2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第9讲）——平面直角坐标系与几何综合（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第9讲）——平面直角坐标系与几何综合（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】坐标系中线段核心结论 1 【知识点二】坐标系中图形面积计算（必考） 2 【知识点三】坐标系中特殊三角形判定 2 【知识点四】坐标与图形对称、平移变换 2 【知识点五】中点坐标公式（预习拓展） 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】坐标法与三角形一边平行于坐标轴的面积 3 【题型 2】割补法求不规则三角形面积 3 【题型 3】坐标系中判定直角三角形 5 【题型 4】坐标平移与图形面积综合 6 【题型 5】中点公式应用 8 三.经典题型精析（综合提升） 9 【题型 6】平面直角坐标系与全等三角形 9 【题型 7】平面直角坐标系与等腰三角形综合 10 【题型 8】平面直角坐标系与折叠问题综合 11 【题型 9】平面直角坐标系与最值问题综合 12 【题型 10】平面直角坐标系与存在性问题综合 14 四.同步自测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.教材知识梳理 【知识点一】坐标系中线段核心结论 基于上一讲基础，拓展几何解题必备线段性质： （1）水平线段：两点纵坐标相同：，长度 ；线段平行于x轴。 （2）竖直线段：两点横坐标相同，，长度 ，线段平行于y轴。 （3）斜线段：横、纵坐标均不同，利用两点距离公式+勾股定理求解边长。 【知识点二】坐标系中图形面积计算（必考） 1. 规则图形（直接公式法） （1）直角三角形：直角边为水平、竖直线段，面积 水平长竖直长； （2）矩形/正方形：边长为水平、竖直线段，面积直接用长×宽计算。 2. 不规则图形（割补法核心） （1）补形法：将不规则多边形补成长方形/正方形，用整体面积减去四周多余直角三角形面积。 （2）分割法：将不规则图形分割为若干个直角三角形、矩形，面积求和。 【知识点三】坐标系中特殊三角形判定 1. 直角三角形判定 在坐标系中，三点构成三角形，满足以下任意一种即为直角三角形： （1）有两条边分别平行于x轴、y轴（横竖垂直）； （2）三边长度满足勾股定理逆定理：。 2. 等腰三角形判定 三角形任意两边长度相等，通过两点距离公式计算三边长度，对比边长即可判定。 【知识点四】坐标与图形对称、平移变换 1. 图形对称 图形关于坐标轴、原点对称，等价于图形所有顶点对应对称，对称规律与单点对称一致。 2. 图形平移 （1）左右平移：纵坐标不变，横坐标左减右加； （2）上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减； （3）图形平移后形状、大小不变，仅位置改变，边长、面积保持不变。 【知识点五】中点坐标公式（预习拓展） 已知两点，则线段AB中点坐标： 用途：快速求解线段中点，用于等腰三角形、图形对称综合题。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】坐标法与三角形一边平行于坐标轴的面积 【例题1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，求的面积． 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求的面积． （2）作关于轴的对称图形． 【题型 2】割补法求不规则三角形面积 【例题2】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 （1）求的面积； （2）在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． （1）求四边形的面积； （2）在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【题型 3】坐标系中判定直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）若点与点关于原点对称，则点的坐标为_____ （2）是否是直角三角形？_____（填“是”或“否”）； （3）仅用无刻度直尺在轴上找一点，使得射线平分． 【变式1】（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为______． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，并以，，为顶点作． （1）请在网格中画出关于y轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）请判断是否为直角三角形，并说明理由； （3）已知为轴上一点，当的面积为5时，求点的坐标． 【题型 4】坐标平移与图形面积综合 【例题4】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，将水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位． （1）请画出平移后的，并写出各点的坐标______；______；______； （2）求的面积； （3）在x轴上存在点Q，使得的面积与的面积相等，直接写出点Q的坐标______． 【题型 5】中点公式应用 【例题5】（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． （1）【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． （2）【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； （3）【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】平面直角坐标系与全等三角形 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在边长为1的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，在网格中，作出格点，使与全等，且写出点D的坐标．（作出一个符合要求的即可） 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为__． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，则______，______． （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【题型 7】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． （1）直接写出的长为______； （2）点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为__________________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． （1）写出图中点的坐标：_______； （2）若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； （3）的面积是_______； （4）已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【题型 8】平面直角坐标系与折叠问题综合 【例题8】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，分别以长方形的边所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为．将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交边于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标． 【题型 9】平面直角坐标系与最值问题综合 【例题9】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求： （1）画出点N关于的对称点； （2）当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 【变式1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于x轴的对称图形； （2）的面积为 ； （3）已知P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【题型 10】平面直角坐标系与存在性问题综合 【例题10】（25-26七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且． （1）求a，b的值； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． （1）求点C的坐标和三角形的面积； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知点与点，且直线与坐标轴围成的三角形面积等于，则a的值是______． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 13．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 14．（25-26七年级下·河南安阳·期末）嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 15．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为______________． 16．（25-26八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 17．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且，，若以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标______． 18．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． （1）填空：点A的坐标是__________，点B的坐标是__________； （2）求的面积； （3）已知在y轴上有一点，使得的面积恰好是面积的2倍，求P点的坐标． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为． （1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ． （2）求出平移后三角形的面积． （3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． （1）求a，b的值； （2）在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建福州·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标________； （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，且点D在直线的上方，那么点D的坐标是________． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． （1）判断直线与直线的位置关系，说明理由； （2）若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； （3）点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中如图所示，已知点． （1）请求出； （2）轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——平面直角坐标系与几何综合（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】坐标系中线段核心结论 2 【知识点二】坐标系中图形面积计算（必考） 2 【知识点三】坐标系中特殊三角形判定 2 【知识点四】坐标与图形对称、平移变换 2 【知识点五】中点坐标公式（预习拓展） 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】坐标法与三角形一边平行于坐标轴的面积 3 【题型 2】割补法求不规则三角形面积 6 【题型 3】坐标系中判定直角三角形 11 【题型 4】坐标平移与图形面积综合 15 【题型 5】中点公式应用 20 三.经典题型精析（综合提升） 23 【题型 6】平面直角坐标系与全等三角形 23 【题型 7】平面直角坐标系与等腰三角形综合 27 【题型 8】平面直角坐标系与折叠问题综合 32 【题型 9】平面直角坐标系与最值问题综合 36 【题型 10】平面直角坐标系与存在性问题综合 42 四.同步自测 45 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 45 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 57 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 62 一.教材知识梳理 【知识点一】坐标系中线段核心结论 基于上一讲基础，拓展几何解题必备线段性质： （1）水平线段：两点纵坐标相同：，长度 ；线段平行于x轴。 （2）竖直线段：两点横坐标相同，，长度 ，线段平行于y轴。 （3）斜线段：横、纵坐标均不同，利用两点距离公式+勾股定理求解边长。 【知识点二】坐标系中图形面积计算（必考） 1. 规则图形（直接公式法） （1）直角三角形：直角边为水平、竖直线段，面积 水平长竖直长； （2）矩形/正方形：边长为水平、竖直线段，面积直接用长×宽计算。 2. 不规则图形（割补法核心） （1）补形法：将不规则多边形补成长方形/正方形，用整体面积减去四周多余直角三角形面积。 （2）分割法：将不规则图形分割为若干个直角三角形、矩形，面积求和。 【知识点三】坐标系中特殊三角形判定 1. 直角三角形判定 在坐标系中，三点构成三角形，满足以下任意一种即为直角三角形： （1）有两条边分别平行于x轴、y轴（横竖垂直）； （2）三边长度满足勾股定理逆定理：。 2. 等腰三角形判定 三角形任意两边长度相等，通过两点距离公式计算三边长度，对比边长即可判定。 【知识点四】坐标与图形对称、平移变换 1. 图形对称 图形关于坐标轴、原点对称，等价于图形所有顶点对应对称，对称规律与单点对称一致。 2. 图形平移 （1）左右平移：纵坐标不变，横坐标左减右加； （2）上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减； （3）图形平移后形状、大小不变，仅位置改变，边长、面积保持不变。 【知识点五】中点坐标公式（预习拓展） 已知两点，则线段AB中点坐标： 用途：快速求解线段中点，用于等腰三角形、图形对称综合题。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】坐标法与三角形一边平行于坐标轴的面积 【例题1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，求的面积． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，掌握数形结合思想是解题的关键． 过点A作轴于点C，由点A，B的坐标可得，，再根据三角形的面积公式即可求解． 解：过点A作轴于点C， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出点，连接，根据三角形的面积公式，即可． 解：如图所示， ∵点关于轴的对称点是， ∴点， 连接，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）求的面积． （2）作关于轴的对称图形． 【答案】（1）；（2）作图见分析． 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算以及关于轴对称的图形的绘制，核心知识点为：平行于轴的线段长度计算、三角形面积公式、关于轴对称的点的坐标特征． （1）先根据、两点纵坐标相同判断平行于轴，计算的长度作为底，再求出到的垂直距离作为高，最后代入三角形面积公式求解； （2）利用关于轴对称的点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的特征，求出三个顶点的对称点坐标，再顺次连接各对称点得到对称图形． 解：（1）解：∵，， ∴轴，， 点到的垂直距离为， ∴； （2）解：根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，在平面直角坐标系中顺次连接、、三点，所得即为关于轴的对称图形． 【题型 2】割补法求不规则三角形面积 【例题2】（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 （1）求的面积； （2）在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】（1）9；（2）或；（3）或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 【变式1】（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 【变式3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． （1）求四边形的面积； （2）在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【答案】（1）21；（2）或． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 解：（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 【题型 3】坐标系中判定直角三角形 【例题3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）若点与点关于原点对称，则点的坐标为_____ （2）是否是直角三角形？_____（填“是”或“否”）； （3）仅用无刻度直尺在轴上找一点，使得射线平分． 【答案】（1）；（2）否；（3）见分析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，使用无刻度的直尺作图等知识点． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解； （2）先由勾股定理求解，再计算较短的两边的平方和是否等于最长边的平方即可； （3）取格点，连接与轴交点即为点，由（2）得，则，可证明得到，根据等腰三角形三线合一即可得到射线平分． 解：（1）解：∵，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由勾股定理得，，，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故答案为：否； （3）解：如图，点即为所求； 【变式1】（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形面积求法，点关于轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，则，然后利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形面积得出斜边上高的长，再由勾股定理求出的长，进而得出点坐标，即可得出点关于轴的对称点的坐标． 解：如图，过作于点，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点， ∴点关于轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，并以，，为顶点作． （1）请在网格中画出关于y轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）请判断是否为直角三角形，并说明理由； （3）已知为轴上一点，当的面积为5时，求点的坐标． 【答案】（1）图见分析，，，；（2）是直角三角形，理由见分析；（3）点P的坐标为或 【分析】本题考查轴对称作图，勾股定理与逆定理，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据轴对称的性质求出点，，的坐标，在坐标系中描点后连接成三角形即可； （2）利用网格和勾股定理计算出的三边长，再判断其形状即可； （3）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式构造方程，并求解即可． 解：（1）解：如图所示， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理可得，，， ， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵， ∴，即。 解得，或， ∴点P的坐标为或． 【题型 4】坐标平移与图形面积综合 【例题4】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，将平移得到，其中的对应点是； （1）写出点，的对应点，的坐标：_____，_____； （2）在图中画出； （3）设点在轴上，且的面积等于的面积，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）见分析；（3）或 【分析】本题考查平移，格点三角形的面积，解题的关键是正确找出对应点的位置． （1）由点及其对应点的坐标，可得平移方式，从而可得点，的对应点，的坐标； （2）根据，，的坐标，描点，连线，即可得； （3）根据轴上的点的坐标特征，设出点的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点的坐标． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴将向右平移个单位，向下平移个单位，得到， ∵，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，． （2）解：，，， 如图，即为所求． （3）解：设点的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得，，或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，掌握坐标与平移的关系是解题的关键． 设，由点的坐标、平移可得到、、的长度，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积，得到关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 解：设． ∵点，点的坐标为，线段向右平移3个单位长度得到线段， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，将水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位． （1）请画出平移后的，并写出各点的坐标______；______；______； （2）求的面积； （3）在x轴上存在点Q，使得的面积与的面积相等，直接写出点Q的坐标______． 【答案】（1）图见分析，，，；（2）；（3） 【分析】（1）根据平移的方向与距离作出平移后的图形，再写出相应点的坐标； （2）利用长方形面积减去周围3个直角三角形面积求解； （3）先交平移到，再利用面积法求得，然后求得即可得到点Q的坐标． 解：（1）解：如图，即为所求作的三角形， ，，， 故答案为：，，； （2）的面积=； （3）如图，将向下平移3个单位，再向左平移1个单位，到，则点， 则， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【题型 5】中点公式应用 【例题5】（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． （1）【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． （2）【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； （3）【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为，或 【分析】（1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）分类与中点重合时，与中点重合时，与中点重合时三种情况讨论即可． 解：（1）解：∵，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时， ， ，， 此时； ②与中点重合时， ， ，， 此时； ③与中点重合时， ， ，， 此时， 点的坐标为，或． 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． 解：（1）解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】平面直角坐标系与全等三角形 【例题6】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在边长为1的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，在网格中，作出格点，使与全等，且写出点D的坐标．（作出一个符合要求的即可） 【答案】图见分析，点D的坐标为或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定，根据网格的特点可证明，，再根据坐标系得到的坐标即可得到答案． 解：如图所示，在和中， ， ∴， ∴符合题意， 同理可证明， ∴都符合题意， 综上所述，符合题意的点D的坐标为或或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，， 当与全等时，或， 当时，，但此时； 当时，，即点的坐标为； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为__． 【答案】或或 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，根据全等三角形的性质在平面直角坐标系中画出图形，即可求解．画出所有可能的情况是解题的关键． 解：为等腰直角三角形，斜边， ，， 当与全等时，存在三种情况，如图： 与全等时，，，可得； 与全等时，，，可得； 与全等时，，轴，可得； 综上可知，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，则______，______． （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【答案】（1）见分析；（2），；（3）或或 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形； （2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． 解：（1）如图，即为所求； （2）解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； （3）解：要使与全等， 则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 【题型 7】平面直角坐标系与等腰三角形综合 【例题7】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． （1）直接写出的长为______； （2）点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）5；（2）点坐标为或或或 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，由题可知，，利用勾股定理即可求解； （2）分类讨论①当时，如图，作轴，可得，从而得到点坐标为；②当时，根据，得到点坐标为，点坐标为；③当时，作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接，设，作轴，在中可得，解方程，得到，，从而得到点坐标为． 解：（1）解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵， ∴，， 根据勾股定理，得； （2）解：为等腰三角形， ①当时，如图，作轴， ， 点坐标为， ②当时，如图 ， 点坐标为，点坐标为； ③当时，如图， 作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接， ， 设，作轴， 在中， ， 解得，， 点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，根据轴，可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答． 解：过点A作于点D， 轴， ， ，，， ， ， 点C的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为．若是以为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为__________________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，熟知等腰三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长，再根据即可得出结论． 解：∵点A、点B的坐标分别为， ∴， ∵， ∴C或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标． （1）写出图中点的坐标：_______； （2）若点关于轴对称的点是，写出点的坐标：_______； （3）的面积是_______； （4）已知，在轴上找一点，使为以为腰的等腰三角形，则点的坐标为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）12；（4）或． 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标、等腰三角形的判定、三角形的面积等，掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可； （4）结合等腰三角形的判定、三线合一、勾股定理可得答案． 解：（1）解：由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为． 故答案为：． （3）解：∵点，点， ∴， ∵点， ∴点到直线的距离， ∴ 故答案为：． （4）如图， ①若点为等腰三角形的顶点，即， ∵， ∴或（舍）． ②若点为等腰三角形的顶点，， ∵如图点， ∴轴 ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【题型 8】平面直角坐标系与折叠问题综合 【例题8】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设， ∴，，， 即， ∴，同理可得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，分别以长方形的边所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为．将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交边于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方形的性质，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据长方形的性质和折叠的性质可得，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 解：四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ， ， 点的坐标为，四边形是长方形， ，， 设，则， ， ， 解得， 点的坐标是， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有两点，，是轴上一点，若将沿折叠，当点恰好落在轴上时，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由勾股定理得的长，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 解：如图所示， ，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、点坐标与图形、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据长方形的性质和点坐标可得，根据折叠的性质可得，利用勾股定理可得，则，再设点的坐标为，则，，在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得． 解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， ∵点在边上，，， ∴设点的坐标为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴点的坐标为． 【题型 9】平面直角坐标系与最值问题综合 【例题9】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求： （1）画出点N关于的对称点； （2）当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 【答案】（1）点即为所求： （2）当与E重合时，取得最小值；， 【分析】本题考查了轴对称的性质以及垂线段最短等知识点，掌握相关结论即可． （1）以点为圆心，长为半径画圆，与的交点即为点； （2）作，当与E重合时，取得最小值，据此即可求解． 解：（1）略 （2）解：作，当与E重合时，取得最小值 由轴对称可知：， ∴． ∵ ∴ 即： ∴ 即的最小值是． 【变式1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理． 在轴正半轴上截取，连接，证明，可得，由两点之间线段最短可得，当点、、共线时，取得最小值，最小值为，作轴于点，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 解：∵，， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H，证明，可得，可得到当最小时，最小，从而得到当轴时， 最小，即可解答． 解：如图，以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴当轴时， 最小， ∵点，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点C在y轴上，轴， ∴点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： （1）画出关于x轴的对称图形； （2）的面积为 ； （3）已知P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可； （2）根据网格的特点，的面积等于正方形的面积减去3个三角形的面积； （3）连接，根据，进而根据两点坐标勾股定理即可求得的长，即的最小值． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：； 故答案为：； （3）解：连接， 又， ， 的最小值为． 故答案是：． 【题型 10】平面直角坐标系与存在性问题综合 【例题10】（25-26七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且． （1）求a，b的值； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性即可解答； （2）先计算的面积，可得的面积，利用三角形面积公式，列方程即可解答． 解：（1）解：， ， 解得； （2）解：存在， 根据（1）中结果可得，，， 轴，， ， 设， ， 可得， 或， 或． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】C 【分析】根据各点坐标，分别计算各选项对应内容，逐一判断即可． 解：由已知得，点，，，因为轴，点纵坐标为，所以． 选项A：当时，，，，中点的横坐标为，因此点不是线段的中点，A错误． 选项B：线段的长度为，不是定值，随变化，因此B错误． 选项C：，．若，则，解得，只存在唯一一个满足条件，因此C正确． 选项D：若，则，可得或，解得或，有两个满足条件，因此D错误． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． 设点，根据题意可得，再由的面积为6，可得，即可求解． 解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 【变式3】（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． （1）求点C的坐标和三角形的面积； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为，的面积为10；（2）存在，点D的坐标为或 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 解：（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的原中点坐标，再根据原中点与对应中点的坐标确定平移规律，最后根据平移规律计算点A的对应点坐标． 解：∵， ∴ 线段的中点的坐标为 ∵平移后的对应点为 ∴平移规律为横坐标减，纵坐标减 ∴点对应点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 解：∵四边形是长方形，，， ∴，， 当与全等时，或， 当时，，但此时； 当时，，即点的坐标为； 故选：D． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面坐标系xoy中，已知，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，若，且平移后三角形的面积最大，则此时，m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．根据线段上任一点在平移后的对应点为，其中，得出只能向右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段的长度不变，得出当上的高最大时，面积最大，根据点B距离最远时，面积最大，根据，结合图形，得出当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，即可得出答案． 解：∵线段上任一点在平移后的对应点为，其中， ∴只能向右平移或向下平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大， 即点B距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向下平移个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，如图所示：    此时， 故选：C． 5．（2025·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 解：连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 6．（陕西省安康市2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题）已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 7．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 8．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】易得，分和两种情况进行讨论求解即可. 解：由题意，轴， ∵点是的中点， ∴， ∵是腰长为5的等腰三角形， ∴①当时，则， ∴； ②当，点在点左侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 当，点在点右侧时，作轴，则， ∴， ∴， ∴； 综上点共有3个. 9．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，坐标与图形性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点的运动时间是，则，，然后分两种情况：当点在点左边时或当点在点右边时，列方程，即可求解． 解：在平面直角坐标系中，， ，， ， 设点的运动时间为， 点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ，， 当点在点左边时，如图， △是等腰三角形，， △是等边三角形， ， ， 解得：， ， ， 此时点的坐标为； 当点在点右边时，如图， ， ， 是等腰三角形， ， ， 解得：， ， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，点的平移的坐标变化．根据点的平移的坐标变化判断命题（1）（2）；四边形为线段扫过的图形，根据求解即可判断命题（3）． 即可解答． 解：（1）∵，平移后点与原点重合， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴．故（1）是真命题． （2）三角形向左平移了3个单位长度，， ∴，不与原点重合．故（2）是假命题． （3）如图，四边形为线段扫过的图形． ∵，，， ∴，， ∴． 过点作轴于点D， ∵点与原点重合时，点的坐标为， ∴， ∴， ∴．故（3）是真命题． 综上，（1）（3）是真命题． 故选：B （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知点与点，且直线与坐标轴围成的三角形面积等于，则a的值是______． 【答案】 【分析】根据点，的坐标得到，的长度，再根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可求解． 解：∵点，点， ∴，， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积等于， ∴， 整理得， 解得． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据点的坐标求出的长，进而根据三角形的面积列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 解：∵点和点， ∴，， ∵直线与坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，关于轴对称的点的坐标特征． 根据折叠的性质和关于轴对称的点的坐标特征，可知点和点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得点的坐标． 解：∵将点沿轴折叠，得到对应点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·河南安阳·期末）嘉嘉探究线段的中点的坐标时，发现如下结论：在平面直角坐标系中，已知两点，，则线段的中点的坐标为，例如：点，，则线段AB的中点M的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是，则的值等于______． 【答案】或 【分析】先根据中点公式表示出点的坐标，再根据题意得出点的横坐标为，纵坐标为，分别计算即可． 解：∵点，， ∴线段的中点的坐标为， ∵点位于轴上，且到轴的距离是， ∴，， 当时， 解得， ∴； 当时， 解得， ∴； 综上所述，或． 15．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为______________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，根据题意可得与关于直线成轴对称，据此即可求出的坐标． 解：∵以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合）， ∴与关于直线成轴对称， ∴与关于直线成轴对称， 由题意可得直线为， ∵的坐标为 ∴的坐标为， 故答案为： 16．（24-25八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长度，利用两点间距离公式即可求解. 解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 17．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，且，，若以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标______． 【答案】 解：∵为直角三角形，且，， ∴， ∵点在第三象限， ∴点的坐标为 ． 18．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与简单图形计算，直角三角形计算．作关于的对称点，连接交于，此时就是的最小值．通过直角三角形计算即可求出长度． 解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作，点在上，连接交于．此时就是的最小值． ，点的坐标为， ，，， 和关于对称， ，， ， ， ， 由可得， ， ， ， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． （1）填空：点A的坐标是__________，点B的坐标是__________； （2）求的面积； （3）已知在y轴上有一点，使得的面积恰好是面积的2倍，求P点的坐标． 【答案】（1）,；（2）5；（3）点或 【分析】本题考查了坐标与平面综合，涉及点的坐标表示，三角形的面积相关知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据C点的坐标和坐标原点确定小正方形的边长为1个单位长度，直接确定点的坐标； （2）利用割补法求面积； （3）先根据的面积恰好是面积的2倍求出的面积，再由三角形面积公式求出，即可求解点坐标． 解：（1）解：由坐标系可知 ,； 故答案为：,； （2）解：， ∴的面积为5； （3）解：由题意得， ∴， ∴， ∴点或． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为． （1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ． （2）求出平移后三角形的面积． （3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标． 【答案】（1）三角形如图所示：        ，，；（2）6；（3）点的坐标为或． 【分析】本题考查了平移、坐标与图形等知识点．根据对应点确定平移规律是解题关键． （1）由点A,可得左右平移规律，由点C，可得上下平移规律； （2）计算出三角形的面积即可； （3）根据三角形面积公式列式得，据此计算即可求解． 解：（1）∵三角形中一点平移后的对应点的坐标为， ∴平移规律为： 向右平移个单位长度，向下平移：个单位长度， 进而可得三角形； （2）； （3）∵三角形的面积正好是三角形的面积的2倍， ∴， 整理得， 解得：或 故点的坐标为或． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． （1）求a，b的值； （2）在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【答案】（1）；（2）30 【分析】（1）根据中点坐标公式，得，解方程组即可； （2）根据平移，轴对称先确定各点的坐标，再利用梯形的面积求解即可． 解：（1）解：根据中点坐标公式，得， 整理，得， 解得； （2）解：根据，， 故，， 又点向右移动4个单位长度得到点， 故， 又点沿轴翻折后得到点， 故，描点如下： 故，且，平行线间的距离为， 故图形的面积为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·福建福州·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标________； （2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，且点D在直线的上方，那么点D的坐标是________． 【答案】（1）图见分析，点的坐标；（2）点D的坐标是 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，全等三角形的判断，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据网格的特点可证明，再结合点D的位置可得答案． 解：（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：如图所示，即为所求． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． （1）判断直线与直线的位置关系，说明理由； （2）若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； （3）点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【答案】（1）垂直，理由见分析；（2）点P的坐标为或；（3）点的坐标或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 解：（1）解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； （3）解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中如图所示，已知点． （1）请求出； （2）轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 【答案】（1）6.5；（2）存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）根据点的位置，分点在点C左边和右边两种情况，根据三角形面积公式，分别列方程即可求解． 解：（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下：如图， ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $