2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第10讲）——一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第10讲）——一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 1 【知识点一】变量与函数基础 2 【题型 1】函数的认识 2 【知识点二】一次函数与正比例函数定义 4 【题型 2】一次函数与正比例函数的识别 4 【题型 3】判断点是否在一次函数图象上 6 【知识点三】一次函数的图象特征 8 【题型 4】列表、描点、连线画一次函数图象 8 【题型 5】一次函数图象与坐标轴交点 11 【知识点四】k、b的几何意义与函数性质（必考） 14 【题型 6】判断一次函数的增减性及求参数值（基础应用） 14 【题型 7】比较一次函数的大小（基础应用） 17 【知识点五】一次函数图象象限分布规律 19 【题型 8】判断一次函数图象位置（基础应用） 19 二.经典题型精析（综合提升） 21 【知识点六】一次函数图象的平移 21 【题型 9】一次函数图象的平移 21 【知识点七】点与函数图象的关系 24 【题型 10】一次函数图象与性质综合 24 三.同步自测 28 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 28 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 33 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】变量与函数基础 1. 变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 2. 函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么是的函数。 3. 自变量：主动变化的量；函数值：随自变量变化的量。 【题型 1】函数的认识 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【答案】函数关系式为，自变量的取值范围是． 【分析】先根据三角形内角和定理和等腰三角形底角相等的性质推导顶角y和底角x的函数关系式，再根据三角形内角度数为正，推导出自变量的取值范围． 解： ∵等腰三角形两个底角相等，度数都为，顶角度数为，三角形内角和为 ∴ 整理得 ∵三角形的内角度数大于0 ∴ 解不等式组得 ， ∴自变量的取值范围是． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）下列各图象中，不能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应； A、B、D选项中，作垂直于轴的直线与图象的交点个数最多1个，是函数关系，故选项不符合题意； C选项中，作垂直于轴的直线，可能与图象有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 【变式3】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． （1）求张白纸粘合后的总长度； （2）设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 【答案】（1）；（2）；当时， 【分析】（1）4张纸不重叠总长度：；4张纸粘合，重叠段数：段，总共减少长度：；总长度=全部单张总长重叠减少的长度； （2）张纸不重叠总长：；重叠段数，总重叠减少长度：；总长度单张总长重叠减少长度，整理得到一次函数，再代入求值． 解：（1）解：总长度， 所以4张白纸粘合后的总长度为． （2）解：， ， ， 把代入解析式： ． 【知识点二】一次函数与正比例函数定义 1. 一次函数：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数：当时，（），叫做正比例函数。 【要点提示】（1）核心关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。（2）关键限制条件：，若，式子变为，为常函数，不是一次函数。 【题型 2】一次函数与正比例函数的识别 【例题2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． （1）若它是一次函数，求m的值； （2）若它是正比例函数，求的值 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 解：（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 【题型 3】判断点是否在一次函数图象上 【例题3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知y与成正比例，且时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据正比例的定义设出函数解析式，再用待定系数法求出未知系数得到y关于x的函数解析式； （2）将y的值代入解析式，通过解一元一次方程得到x的值． 解：（1） 解：由题意可设 把，代入得， 解得 ； （2）解：把代入得， 解得． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知点坐标代入解析式，解一元一次方程即可得到的值． 解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入得：， 移项得：， 解得：． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1） 根据与成正比例设出函数解析式，代入已知的x，y值求出比例系数，即可得到y关于x的函数表达式； （2） 将点P的坐标代入求得的函数解析式，解方程即可得到m的值； 解：（1）解： ∵与成正比例， ∴设， ∵当时， ， ∴， 解得：， ∴， 即； （2）解：由（1）得函数表达式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 整理得， 解得． 【知识点三】一次函数的图象特征 1. 一次函数的图象是一条直线，因此一次函数也叫线性函数。 2. 图象画法：两点法（预习核心） （1）找直线与y轴交点：令，得，交点； （2）找直线与x轴交点：令，得，交点； （3）连接两点，即可画出一次函数图象。 3. 正比例函数图象：经过原点的直线。 【题型 4】列表、描点、连线画一次函数图象 【例题4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）（1）用描点法画出函数的图象； （2）判断点，是否在函数的图象上． 【答案】（1）见分析；（2）不在函数的图象上，在函数的图象上． 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数的函数值，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）求出和时的函数值即可得到答案． 解：（1）列表如下： … … … … 画函数图象如下所示： （2）在中，当时，，当时，， ∴不在函数的图象上，在函数的图象上． 【变式1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 5 … A． B．0 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格数据分析，即可求解． 解：根据表格数据可得当增大1时，函数值增大2，而在时，表格中的函数应为，故这个错误的函数值是； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： 自变量 … 因变量 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．（或描点连线，亦可找出不在直线上的那个点的纵坐标） 解：设该一次函数的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴这个错误的函数值是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用描点法画出下列函数的图象： （1） 解：列表： x … 0 1 2 3 … … 描点、连线： （2） 解：列表： x … 0 1 2 3 … … 描点、连线： 观察函数图象，完成下列问题： 当时，直线经过_______象限，y随x的增大而_______； 当时，直线经过_______象限，y随x的增大而_______． 【答案】（1），，，0，2，4，6，图见分析；（2）6，4，2，0，，，；图见分析；第一、三，增大；第二、四，减小． 【分析】先根据列表，描点，连线，即可画出图形，然后根据图象得出性质，即可求解． 解：（1） 列表： x … 0 1 2 3 … … -6 -4 -2 0 2 4 6 … 在平面直角坐系内画出图象， （2） 解：列表： x … 0 1 2 3 … … 6 4 2 0 -2 -4 -6 … 在平面直角坐系内画出图象， 观察函数图象得： 当时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当时，直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 【点拨】本题主要考查了描点法画函数的图象，正比例函数的图象和性质，熟练掌握描点法画函数的图象的基本步骤和正比例函数的正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【题型 5】一次函数图象与坐标轴交点 【例题5】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·广西北海·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的纵坐标为，令一次函数解析式中，求解即可得到交点坐标． 解：∵轴上点的纵坐标为， ∴求一次函数与轴的交点，令，得 ， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的值． 解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． ． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点，的坐标． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）6；（3）点C的坐标为或． 【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标； （2）根据三角形面积公式代入数据计算即可； （3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可． 解：（1）解：在中，当时，；当时，， ∴，； （2）解：； （3）解：设点C的坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴或． ∴点C的坐标为或． 【知识点四】k、b的几何意义与函数性质（必考） 1. 系数k：决定直线倾斜方向与增减性 （1）：直线从左向右上升，y随x的增大而增大（增函数）； （2）：直线从左向右下降，y随x的增大而减小（减函数）。 2. 系数b：决定直线与y轴交点位置 （1）：直线与y轴交于正半轴； （2）：直线过原点（正比例函数）； （3）：直线与y轴交于负半轴。 【题型 6】判断一次函数的增减性及求参数值（基础应用） 【例题6】（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； （2）判断点是否在这个函数图象上； （3）点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 【答案】（1）当时，是的一次函数；；（2）在，理由见分析；（3），理由见分析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，所对应的的值，即可得到答案； （3）根据一次函数的增减性进行求解即可． 解：（1）解：由题意得， ， 解得， 即当时，是的一次函数； 此时，， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：对于， 当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：对于， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∵点，在该函数图象上，且， ∴＜． 【变式1】（25-26八年级下·河南·阶段检测）已知一次函数， 随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵一次函数随的增大而减小， ∴，即． 【变式2】（2026·内蒙古·中考真题）对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②/②① 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论． 解：对于①，将代入，得，所以点在此函数图象上，故①正确． 对于②，当时，函数解析式为，当时，得不等式，移项得，系数化为得，故②正确． 对于③，一次函数的增减性由一次项系数决定，当时，若，则，此时随的增大而增大，只有当即时，才随的增大而减小，故③错误． 故正确的结论是：①②． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知一次函数经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）随的增大而_______（“增大”或“减小”）； （3）判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】（1）；（2）增大；（3）点在这个一次函数的图象上，理由见分析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质即可解答； （3）求出当时y的值，比较即可得解． 解：（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：， 随的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：点在这个一次函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 【题型 7】比较一次函数的大小（基础应用） 【例题7】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 解：（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为， 画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数解析式判断随的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系． 解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随 的增大而减小， ∵点，，的横坐标分别为，，，且， ∴对应的纵坐标满足． 【变式2】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）已知点、和在函数上，则、、的大小关系为__________（用“<”符号连接）． 【答案】 【分析】先根据一次函数的比例系数符号判断函数的增减性，再比较已知三点横坐标的大小，结合增减性即可得到函数值的大小关系． 解：函数是一次函数，， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大， 已知三点横坐标分别为，，，且，因此． 【变式3】（25-26八年级下·海南儋州·期中）对于函数的图象，回答以下问题： （1）该函数经过哪几个象限？ （2）当取何值时，？ （3）若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【答案】（1）第一，二，三象限；（2）；（3） 【分析】（1）一次项系数和常数项的符号可判断该函数经过的象限； （2）求出时，x的值即可得到答案； （3）根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 解：（1）解：∵， ∴函数的图象经过第一，二，三象限； （2）解：当时，，解得， ∴当时，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【知识点五】一次函数图象象限分布规律 （1）：图象经过一、二、三象限； （2）：图象经过一、三、四象限； （3）：图象经过一、二、四象限； （4）：图象经过二、三、四象限； （5）正比例函数过一、三象限；过二、四象限。 【题型 8】判断一次函数图象位置（基础应用） 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，函数的图象在第四象限？ 【答案】 【分析】本题利用第四象限内点的坐标特征，横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，求解一元一次不等式组得到x的取值范围． 解：∵函数的图象在第四象限， ∴， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·广西防城港·期末）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断图象经过的象限，即可求出不经过的象限． 解：∵ 一次函数中， ，， ∴ 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 【答案】一、二、四 【分析】根据不等式的解集，判断的符号，推导得到的符号，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限． 解：不等式的解集是， ，且当时，，即一次函数与轴交于点， 将代入得：， 整理得， ， ∴， 对于一次函数，，，根据一次函数的性质，其图象一定经过第一，第二，第四象限． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出函数，，的图象，并分别指出图象经过哪些象限？ 【答案】见分析，函数经过一、三象限；函数经过一、二、三象限；函数经过一、三、四象限． 【分析】本题主要考查一次函数的图象，根据两点法画出一次函数图象是解题关键． 根据两点法画出函数图象，然后再利用函数图象求解即可． 解： 当时，；当时，； ， 当时，；当时，； ， 当时，；当时，； 函数图象如图所示： ∴由图象可知：函数经过一、三象限；函数经过一、二、三象限；函数经过一、三、四象限． 二.经典题型精析（综合提升） 【知识点六】一次函数图象的平移 1、对于 y=kx+b （1）b变大，直线向上平移；b变小，直线向下平移； （2）k不变，斜率不变，直线只是上下移动、平行不旋转。 2、平移口诀: k同线平行，b变上下移 【题型 9】一次函数图象的平移 【例题9】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） （1）当函数是正比例函数时，的值为_______． （2）当的值为______时，函数图象与直线平行； （3）当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； （4）当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 解：（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”，原函数为，向左平移个单位，再向上平移个单位后，可得新解析式为，整理得， ∵平移后图象过原点，将代入解析式得：， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】首先明确一次函数图象左右平移的规则：向左平移个单位时，将函数解析式中的替换为，据此写出平移后的函数解析式．因为平移后的图象经过点，所以该点坐标满足平移后的函数解析式，将、代入平移后的解析式，得到关于的一元一次方程．求解上述一元一次方程，即可得到的值． 解：将原函数向左平移个单位后， 新函数解析式为： ，整理得， 将代入解析式 ， 解得， ． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． （1）当时，的取值范围是________； （2）将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据可得随的增大而减小，把和代入求解即可； （2）先求出点的坐标为，得出点关于轴的对称点为，设出直线的解析式，代入求解即可； 解：（1）的解析式为， ， 随的增大而减小， ， 当时，， 当时，， ； （2）对于直线：，令，则， ， 关于轴的对称点为， 向下平移（）个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线过点， ， ． 【知识点七】点与函数图象的关系 1. 若点在函数图象上，则满足解析式，即； 2. 若点坐标满足函数解析式，则该点在函数图象上。 【题型 10】一次函数图象与性质综合 【例题10】（北京市平谷区2025—2026学年度第二学期期末考试样卷初二数学）如图，直线经过点，． （1）求直线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）设直线的解析式，分别把两点代入直线解析式，解方程组求出即可； （2）先求出直线与轴的交点坐标，再用割补法分别算两个三角形的面积，最后计算两个三角形的面积和即可． 解：（1）解：设直线对应的函数解析式为                                   ； （2）解：设直线与轴交点为C，如图所示， 令，则，                              ． 【变式1】（湖北省十堰市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（） A．图象是经过第一、二、四象限的一条直线 B．随的增大而减小 C．若点、在该函数的图象上，则 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，增减性，以及与坐标轴围成三角形的面积计算，根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 解：对于一次函数，可得，， 、∵，， ∴图象经过第一、二、四象限，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； 、∵随的增大而减小，且， ∴，该选项正确，不符合题意； 、令，得，解得，即图象与轴交于； 令，得，即图象与轴交于， ∴图象与坐标轴围成的三角形面积为，该选项错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 【答案】24 【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标，进而可求出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 解：∵， ∴， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． ． 又点的坐标为， ， ． 【变式3】（重庆市潼南区2025—2026学年度第二学期期末检测八年级数学试题）如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． （1）求k，b； （2）将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 【答案】（1）；；（2）4 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）设的解析式为，根据题意，得或，由此求解即可． 解：（1）解：直线：与x轴交于点， ， 解得； 直线：与y轴交于点， ， 解得． （2）解：根据题意，得直线：， 将直线向上平移t个单位长度（）得到， 则的解析式为， 令，得， 解得， 与x轴交于点C， 故， ，， 故或， 解得或， ， 故舍去， 故． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆·期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与其对应． 解：A、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； B、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； C、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值唯一，符合题意； D、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意 ． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义判断，正比例函数要求形如（为常数且，自变量的次数为），逐一判断各选项即可得到答案． 解：∵正比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数，自变量次数为1． ∴对各选项分析如下： 选项A：，存在常数项，不符合正比例函数定义，错误； 选项B：，符合正比例函数的定义，正确； 选项C：，自变量的次数为，不符合定义，错误； 选项D：，是反比例函数，不符合正比例函数定义，错误． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 4．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）若函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象性质，由直线的升降趋势判断的符号，由直线与轴交点的位置判断的符号． 解：观察图象可知：直线从左往右呈上升趋势，随增大而增大， ， 又直线与轴交于负半轴， ， 综上所述，，． 6．（25-26八年级下·福建漳州·期末）若点在一次函数的图象上，则点的坐标不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入，计算出对应值，和选项给出的纵坐标对比，不相等的即为答案． 解：∵ 若点在的图象上，则点的坐标满足， 对选项A，将代入，得，， ∴ 坐标不满足解析式，点不能是该坐标； 验证其余选项： 选项B，时，，符合解析式； 选项C，时，，符合解析式； 选项D，时，，符合解析式． 7．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 【答案】C 解：A选项：直线与直线的相等，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：，则随的增大而减小，原结论错误，符合题意； D选项：，，则一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 8．（2026·安徽安庆·三模）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过判断一次项系数的符号得到y随x的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可推导出y值的大小关系． 解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而增大， 又∵三个点的横坐标满足， ∴． 9．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 10．（20-21八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·全国·专题练习）某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出每公里耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，得出关系式，并确定自变量的取值范围． 解：∵每行驶耗油， ∴每公里耗油量为， ∴， ∵油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为，． 12．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值. 解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据正比例函数性质列出不等式即可求解． 解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：． 14．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 【答案】①②③ 【分析】本题根据一次函数的图象与性质，对四个说法逐一判断，即可得到正确结论． 解：① 将代入直线解析式，得， 因此点在l上，故①正确； ② 将代入直线解析式，得， 因此l经过定点，故②正确； ③ 当时，由一次函数的性质可知，y的值随x值的增大而增大，故③正确； ④ 当时，直线经过第二、三、四象限，只有当时，直线才经过第一、二、三象限，因此l不一定经过第一、二、三象限，故④错误． 综上，正确的说法是①②③． 15．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）直线 与 轴交点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据y轴上点的坐标特点，点在y轴上时横坐标为0，将 代入直线解析式求出 的值，即可得到交点坐标． 解：令 ，代入 得 ， 直线与 轴的交点坐标为 ． 16．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 【答案】< 【分析】根据一次函数的性质判断函数的增减性，结合两点横坐标的大小即可推出函数值的大小关系． 解：在一次函数中， ， 随的增大而增大． 点，，满足， ． 17．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】> 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 18．（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得到一次项系数大于0，常数项小于0，据此列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 解：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． （1）判断点是否在该函数的图像上； （2）若点在该函数的图像上，求a的值； （3）当x为何值时，？ 【答案】（1）点P在函数图像上；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、解一元一次方程． （1）把点坐标代入函数解析式判断即可； （2）把点坐标代入函数解析式求解即可； （3）令，求解即可． 解：（1）解：当时，， 所以点在函数图像上； （2）解：将代入得：， 解得； （3）解：令，得， 解得：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． （1）求点的坐标； （2）已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 解：（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． （1）当时，的取值范围是________； （2）将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据可得随的增大而减小，把和代入求解即可； （2）先求出点的坐标为，得出点关于轴的对称点为，设出直线的解析式，代入求解即可； 解：（1）的解析式为， ， 随的增大而减小， ， 当时，， 当时，， ； （2）对于直线：，令，则， ， 关于轴的对称点为， 向下平移（）个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线过点， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·单元复习）在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标： （1）横坐标是； （2）与轴的距离是2个单位长度． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】（1）代入求出的值，即可求解； （2）分别代入和求出与之对应的值，进而可得出和轴的距离是2个单位的点的坐标． 解：（1）解：∵ 所求点在直线 上，且横坐标为 ， ∴ 将 代入解析式得： ， ∴ 满足条件的点坐标为 ． （2）解：∵ 所求点到轴的距离是2个单位长度， ∴ ，即 或 ， 当 时，代入 得： ，解得 ， 此时点坐标为 ； 当 时，代入 得： ，解得 ， 此时点坐标为 ； ∴ 满足条件的点坐标为 和 ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 （1）①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； （2）若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 【答案】（1）解：①补全表格如下： x 1 3 y 2 ②画出一次函数的图象，如图所示： （2） 【分析】（1）①把表格数据代入进行计算，即可作答；②先结合表格数据，再描点，连线，即可画出一次函数的图象； （2）根据②的一次函数的图象，且结合进行分析，即可作答． 解：（1）解：①当时，，当时，即，则， 补全表格略： ②略； （2）解：由（1）②的函数图像可知，y的值随着x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上， ∴当时，． 24．（本小题满分12分）（2025·重庆·二模）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维．小明正在探究函数（a，b为常数）的性质，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 c … 分析数据，完成填空：a＝______，b＝______，c＝______； （2）如图，在平面直角坐标系中，根据表格的数据描点、连线，画出该函数的图象；    （3）观察函数图象，写出该函数图象的其中一条性质； （4）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）2，1，7；（2）见分析；（3）见分析；（4）或 【分析】（1）将时，；，分别代入即可求与的值，然后把代入即可求得的值； （2）描点、连线，画出图象即可； （3）根据图象写出一条符合性质即可； （4）根据图象即可求解． 解：（1）解：当时，；当时，， ，解得， 函数的解析式为， 把代入得， ， 故答案为2，1，7； （2）画出函数图象如图：    （3）由图象可知，当时，随值的增大而增大； （4）观察图象，当时，的取值范围是或． 【点拨】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——一次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 1 【知识点一】变量与函数基础 2 【题型 1】函数的认识 2 【知识点二】一次函数与正比例函数定义 2 【题型 2】一次函数与正比例函数的识别 3 【题型 3】判断点是否在一次函数图象上 3 【知识点三】一次函数的图象特征 3 【题型 4】列表、描点、连线画一次函数图象 4 【题型 5】一次函数图象与坐标轴交点 5 【知识点四】k、b的几何意义与函数性质（必考） 6 【题型 6】判断一次函数的增减性及求参数值（基础应用） 6 【题型 7】比较一次函数的大小（基础应用） 7 【知识点五】一次函数图象象限分布规律 7 【题型 8】判断一次函数图象位置（基础应用） 8 二.经典题型精析（综合提升） 8 【知识点六】一次函数图象的平移 8 【题型 9】一次函数图象的平移 8 【知识点七】点与函数图象的关系 9 【题型 10】一次函数图象与性质综合 9 三.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】变量与函数基础 1. 变量与常量：在变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 2. 函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么是的函数。 3. 自变量：主动变化的量；函数值：随自变量变化的量。 【题型 1】函数的认识 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）下列各图象中，不能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【变式3】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． （1）求张白纸粘合后的总长度； （2）设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 【知识点二】一次函数与正比例函数定义 1. 一次函数：一般地，形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数：当时，（），叫做正比例函数。 【要点提示】（1）核心关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。（2）关键限制条件：，若，式子变为，为常函数，不是一次函数。 【题型 2】一次函数与正比例函数的识别 【例题2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． （1）若它是一次函数，求m的值； （2）若它是正比例函数，求的值 【变式1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）若函数是y关于x的正比例函数，求． 【题型 3】判断点是否在一次函数图象上 【例题3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知y与成正比例，且时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期中）当_____时，一次函数的图象经过原点． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知y与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 【知识点三】一次函数的图象特征 1. 一次函数的图象是一条直线，因此一次函数也叫线性函数。 2. 图象画法：两点法（预习核心） （1）找直线与y轴交点：令，得，交点； （2）找直线与x轴交点：令，得，交点； （3）连接两点，即可画出一次函数图象。 3. 正比例函数图象：经过原点的直线。 【题型 4】列表、描点、连线画一次函数图象 【例题4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）（1）用描点法画出函数的图象； （2）判断点，是否在函数的图象上． 【变式1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（    ） … 0 1 2 … … 0 3 5 … A． B．0 C．3 D．5 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： 自变量 … 因变量 … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用描点法画出下列函数的图象： （1） 解：列表： x … 0 1 2 3 … … 描点、连线： （2） 解：列表： x … 0 1 2 3 … … 描点、连线： 观察函数图象，完成下列问题： 当时，直线经过_______象限，y随x的增大而_______； 当时，直线经过_______象限，y随x的增大而_______． 【题型 5】一次函数图象与坐标轴交点 【例题5】（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·广西北海·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． （1）求点，的坐标． （2）求的面积． （3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标． 【知识点四】k、b的几何意义与函数性质（必考） 1. 系数k：决定直线倾斜方向与增减性 （1）：直线从左向右上升，y随x的增大而增大（增函数）； （2）：直线从左向右下降，y随x的增大而减小（减函数）。 2. 系数b：决定直线与y轴交点位置 （1）：直线与y轴交于正半轴； （2）：直线过原点（正比例函数）； （3）：直线与y轴交于负半轴。 【题型 6】判断一次函数的增减性及求参数值（基础应用） 【例题6】（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； （2）判断点是否在这个函数图象上； （3）点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 【变式1】（25-26八年级下·河南·阶段检测）已知一次函数， 随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古·中考真题）对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知一次函数经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）随的增大而_______（“增大”或“减小”）； （3）判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【题型 7】比较一次函数的大小（基础应用） 【例题7】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 （1）画出这个函数的图象； （2）观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）已知点、和在函数上，则、、的大小关系为__________（用“<”符号连接）． 【变式3】（25-26八年级下·海南儋州·期中）对于函数的图象，回答以下问题： （1）该函数经过哪几个象限？ （2）当取何值时，？ （3）若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【知识点五】一次函数图象象限分布规律 （1）：图象经过一、二、三象限； （2）：图象经过一、三、四象限； （3）：图象经过一、二、四象限； （4）：图象经过二、三、四象限； （5）正比例函数过一、三象限；过二、四象限。 【题型 8】判断一次函数图象位置（基础应用） 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）当x取何值时，函数的图象在第四象限？ 【变式1】（25-26八年级下·广西防城港·期末）一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2026·江苏泰州·二模）已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出函数，，的图象，并分别指出图象经过哪些象限？ 二.经典题型精析（综合提升） 【知识点六】一次函数图象的平移 1、对于 y=kx+b （1）b变大，直线向上平移；b变小，直线向下平移； （2）k不变，斜率不变，直线只是上下移动、平行不旋转。 2、平移口诀: k同线平行，b变上下移 【题型 9】一次函数图象的平移 【例题9】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数（为常数） （1）当函数是正比例函数时，的值为_______． （2）当的值为______时，函数图象与直线平行； （3）当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； （4）当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． （1）当时，的取值范围是________； （2）将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 【知识点七】点与函数图象的关系 1. 若点在函数图象上，则满足解析式，即； 2. 若点坐标满足函数解析式，则该点在函数图象上。 【题型 10】一次函数图象与性质综合 【例题10】（北京市平谷区2025—2026学年度第二学期期末考试样卷初二数学）如图，直线经过点，． （1）求直线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积． 【变式1】（湖北省十堰市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（） A．图象是经过第一、二、四象限的一条直线 B．随的增大而减小 C．若点、在该函数的图象上，则 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 【变式2】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 【变式3】（重庆市潼南区2025—2026学年度第二学期期末检测八年级数学试题）如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． （1）求k，b； （2）将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆·期末）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 4．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）若函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·福建漳州·期末）若点在一次函数的图象上，则点的坐标不可以是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 8．（2026·安徽安庆·三模）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 10．（20-21八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·全国·专题练习）某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 12．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 13．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_______． 14．（25-26九年级下·河北保定·开学考试）关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 15．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）直线 与 轴交点坐标为_______． 16．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 17．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 18．（25-26八年级下·广东惠州·期末）已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数． （1）判断点是否在该函数的图像上； （2）若点在该函数的图像上，求a的值； （3）当x为何值时，？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． （1）求点的坐标； （2）已知点在轴上，且，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． （1）当时，的取值范围是________； （2）将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·单元复习）在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标： （1）横坐标是； （2）与轴的距离是2个单位长度． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． x 3 y 2 （1）①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中x，y的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； （2）若点，在一次函数的图象上，当时，______（填“”“”或“”）． 24．（本小题满分12分）（2025·重庆·二模）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维．小明正在探究函数（a，b为常数）的性质，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 c … 分析数据，完成填空：a＝______，b＝______，c＝______； （2）如图，在平面直角坐标系中，根据表格的数据描点、连线，画出该函数的图象；    （3）观察函数图象，写出该函数图象的其中一条性质； （4）当时，直接写出x的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $