2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第7讲）——勾股定理的应用（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第7讲）——勾股定理的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】勾股定理应用核心思想 1 【知识点二】五大类经典应用模型 2 【知识点三】常用解题技巧 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】池塘水深、折断树木、高楼高度计算 2 【题型 2】测量梯子滑动距离 4 【题型 3】求航海中方位角中距离 8 三.经典题型精析（综合提升） 11 【题型 4】判断是否超速或受台风影响 11 【题型 5】求最短路径（立体展开） 15 【题型 6】求折叠问题中线段的长 18 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读概念、理解定理、学例题、练变式，就能完全掌握勾股定理的应用核心重难点，循序渐进、学而所得。 学习方法：先读概念定理公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】勾股定理应用核心思想 勾股定理的应用本质是建模思想：将生活、几何场景中的未知边长、距离问题，转化为可求解的直角三角形问题。 通用解题步骤： （1）审题画图，剥离无关条件，构造直角三角形； （2）标注已知边长、角度，设未知边长为； （3）根据勾股定理列方程求解； （4）检验结果合理性，舍去负数解。 【知识点二】五大类经典应用模型 模型1：测量类模型（水深、树高、楼高） 场景：物体垂直地面（竖直直角边）、地面水平距离（水平直角边）、斜线长度（斜边），三者构成直角三角形，适用于池塘水深、折断树木、高楼高度计算。 模型2：梯子滑动模型（动态变化） 核心不变量：梯子长度（斜边）始终不变。梯子底端滑动、顶端下滑，前后为两个不同直角三角形，利用斜边相等列等式求解。 模型3：最短路径模型（立体展开） 核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体）表面最短路径，需将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，斜边即为最短路径。 模型4：折叠几何模型 核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。利用相等线段转化边长，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解，是考试高频考点。 模型5：航海方位模型 利用方位角（正东、正西、正南、正北）构造直角，两段航行路线为直角边，直线距离为斜边，求解两点间直线距离。 【知识点三】常用解题技巧 1. 方程思想：未知边长不直接求解，设未知数，依托勾股定理列方程，适配复杂折叠、动态问题。 2. 转化思想：立体转平面、不规则图形转直角三角形、折叠边长等量转化。 3. 分类讨论：立体图形展开方式不唯一时，需分情况计算最短路径，取最小值。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】池塘水深、折断树木、高楼高度计算 【例题1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 【题型 2】测量梯子滑动距离 【例题2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为31.7米；（2）他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 解：（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 【变式3】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米；（2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 解：（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【题型 3】求航海中方位角中距离 【例题3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】（1）500海里；（2）360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 【变式2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【答案】 【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解． 解：由题意得，，，，， ∴， ∴， 即此时两艘轮船相距． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． （1）说明“海天”号沿哪个方向航行？ （2）求出此时“海天”号到海岸线的距离． 【答案】（1）“海天”号沿北偏西方向航行；（2）此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 【分析】（1）根据题意可得海里，，海里，海里，由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，可得，即可得“海天”号的航行方向； （2）过点作海岸线的垂线，垂足记为，则，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得此时“海天”号到海岸线的距离． 解：（1）解：根据题意可得，海里，， （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行． （2）解：过点作海岸线的垂线，垂足记为，则， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】判断是否超速或受台风影响 【例题4】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】（1）外来车辆的平均速度为；（2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 解：（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【变式3】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港会受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港会受台风影响． 理由：如图，过点作于点． ∵， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴． ∴海港会受台风影响． （2）台风影响海港持续时间为0.5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出的长，即可得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 解：（1）略 （2）解：在线段上取点，，使， 在中，， ∵，， ∴． （小时）． ∴台风影响海港持续时间为0.5小时． 【题型 5】求最短路径（立体展开） 【例题5】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 【答案】 【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，对比后得出结论． 解：①当蚂蚁从上表面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴； ②当蚂蚁从右侧面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为． 【变式3】（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 【题型 6】求折叠问题中线段的长 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，．将长方形沿直线折叠，使点D落在上的点E处．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由折叠的性质可知：，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 解：由折叠的性质可知：， 在长方形中，，，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 解：∵，米，米， ∴（米）． 2．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，一个饮料罐下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解． 解：如图，作于点，则， 依题意得，， ∵点A在上底中心处， ∴点C为下底中心处， ∵下底面直径是， ∴， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 5．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 9．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 10．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【答案】15 解：由题意可得：（海里），（海里），， （海里）． 14．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 17．（2026·新疆和田·模拟预测）如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 解：如图，将圆柱侧面展开如图所示，过点B作于点C，则， ∴， 即它要爬行的最短路程是． 18．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可知：，由勾股定理可得，则，然后由图象可得，即可得到答案． 解：∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点， ∴， 由图象可知，， ∴由勾股定理可得：， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为；（2）元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 解：（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 【答案】（1）0.7米；（2）0.8米 【分析】（1）在中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可． 解：（1）解：在中，，，， ∴， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米； （2）解：根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长为0.8米． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 【答案】（1）解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； （2）、间的距离为18米． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出点，之间的距离． 解：（1）略 （2）解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据轴对称的性质画出； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）根据网格的特点和勾股定理求得，设点到的距离为，根据等面积法求得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：的面积为 （3）解：∵ 设点到的距离为， 则，即 解得：，即点到的距离为 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南漯河·期末）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； （2）新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）是，理由如下： ，， ， 为直角三角形，即， ， ∴是D到公路的最近路． （2）新路比原路短1千米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理及点到直线垂线段最短进行求解即可； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：设千米，则千米． 在中，， ， 解得， ， ， （千米）； 答：新路比原路短1千米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第7讲）——勾股定理的应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】勾股定理应用核心思想 1 【知识点二】五大类经典应用模型 2 【知识点三】常用解题技巧 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】池塘水深、折断树木、高楼高度计算 3 【题型 2】测量梯子滑动距离 4 【题型 3】求航海中方位角中距离 5 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 4】判断是否超速或受台风影响 7 【题型 5】求最短路径（立体展开） 8 【题型 6】求折叠问题中线段的长 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读概念、理解定理、学例题、练变式，就能完全掌握勾股定理的应用核心重难点，循序渐进、学而所得。 学习方法：先读概念定理公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】勾股定理应用核心思想 勾股定理的应用本质是建模思想：将生活、几何场景中的未知边长、距离问题，转化为可求解的直角三角形问题。 通用解题步骤： （1）审题画图，剥离无关条件，构造直角三角形； （2）标注已知边长、角度，设未知边长为； （3）根据勾股定理列方程求解； （4）检验结果合理性，舍去负数解。 【知识点二】五大类经典应用模型 模型1：测量类模型（水深、树高、楼高） 场景：物体垂直地面（竖直直角边）、地面水平距离（水平直角边）、斜线长度（斜边），三者构成直角三角形，适用于池塘水深、折断树木、高楼高度计算。 模型2：梯子滑动模型（动态变化） 核心不变量：梯子长度（斜边）始终不变。梯子底端滑动、顶端下滑，前后为两个不同直角三角形，利用斜边相等列等式求解。 模型3：最短路径模型（立体展开） 核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体）表面最短路径，需将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，斜边即为最短路径。 模型4：折叠几何模型 核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。利用相等线段转化边长，设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解，是考试高频考点。 模型5：航海方位模型 利用方位角（正东、正西、正南、正北）构造直角，两段航行路线为直角边，直线距离为斜边，求解两点间直线距离。 【知识点三】常用解题技巧 1. 方程思想：未知边长不直接求解，设未知数，依托勾股定理列方程，适配复杂折叠、动态问题。 2. 转化思想：立体转平面、不规则图形转直角三角形、折叠边长等量转化。 3. 分类讨论：立体图形展开方式不唯一时，需分情况计算最短路径，取最小值。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】池塘水深、折断树木、高楼高度计算 【例题1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【题型 2】测量梯子滑动距离 【例题2】（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【变式1】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【变式3】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【题型 3】求航海中方位角中距离 【例题3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【变式1】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【变式2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． （1）说明“海天”号沿哪个方向航行？ （2）求出此时“海天”号到海岸线的距离． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 4】判断是否超速或受台风影响 【例题4】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【变式3】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港会受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【题型 5】求最短路径（立体展开） 【例题5】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 【变式3】（25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【题型 6】求折叠问题中线段的长 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形中，，．将长方形沿直线折叠，使点D落在上的点E处．求的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，一个饮料罐下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 5．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 14．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 16．（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 17．（2026·新疆和田·模拟预测）如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 18．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南漯河·期末）在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； （2）新路比原路短多少千米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $