 5 【题型 4】销售利润问题 6 【题型 5】几何动态应用问题 7 【题型 6】函数方案对比问题 8 三.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.教材知识梳理 【知识点一】待定系数法标准四步法（必考） 第一步：设 根据题意设出函数解析式：（1）已知是一次函数：设 ；（2）已知是正比例函数：设 。 第二步：代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组） 第三步：求 解方程（组），求出 的值 第四步：写 将求出的系数回代，写出最终的函数解析式 【知识点二】一次函数应用题通用解题步骤 一次函数解决实际问题的核心是实际问题→数学模型→求解验证→回归实际，四步解题法： （1）审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量，判断为一次函数关系； （2）列式求解：设解析式，利用题目已知两组对应值，代入列方程组求出； （3）确定范围：结合实际情境，明确自变量的取值范围（正数、整数、区间限制等）； （4）解题作答：利用函数解析式、增减性、图象求解问题，检验结果符合实际意义后作答。 【知识点三】四大经典应用模型（必考） 模型1：行程类问题 （1）常见场景：匀速行驶路程、剩余路程、距离与时间的关系。 （2）核心规律：匀速运动中，路程随时间呈一次函数变化；对应行驶速度，对应初始路程/初始距离。 （3）常用公式：（为初始距离） 模型2：阶梯收费问题 （1）常见场景：水电费、打车费、会员充值、套餐收费等分段计费问题。 （2）核心特征：基础费用+超额单价费用，总费用与用量呈一次函数关系。 （3）通用列式：总费用基础费用单价超出用量 模型3：销售利润问题 （1）常见场景：商品销售、单价调整、销量与利润变化问题。 （2）核心公式：利润（售价-进价）销售量，利润与销量/售价呈一次函数关系。 （3）结合增减性：，销量越大利润越高；，销量越大利润越低。 模型4：几何动态问题 （1）常见场景：动点移动、图形边长、周长、面积随移动时间变化。 （2）核心思路：用时间表示动态边长，结合几何公式列出周长、面积的一次函数解析式。 【知识点四】自变量取值范围易错点 一次函数实际应用中，图象不再是无限延伸的直线，而是线段或射线： （1）人数、物品数量、次数：自变量为非负整数； （2）长度、时间、用量：自变量为非负数； （3）题目有明确区间限制：严格按题目要求限定取值范围。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】待定系数法求一次函数解析式 【例题1】（重庆市忠县2026年春季八年级期末学业水平监测数学试题）已知一次函数的图象经过，． （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与轴相交于点，已知，两点的坐标，点是坐标原点． （1）求直线的函数解析式； （2）求直线的函数解析式； （3）求的面积． 【题型 2】行程问题（匀速运动建模） 【例题2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． （1）求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ （2）小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； （3）小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）假定甲，乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲，乙两人速度相同 D．甲先到达终点 【变式2】（2025·山东济南·一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． （1）求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； （2）在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【题型 3】阶梯收费问题 【例题3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． （1）________，________； （2）求与之间的函数表达式； （3）若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·随堂练习）小陆同学和家人一同从家出发观看跳水比赛，由于距离较远，决定打车前往．已知出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于），超过每增加（不足按计算）加收元，则出租车费（单位：元）与行程（单位：，且为整数）之间的关系式为_______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为______元/吨； （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【题型 4】销售利润问题 【例题4】（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． （1）求与的函数解析式． （2）若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【变式3】（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【题型 5】几何动态应用问题 【例题5】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知点是第一象限的动点，且．点A的坐标，设三角形的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当P的横坐标为5时，则的面积为多少？ 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为________． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上由运动，设运动的时间为，的面积为，与的函数图象如图所示，请回答下列问题： （1）点在上运动时间为 ，在上运动的速度为 ， （2）求出点在上运动时与的函数解析式； （3）当为何值时，的面积为． 【题型 6】函数方案对比问题 【例题6】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． （1）分别直接写出，关于x的函数解析式； （2）根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 【变式1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【变式2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表： 单价（万元/台） 每台处理污水量（吨/月） 型 12 240 型 10 200 （1）设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式； （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？ 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·海南·期末）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 4．（25-26九年级下·河南周口·期中）出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（     ） A．42元 B．50元 C．52元 D．58元 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 9．（25-26八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，一束光线沿直线经点反射后与y轴交于点C，再反射后与直线重合，则直线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·四川资阳·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①20分钟后，甲仓库内快件数量为190件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为640件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发________时两人相遇，________先到达B地． 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）某山区地表以下岩层的温度y（）与它所处的深度x（）的对应数据如表： 岩层的深度x（） 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度y（） … 观察表中数据可知，若岩层的深度为时，则岩层的温度为______． 14．（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 15．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费（单位：元）与物件质量（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 16．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______． 17．（2026·江苏泰州·二模）某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x的函数关系图．结合图象信息：商家至少需销售________件，才不会亏本（利润为负表示亏本）． 18．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）由图像知，__________，__________，__________． （2）若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． （3）若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 21．（本小题满分10分）（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？ 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买，两种跳绳．经市场调查，种跳绳每根10元，种跳绳每根15元．若学校准备购买，两种跳绳共120根，且购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍． （1）设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，请求出与之间的函数关系式． （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最低，并求出最低费用． 23．（本小题满分10分）（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． （1）分别求出A，两地各收到多少吨物资； （2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 24．（本小题满分12分）（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． （1）直接写出的函数表达式； （2）如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——用一次函数解决问题 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】待定系数法标准四步法（必考） 1 【知识点二】一次函数应用题通用解题步骤 2 【知识点三】四大经典应用模型（必考） 2 【知识点四】自变量取值范围易错点 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】待定系数法求一次函数解析式 3 【题型 2】行程问题（匀速运动建模） 6 【题型 3】阶梯收费问题 10 【题型 4】销售利润问题 12 【题型 5】几何动态应用问题 15 【题型 6】函数方案对比问题 20 三.同步自测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.教材知识梳理 【知识点一】待定系数法标准四步法（必考） 第一步：设 根据题意设出函数解析式：（1）已知是一次函数：设 ；（2）已知是正比例函数：设 。 第二步：代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组） 第三步：求 解方程（组），求出 的值 第四步：写 将求出的系数回代，写出最终的函数解析式 【知识点二】一次函数应用题通用解题步骤 一次函数解决实际问题的核心是实际问题→数学模型→求解验证→回归实际，四步解题法： （1）审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量，判断为一次函数关系； （2）列式求解：设解析式，利用题目已知两组对应值，代入列方程组求出； （3）确定范围：结合实际情境，明确自变量的取值范围（正数、整数、区间限制等）； （4）解题作答：利用函数解析式、增减性、图象求解问题，检验结果符合实际意义后作答。 【知识点三】四大经典应用模型（必考） 模型1：行程类问题 （1）常见场景：匀速行驶路程、剩余路程、距离与时间的关系。 （2）核心规律：匀速运动中，路程随时间呈一次函数变化；对应行驶速度，对应初始路程/初始距离。 （3）常用公式：（为初始距离） 模型2：阶梯收费问题 （1）常见场景：水电费、打车费、会员充值、套餐收费等分段计费问题。 （2）核心特征：基础费用+超额单价费用，总费用与用量呈一次函数关系。 （3）通用列式：总费用基础费用单价超出用量 模型3：销售利润问题 （1）常见场景：商品销售、单价调整、销量与利润变化问题。 （2）核心公式：利润（售价-进价）销售量，利润与销量/售价呈一次函数关系。 （3）结合增减性：，销量越大利润越高；，销量越大利润越低。 模型4：几何动态问题 （1）常见场景：动点移动、图形边长、周长、面积随移动时间变化。 （2）核心思路：用时间表示动态边长，结合几何公式列出周长、面积的一次函数解析式。 【知识点四】自变量取值范围易错点 一次函数实际应用中，图象不再是无限延伸的直线，而是线段或射线： （1）人数、物品数量、次数：自变量为非负整数； （2）长度、时间、用量：自变量为非负数； （3）题目有明确区间限制：严格按题目要求限定取值范围。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】待定系数法求一次函数解析式 【例题1】（重庆市忠县2026年春季八年级期末学业水平监测数学试题）已知一次函数的图象经过，． （1）求该一次函数的解析式； （2）若该函数图象与x，y轴分别交于A，B两点，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数与x轴y轴的交点坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 解：（1）解：设一次函数解析式为， 已知函数图象过，， 代入得， 解得， 因此该一次函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ∵是直角三角形，，， ∴由勾股定理得． 【变式1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知两点与，点在轴上且使最短，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称性质和两点之间线段最短求解，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为使最短的点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 解：∵两点之间线段最短， ∴作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，如图， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在轴上，横坐标为， 将代入解析式得， ∴点坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线 的一次函数解析式，再将点坐标代入解析式求出的值即可． 解：设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与轴相交于点，已知，两点的坐标，点是坐标原点． （1）求直线的函数解析式； （2）求直线的函数解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）直线的函数解析式为；（2）直线的函数解析式为；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求得，再利用三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：设直线的函数解析式为， ∵， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：令，则， 解得， ∴， ∴的面积． 【题型 2】行程问题（匀速运动建模） 【例题2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． （1）求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ （2）小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； （3）小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 【答案】（1）函数表达式为，一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为；（2）小明将赢得这场比赛，见分析；（3）或 【分析】本题考查了根据函数图像获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用．熟悉用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）由图可知，领先米，得出反映小亮所跑路程与时间之间关系的图像是，设的函数表达式为，把，代入，求出和的值，即可得出函数表达式． （2）用待定系数法求出表达式是，再求出当时，，的自变量的值，再比较即可． （3）进行分类讨论：当小明在小亮前时，和当小明在小亮后时，即可解答． 解：（1）解：设的函数表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数表达式为， ∴一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为； （2）解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴小明将赢得这场比赛． （3）解：当小明在小亮前时，此时， 解得：， 当小明在小亮后时，此时， 解得：， 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）假定甲，乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲，乙两人速度相同 D．甲先到达终点 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，关键是会看函数图象，要求能从图象中得到正确信息．利用图象可得出，甲，乙的速度以及所行路程等，利用所给数据结合图形逐个分析，即可解题． 解：结合图象可知：甲，乙两人同时出发，甲，乙跑的路程相同，甲的速度比乙的速度快，甲比乙先到达终点， A、B、C、说法错误，不符合题意；D说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·山东济南·一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 【变式3】（2025·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． （1）求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； （2）在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【答案】（1）；（2）小时 【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可． （2）令，代入一次函数解析式求解即可． 解：（1）解：设（段）的函数关系式为， 由图可知，，， 将，代入， 得， 解得， ． （2）解：由图可知，服务区在（段）， 令，则， 解得， 赵叔叔出发小时到达服务区． 【点拨】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点． 【题型 3】阶梯收费问题 【例题3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． （1）________，________； （2）求与之间的函数表达式； （3）若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】（1）11，3；（2）；（3）乘客需付车费50元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 解：（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·随堂练习）小陆同学和家人一同从家出发观看跳水比赛，由于距离较远，决定打车前往．已知出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于），超过每增加（不足按计算）加收元，则出租车费（单位：元）与行程（单位：，且为整数）之间的关系式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，当行程小于或等于时，费用为元，超过部分的费用为元，把两部分费用加起来就是出租车的费用，从而可得与的关系式． 解：当行程小于或等于时，费用为元，超过部分的费用为元， 出租车费与行程之间的关系式为：， 整理得：． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为______元/吨； （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】（1）2.5；（2）；（3）该户居民8月共用水25吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再代入一次函数计算即可． 解：（1）解：由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入， 得， 解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 【题型 4】销售利润问题 【例题4】（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． （1）求与的函数解析式． （2）若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）；（2）万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 解：（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 【变式3】（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元；（2）购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【题型 5】几何动态应用问题 【例题5】（24-25八年级下·甘肃定西·期末）已知点是第一象限的动点，且．点A的坐标，设三角形的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当P的横坐标为5时，则的面积为多少？ 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是根据三角形面积公式得出S与x的关系式，注意自变量的取值范围． （1）首先得到，，然后根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据及点在第一象限，可求出x的取值范围； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出的面积． 解：（1）解：A点的坐标分别是， ． 点在第一象限， 点到x轴的距离为y， ∵， ∴， 的面积， ， ， 解得：， 又点P在第一象限， ， x的取值范围为， ∴； （2）解：将代入， 可得：， ∴当点P的横坐标为5时，的面积是． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点． 分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答． 解：如图： ①点在边上时，即，； ②点在边上时，点到的距离为， 即， ③点在边上时，点到的距离不变为， ， ④点在边上时，点到的距离为， ， 纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的相关知识，具体包括：一次函数上点的坐标特征，垂直于坐标轴的两点距离计算．求解出点M与点N的坐标是解决本题的关键． 首先根据点在直线上，点N在直线上且轴，用含m的式子表示出M、N两点的坐标，然后根据，求解m的取值范围． 解：因为点M是直线上的动点，且点M的横坐标为m， 将代入，可得， 所以点M的坐标为． 因为轴，且点N在直线上， 所以点N的横坐标也为m， 将代入，可得， 所以点N的坐标为． 因为，，两点横坐标相同， 所以． 当时，解得， 即点M的横坐标位于与2中间时，， 故m的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上由运动，设运动的时间为，的面积为，与的函数图象如图所示，请回答下列问题： （1）点在上运动时间为 ，在上运动的速度为 ， （2）求出点在上运动时与的函数解析式； （3）当为何值时，的面积为． 【答案】（1），；（2）；（3）或时，的面积为 【分析】本题主要考查正方形的性质，一次函数的运用，理解动点的运用，掌握一次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据函数图示的信息计算即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在上时；当点在上时；由三角形面积的方法计算方法即可求解． 解：（1）解：四边形是正方形， ∴， 由函数图象可得，时，， ∴点在上运动时间为， 如图所示，当点在上时，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点在上运动时，是定值，即， ∴时，点在上运用， ∴运动速度为， 故答案为：，； （2）解：设与的函数解析式为，图形过点， ∴， 解得，， ∴与的函数解析式为； （3）解：根据图示，当点在上时，， 解得，， ∴； 当点在上时，， 解得，； ∴或时，的面积为． 【题型 6】函数方案对比问题 【例题6】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． （1）分别直接写出，关于x的函数解析式； （2）根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 【答案】（1），；（2）当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可； （2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可． 解：（1）解：根据题意可得：， ， 即． （2）解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示， 当时，， 解得， 则， ∴与的交点坐标为， 即当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表： 单价（万元/台） 每台处理污水量（吨/月） 型 12 240 型 10 200 （1）设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式； （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？ 【答案】（1）（x为不大于10的自然数），（x为不大于10的自然数）；（2）有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台；当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）根据题意列出不等式组求出，然后写出所有购买方案，根据一次函数的性质求出最省钱方案． 解：（1）解：根据题意得，（x为不大于10的自然数）， （x为不大于10的自然数）； （2）解：根据题意得， 解得， ∴有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台； ∵中 ∴W随x的增大而增大 ∴时，取得最小值，为（万元）， ∴当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点拨】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，掌握根据实际行程的不同阶段，分析离家距离与时间的变化关系，从而判断对应的函数图象是解题的关键； 通过分阶段分析爷爷的运动状态，确定每个阶段与的变化情况即可解答． 解：爷爷的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家里出发后到离家的街心花园，此阶段离家距离随时间的增大而增大，持续； 第二阶段：与朋友聊天，此阶段离家距离保持不变，时间从到； 第三阶段：用返回家，此阶段离家距离随时间的增大而减小，从到； 观察选项，只有选项A符合这三个阶段的变化情况． 故选：A． 3．（24-25九年级上·海南·期末）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 当时，设，将，代入求得，再把代入，求出，即可得出答案． 解：依题意，当时，设 将，代入，得： ， 解得， ∴； 依题意，把代入， 得 ∴（米） ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故选：C 4．（25-26九年级下·河南周口·期中）出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总费用由起步价和超过3公里部分的费用两部分组成，先计算超过3公里的路程，再算出对应费用，最后整理得到y与x的函数关系式． 解：∵行驶路程为公里， ∴超过3公里的路程为公里， 超过3公里部分的费用为元， ∴， 整理得． 5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弹簧总长度等于原长加上挂物体后伸长的长度，根据题干给出的数量关系推导即可． 解：弹簧不挂物体时原长为，每挂的物体弹簧伸长， 当所挂物体质量为时，弹簧伸长的长度为， 又弹簧总长度 原长伸长长度． ． 6．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 7．（25-26七年级下·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（     ） A．42元 B．50元 C．52元 D．58元 【答案】D 【分析】根据图象信息求出函数关系式，再代入求值即可． 解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 答：小明购买这种香蕉需付金额为58元． 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示乌龟从起点出发所行的时间，表示乌龟所行的路程，表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】结合函数图象横、纵坐标的实际意义，逐一分析4个说法：横坐标是乌龟出发时间，纵坐标是路程；乌龟、兔子，再分别判断路程、出发时间、休息时长、相遇位置． 解：图象纵坐标最大值为1000米，代表赛跑总路程1000米，①正确； 代表乌龟从起点出发的时间，乌龟就出发；兔子在分时才开始出发，二者不同时出发，②错误； 乌龟图象时，路程保持600米不变，代表休息．休息时长：分钟，③正确； 乌龟全程速度：米/分， 休息后乌龟解析式： 起点，， 整理得， 兔子40分出发，50分跑完1000米，用时10分钟， 速度米/分； 兔子解析式：， 联立方程求交点： ， ，， ， ， 代入兔子解析式：， 即兔子在750米处追上乌龟，④正确， 综上，①③④正确． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，一束光线沿直线经点反射后与y轴交于点C，再反射后与直线重合，则直线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点坐标求出直线的解析式，根据光的反射原理，即入射光线与反射光线关于反射面所在直线对称，依次求出点与点的坐标，从而确定直线的表达式． 解：延长交y轴于点E，延长交x轴于点F，如图， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点， ∵光线在x轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于x轴对称， ∴点， ∵光线在y轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于y轴对称， ∴点， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 10．（25-26八年级下·四川资阳·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，下列说法：①20分钟后，甲仓库内快件数量为190件；②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；③时，甲仓库内快件数为640件；④时，两仓库快递件数相同．其中正确的个数为（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先分别求出甲、乙仓库快件数量关于时间（分）的一次函数解析式，依次验证4个说法的正误，统计正确个数． 解：设对应，为经过的分钟数，总时长60分钟， 甲过、， 设代入： ， 解得， 即， 乙过、， 设 代入：， 解得，， 即， 将代入： ，①错误； 乙函数斜率，代表每分钟减少4件，即每分钟派送4件，②正确； 对应，代入： ，③错误； ，解方程： ， 解得，④错误， 综上，正确个数为1个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发________时两人相遇，________先到达B地． 【答案】 20 爸爸 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象解答即可． 解：由图象可得，在小冬出发时两人相遇，爸爸先到达B地． 故答案为：20；爸爸． 12．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）某山区地表以下岩层的温度y（）与它所处的深度x（）的对应数据如表： 岩层的深度x（） 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度y（） … 观察表中数据可知，若岩层的深度为时，则岩层的温度为______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，先描点，再连线分析与的关系符合什么函数，最后用待定系数法求出参数的值，计算当时，对应的值即可． 解：如图，描点连线后发现与的关系符合一次函数， 设， 代入，得，解得， ， 当时，， 答：当岩层的深度为时，岩层的温度为． 14．（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 15．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费（单位：元）与物件质量（单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 【答案】 【分析】根据题意，总快递费由首重费用和续重费用两部分组成，先求出超过千克部分的质量，再根据收费规则列出函数关系式，化简后即可得到结果． 解：当物件质量千克时，快递费分为两部分： 首重（千克内）固定收费元； 超过千克的续重部分质量为千克，续重费用为元， 总快递费：， ∴函数表达式为． 16．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）2025年全国两会上“全民体重管理”首次被写入政府工作报告．一种计算成年人标准体重（单位：）的方法是：以厘米为单位量出身高值，再减常数105，所得差是的值．若当，则______． 【答案】 【分析】先根据题意得出标准体重与身高的关系式，再代入计算即可得到结果． 解：根据题意，可得， 将代入得，． 17．（2026·江苏泰州·二模）某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x的函数关系图．结合图象信息：商家至少需销售________件，才不会亏本（利润为负表示亏本）． 【答案】56 【分析】依据题意，设利润与销售件数的关系式为，又图象过，结合保本成本是（元），则图象过，求出函数解析式，进而计算出当时，的值，即可得解． 解：设利润与销售件数的关系式为， 成本为：（元）， ∴图象过， 将，，代入得： ，解得． ∴利润与销售件数的关系式为， 当时，，解得． ∴商家至少需销售56件，才不会亏本． 18．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 【答案】 【分析】已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】（1）1；（2）；（3）3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 解：（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： （1）由图像知，__________，__________，__________． （2）若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． （3）若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 解：（1）解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． （2）解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． （3）解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 21．（本小题满分10分）（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩余电量（单位：）是奔跑时间（单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）本次训练中，当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了多少分钟？ 【答案】（1）；（2）当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，即可得出结果． 解：（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 答：当该台机器人剩余电量为时，它此时奔跑了32分钟． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买，两种跳绳．经市场调查，种跳绳每根10元，种跳绳每根15元．若学校准备购买，两种跳绳共120根，且购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍． （1）设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，请求出与之间的函数关系式． （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）（，为整数）；（2）当购买40根种跳绳，80根种跳绳时费用最低，最低费用为1600元 【分析】（1）设购买种跳绳为x根，则购买种跳绳为根，根据总金额等于数量乘以单价即可列出总金额的函数关系式； （2）利用一次函数的性质即可求得最省的购买方案． 解：（1）解：设购买种跳绳为x根，则购买种跳绳为根． ∴， ∵购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为（，为整数）； （2）解：∵，，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值为 此时 ∴当购买40根种跳绳，80根种跳绳时费用最低，最低费用为1600元． 23．（本小题满分10分）（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． （1）分别求出A，两地各收到多少吨物资； （2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】（1）A地收到250吨物资，B地收到150吨物资；（2）从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【分析】（1）设A地收到吨物资，B地收到吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨，易得、再利用一次函数的性质求最值即可． 解：（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 24．（本小题满分12分）（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． （1）直接写出的函数表达式； （2）如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 【答案】（1）的函数表达式为：，的函数表达式为：；（2）乙能比甲先到达景点4 【分析】（1）利用待定系数法求得的函数表达式即可； （2）分别求出甲，乙两人到达景点4所用的时间，比较大小即可． 解：（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $