2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第6讲）——勾股定理及其逆定理（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第6讲）——勾股定理及其逆定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 2 【知识点一】勾股定理（直角三角形性质） 2 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 2 【题型 2】勾股定理分类讨论（易错题型） 3 【知识点二】勾股定理的证明（预习了解） 6 【题型 3】勾股定理的证明 6 【知识点三】勾股定理逆定理（直角三角形判定） 9 【题型 4】勾股逆定理判定直角三角形 9 【知识点四】勾股数 11 【题型 5】勾股数的判断 12 【知识点五】定理区别与联系 14 【题型 6】勾股定理与逆定理综合（基础） 14 二.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 7】勾股定理与三角全等综合 17 【题型 8】勾股定理与等腰三角形综合 22 【题型 9】勾股定理与线段垂直平分线、角平分线综合 26 【题型 10】勾股定理与直角三角形综合 30 三.同步自测 33 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读概念、理解定理、学例题、练变式，就能完全掌握勾股定理核心重难点，循序渐进、学而所得。 学习方法：先读概念定理公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】勾股定理（直角三角形性质） 1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 公式表达：若直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则：。 3. 公式变形（高频必考） （1）；（2）。 4. 适用前提：必须是直角三角形，斜边为最长边。 5. 核心结论：直角三角形中，斜边长度大于任意一条直角边。 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 思路点拨：找准直角边和斜边，直接代入勾股定理公式变形计算。 【例题1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）在中，，，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，能够正确使用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 解：在中，， 由勾股定理，得， 又∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求出距离． 解：由图可得，（米）． 【变式2】（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． （1）已知，求； （2）已知，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）13；（2） 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 解：（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 【题型 2】勾股定理分类讨论（易错题型） 思路点拨：题目未说明已知边是直角边还是斜边，需分两种情况讨论，避免漏解。 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若一个直角三角形的两边长分别是1和2，则这个直角三角形的面积为______． 【答案】或 【分析】本题未明确给出的两边均为直角边，因此需要分两种情况讨论，结合勾股定理和直角三角形面积公式计算即可． 解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， ． 情况2：当为斜边，为直角边时，根据勾股定理，另一条直角边长为 ， 则． 综上可知，这个直角三角形的面积为或． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期末）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）在中，，，高，则的周长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，分别为高在内部和高在外部，利用勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，即可计算出的周长． 解：分两种情况讨论：当高在的内部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 当高在的外部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 综上所述，的周长是或． 易错警示：无图无说明时，必须分类讨论，默认两边为直角边会丢解。 【知识点二】勾股定理的证明（预习了解） 常见赵爽弦图证明：利用四个全等直角三角形拼成大正方形，通过面积相等推导公式。 核心思想：面积法，通过整体面积=部分面积和完成推导，是初中几何经典数形结合模型。 【题型 3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是______，里面小正方形的边长为_____； （2）大正方形面积可以表示为______，也可以表示为___________________； （3）对比这两种表示方法，可得出___________________，整理得__________________________． 【答案】 【分析】本题考查图形验证勾股定理，数形结合找准面积关系是解决问题的关键． 由图2可得大正方形的边长、小正方形的边长，再结合正方形及三角形面积公式即可用两种方式表示出大正方形面积，列出等式后整理即可得到勾股定理． 解：如图所示： 图2中大正方形的边长是，里面小正方形的边长为； 大正方形面积可以表示为，也可以表示为； 对比这两种表示方法，可得出， 则， 整理得， 故答案为：，，，，，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论． 解：证明：∵， 整理，得， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 解：（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【知识点三】勾股定理逆定理（直角三角形判定） 1. 定理内容：在三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2. 公式判定：在中，三边长为（为最长边），若，则为直角三角形，。 3. 拓展判定：（1）若，三角形为锐角三角形；（2）若，三角形为钝角三角形。 【题型 4】勾股逆定理判定直角三角形 思路点拨：找最长边，验证最短两边平方和是否等于最长边平方。 【例题4】（湖北省十堰市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 解：（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系和勾股定理逆定理，通过验证三条线段是否满足三角形不等式，并利用勾股定理逆定理判断三角形类型即可． 解：∵，，， ∴三条线段能围成三角形； ∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的逆应用．根据证明，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 【知识点四】勾股数 1. 定义：满足的三个正整数，称为一组勾股数。 2. 常用勾股数（必背）3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17。 3. 勾股数性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。如3、4、5扩大2倍得6、8、10。 【题型 5】勾股数的判断 思路点拨：勾股数必须是正整数且满足平方关系，非整数直接排除。 【例题5】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则 ， ； （2）当时，求的值；（ 用字母 n 表示） （3）用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】（1）60,61；（2），；（3）不是一组勾股数，理由见详解 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由（2）得，，，令，则， ，，即可作答． 解：（1）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60,61． （2）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 故， （3）解：不是一组勾股数，理由如下： 由（2）得，，， 依题意，令，则， ， ， ∴19，188，189不是一组勾股数． 【变式1】（陕西省安康市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 【答案】C 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证即可. 解：A选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， B选项，，且三个数都是正整数，是勾股数， C选项，，，，不满足勾股数的条件，不是勾股数， D选项，，且三个数都是正整数，是勾股数. 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】（1）是；（2）见分析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 解：（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 【知识点五】定理区别与联系 1. 勾股定理：已知直角三角形，求边长（由形得数）； 2. 勾股逆定理：已知三边长，判定直角三角形（由数判形）。 【题型 6】勾股定理与逆定理综合（基础） 【例题6】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 解：（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可． 解：∵， ∴，， ∴的面积． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式3】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出； （2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由（1）知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】勾股定理与三角全等综合 【例题7】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点 （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 解：（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西·期末）已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】过D作于F，首先，由勾股定理求得的长，再由平分，，，得，再证得，得，进而得的长，然后，设，则，运用勾股定理，得，得，进而得，最后，由的面积为，可得的长． 解：如图，过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵的面积为，即， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 【答案】 【分析】延长到点G；使，连接．证明，，利用勾股定理求解即可． 解：延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． 解：（1）（1）将绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； （2）如图，连接， ， 是等边三角形， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ，，， ， ， ． 【题型 8】勾股定理与等腰三角形综合 【例题8】（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】（1）是；（2） 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 解：（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出三角形的高，再代入三角形面积公式即可计算出结果． 解：过等边三角形的一个顶点作对边的高，记高为， ∵等边三角形边长为，等边三角形三线合一， ∴高将底边平分，分割后每条线段长为， 由勾股定理得： ， ∴该三角形的面积． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【分析】连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，，结合勾股定理可得结论． 解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 【变式3】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． （2） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，根据余角的性质得出，从而证明，即可得出； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 解：（1）略 （2）解：设，则， ， ． 由勾股定理可得， ， 解得：， ，， ． 【题型 9】勾股定理与线段垂直平分线、角平分线综合 【例题9】（25-26七年级下·陕西·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点和，的平分线交于点，若， （1）求证：； （2）若的周长是48，求的面积． 【答案】（1）证明：垂直平分， ，， 则，又， ， ， ； （2） 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，进而得到，则； （2）根据题意可得，进而得到，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 解：（1）略 （2）垂直平分， ， 则的周长， 又， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图痕迹可知是的角平分线，，可得，利用面积关系求解即可． 解：由作图痕迹可知，是的角平分线，， 又∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴． 【变式2】（2026·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数． （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 解：（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【题型 10】勾股定理与直角三角形综合 【例题10】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求： （1）的面积； （2）斜边的长； （3）斜边上的高的长． 【答案】（1）2.94；（2）3.5；（3）1.68 【分析】（1）根据三角形面积计算即可． （2）根据勾股定理计算即可． （3）根据三角形面积计算即可． 解：（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（北京市朝阳区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 解：在中，，，， 由勾股定理可得， 是边的中点， 是斜边上的中线， ． 【变式2】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，先利用三线合一和勾股定理求出，进而求出即，再在 中求出，进而求出，再设 ，则 ，再在 中，由勾股定理解出，进而得到，再利用三角形面积公式求解即可． 解：过 作 于 ，过 作 于 ， ∵ ，， 是 中点， ∴ ，平分 ， ∴，， 在 中，， ∴ ，， ， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 在 中，由勾股定理： ， 故 ， 在 中： ，， ∴， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理 ，代入得： 展开化简得：，解得 （负的舍去）， 即 ， ∴ ， ∴的面积为：． 【变式3】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，中，，，D为上一点，，，求的周长（结果保留根号）． 【答案】 【分析】根据含有的直角三角形可知的长度，根据勾股定理可知的长度，进而即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴的周长． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 3．（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 4．（广西南宁市江南区18校联盟2025-2026学年八年级（下）调研数学试卷（6月份））我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 解：根据勾股数定义，三个数必须是正整数，选项A中不是正整数，因此排除A；对剩余选项逐一验证： 选项B：∵ ，，，即， ∴B不是勾股数，不符合题意； 选项C：∵ ，，，即， ∴C不是勾股数，不符合题意； 选项D：∵ ，，即，且三个数均为正整数， ∴D是勾股数，符合题意． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 解：根据勾股定理，得， 即， 所以梯子顶端的高度h为． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 9．（2026·广东清远·一模）如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的外角性质求出 的度数，过点 作 的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 解：如图，过点 作 于点 ， 椅背与底座的夹角为 ，即 的外角为 ，且 ， ， 在 中，，， ，， 在 中，， 是等腰直角三角形， ， ． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，在同一条直线上，靠背的长度为．下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】由的度数可求，再在中运用勾股定理可解答． 解：A、∵， ∴ 又， ∴，故选项A错误； B、由A知，故选项B错误； C、∵， ∴ 又， ∴， ∴，故选项C正确； D、由C知，故选项D错误． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 【答案】12 【分析】熟练掌握勾股定理，直接利用勾股定理计算即可． 解：由勾股定理得：另一直角边长 ． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设，根据题意及题中图形，得到相关边的长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 解：如图所示： 由题意可得，，， 设， 则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， ， 则钟摆的长度为， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，数轴上点表示的数为3，过点作垂直于数轴，且，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点表示的数为______． 【答案】 解：如图， 根据数轴有：， ∵垂直于数轴，且， ∴在中，， 根据作图有：， ∴， ∴点表示的数为． 15．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 17．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接．若，则的周长为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，结合题意得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 解：由旋转的性质可得，，， ∵点恰好落在斜边的中点上， ∴， ∴， ∴的周长为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，进一步可得答案． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，，，，，， （1）求的长； （2）求图形中阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）24 【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算出，，最后根据求解即可． 解：（1）解：在中，； （2）解：在中，， ． ∵， ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 解：（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 【答案】该学生头顶到门铃的距离为 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 解：如图，由题意，得 ， ， ， 在Rt中， 根据勾股定理，得 ， 故该学生头顶到门铃的距离为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（保留作图痕迹） （2）猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）四边形的面积为______． 【答案】（1）所作垂线如图所示： （2），证明如下： ，为边中点， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （3） 【分析】（1）利用尺规作，即可得到所作垂线； （2）利用直角三角形性质，以及等腰直角三角形性质推出，，再结合同角的余角相等推出，证明，进而结合全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）利用全等三角形性质推出四边形的面积，再利用勾股定理，以及直角三角形性质推出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识． 解：（1）见答案 （2）略 （3）解：， 四边形的面积， ，， ， ， 四边形的面积为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）如图，已知，，E为的中点，与交点为F， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，作于，则，由等面积法得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 解：（1）证明：∵，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，E为的中点， ∴ ∵，， ∴， 如图，作于， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——勾股定理及其逆定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 2 【知识点一】勾股定理（直角三角形性质） 2 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 2 【题型 2】勾股定理分类讨论（易错题型） 2 【知识点二】勾股定理的证明（预习了解） 3 【题型 3】勾股定理的证明 3 【知识点三】勾股定理逆定理（直角三角形判定） 4 【题型 4】勾股逆定理判定直角三角形 5 【知识点四】勾股数 5 【题型 5】勾股数的判断 5 【知识点五】定理区别与联系 6 【题型 6】勾股定理与逆定理综合（基础） 6 二.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 7】勾股定理与三角全等综合 7 【题型 8】勾股定理与等腰三角形综合 8 【题型 9】勾股定理与线段垂直平分线、角平分线综合 9 【题型 10】勾股定理与直角三角形综合 10 三.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读概念、理解定理、学例题、练变式，就能完全掌握勾股定理核心重难点，循序渐进、学而所得。 学习方法：先读概念定理公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理与题型精析（基础夯实） 【知识点一】勾股定理（直角三角形性质） 1. 定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 公式表达：若直角三角形的两条直角边长为，斜边长为，则：。 3. 公式变形（高频必考） （1）；（2）。 4. 适用前提：必须是直角三角形，斜边为最长边。 5. 核心结论：直角三角形中，斜边长度大于任意一条直角边。 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 思路点拨：找准直角边和斜边，直接代入勾股定理公式变形计算。 【例题1】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）在中，，，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）小齐在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升米，后水平飞行米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． （1）已知，求； （2）已知，求（用含的式子表示）． 【题型 2】勾股定理分类讨论（易错题型） 思路点拨：题目未说明已知边是直角边还是斜边，需分两种情况讨论，避免漏解。 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若一个直角三角形的两边长分别是1和2，则这个直角三角形的面积为______． 【变式1】（25-26八年级下·四川达州·期末）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）在中，，，高，则的周长是______． 易错警示：无图无说明时，必须分类讨论，默认两边为直角边会丢解。 【知识点二】勾股定理的证明（预习了解） 常见赵爽弦图证明：利用四个全等直角三角形拼成大正方形，通过面积相等推导公式。 核心思想：面积法，通过整体面积=部分面积和完成推导，是初中几何经典数形结合模型。 【题型 3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． （1）图2中大正方形的边长是______，里面小正方形的边长为_____； （2）大正方形面积可以表示为______，也可以表示为___________________； （3）对比这两种表示方法，可得出___________________，整理得__________________________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【知识点三】勾股定理逆定理（直角三角形判定） 1. 定理内容：在三角形中，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2. 公式判定：在中，三边长为（为最长边），若，则为直角三角形，。 3. 拓展判定：（1）若，三角形为锐角三角形；（2）若，三角形为钝角三角形。 【题型 4】勾股逆定理判定直角三角形 思路点拨：找最长边，验证最短两边平方和是否等于最长边平方。 【例题4】（湖北省十堰市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【变式1】（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为________． 【知识点四】勾股数 1. 定义：满足的三个正整数，称为一组勾股数。 2. 常用勾股数（必背）3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17。 3. 勾股数性质：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，仍然是勾股数。如3、4、5扩大2倍得6、8、10。 【题型 5】勾股数的判断 思路点拨：勾股数必须是正整数且满足平方关系，非整数直接排除。 【例题5】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则 ， ； （2）当时，求的值；（ 用字母 n 表示） （3）用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【变式1】（陕西省安康市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，15，16 D．6，8，10 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【知识点五】定理区别与联系 1. 勾股定理：已知直角三角形，求边长（由形得数）； 2. 勾股逆定理：已知三边长，判定直角三角形（由数判形）。 【题型 6】勾股定理与逆定理综合（基础） 【例题6】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【变式3】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 二.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】勾股定理与三角全等综合 【例题7】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点 （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·陕西·期末）已知，在中，，，，平分，点是上一点，且的面积为，则的长为（     ） A． B．9 C． D．3 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点为的中点，点，分别在边，上，若，，，则的长度为________． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【题型 8】勾股定理与等腰三角形综合 【例题8】（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． （1）定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； （2）定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆合川·期末）一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【变式3】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，时，求的长． 【题型 9】勾股定理与线段垂直平分线、角平分线综合 【例题9】（25-26七年级下·陕西·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点和，的平分线交于点，若， （1）求证：； （2）若的周长是48，求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数． （2）若，，，求线段的长． 【题型 10】勾股定理与直角三角形综合 【例题10】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求： （1）的面积； （2）斜边的长； （3）斜边上的高的长． 【变式1】（北京市朝阳区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【变式3】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，中，，，D为上一点，，，求的周长（结果保留根号）． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 4．（广西南宁市江南区18校联盟2025-2026学年八年级（下）调研数学试卷（6月份））我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．4，5，6 D．5，12，13 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·广东清远·一模）如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，在同一条直线上，靠背的长度为．下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    13．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，有一只摆钟，将摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，则钟摆的长度为________． 14．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，数轴上点表示的数为3，过点作垂直于数轴，且，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点表示的数为______． 15．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）已知的三边，，满足，则的形状为________． 16．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 17．（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接．若，则的周长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，，，，，， （1）求的长； （2）求图形中阴影部分的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图1所示，人只要移至该门口及以内时（图2中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图2，一个身高的学生走到处，门铃恰好自动响起，过点作于点，求该学生头顶到门铃的距离． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（保留作图痕迹） （2）猜想与的数量关系，并证明你的结论． （3）四边形的面积为______． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）如图，已知，，E为的中点，与交点为F， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $