2026年苏科版七升八数学暑期预习讲义（第4讲）——等腰三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第4讲）——等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】等腰三角形的概念（基础必考） 1 【题型 1】利用等腰三角形定义求值 2 【知识点二】等腰三角形的性质定理（核心必考） 3 【题型 2】利用等边对等角求角度 4 【题型 3】等腰三角形三线合一专项应用（计算+证明） 6 【知识点三】等腰三角形的判定定理（证明必考） 8 【题型 4】等角对等边判定等腰三角形 9 【题型 5】等腰三角形性质与判定求值 12 【题型 6】等腰三角形性质与判定求值证明 15 【知识点四】等边三角形的性质与判定（进阶必考） 20 【题型 7】等边三角形性质与判定基础训练 20 【知识点五】等腰三角形综合拔高（期末+中考必考） 24 【题型 8】等腰三角形几何综合大题 24 二.同步自测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握等腰三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】等腰三角形的概念（基础必考） 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、各部分名称：① 相等的两条边叫做腰；② 另一条边叫做底边；③ 两腰的夹角叫做顶角；④ 腰与底边的夹角叫做底角。 3、特殊关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 【要点提示】判断等腰三角形只需看：是否存在两条边相等或两个角相等。 【题型 1】利用等腰三角形定义求值 【例题1】（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． （1）若x为奇数，求x的值； （2）若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）或或或；（2） 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 解：（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 【变式1】（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．2 B．12 C．2或5 D．5 【答案】D 【分析】题目未明确等腰三角形的腰和底，需要分情况讨论，结合三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 解：分两种情况讨论：①当腰长为时，三角形三边长为，∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； ②当腰长为时，三角形三边长为，∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴这个等腰三角形的腰长为． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰长和底边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到符合条件的腰长． 解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ，不满足三角形三边关系， 这种情况不成立，舍去； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ，满足三角形三边关系， 此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为． 【变式3】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，等腰即为所求． 【分析】作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段垂直平分线的性质得到． 解：略 【知识点二】等腰三角形的性质定理（核心必考） 1、性质1（等边对等角）：等腰三角形的两腰相等，对应的两个底角相等。 几何语言：若AB=AC，则∠B=∠C。 2、性质2（三线合一，本章最大重难点）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 【要点提示】三线合一只针对：顶角、底边，腰上的高、中线、角平分线不重合！ 3、等腰三角形对称性： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线所在直线（底边中线、底边高所在直线）。 等腰三角形口诀：等边对等角，三线共一线，轴对称不变 【题型 2】利用等边对等角求角度 【例题2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在中，，于． （1）求证：； （2）分别交、于、，若，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，等边对等角． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据等边对等角可得，根据对顶角相等得出，即可得出，进而根据等角的余角相等，即可得证． 解：（1）证明：，于， ，， ； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，为垂足，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线定理可得，再由垂直平分线的性质可得，然后即可得到． 解：，是的平分线， ， 垂直平分， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】/72度 【分析】首先求出，然后由全等得到，，然后利用等边对等角求解． 解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出是正确解答本题的关键． 由是的垂直平分线得，从而得到，结合与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 解：解∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【题型 3】等腰三角形三线合一专项应用（计算+证明） 【例题3】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 解：（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，若，则的长度为_______ 【答案】4 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的三线合一进行求解即可． 解：∵，平分，， ∴； 故答案为：4． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一， 连接，，由题中已知条件可证明，即可得到，则为等腰三角形，又因为F为中点，根据三线合一可得. 解：证明：连接，， 在和中， , ． ． 点是的中点， ． 【知识点三】等腰三角形的判定定理（证明必考） 等腰三角形秒杀口诀：等边对等角，三线共一线，轴对称不变 1、判定方法一（定义法）：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2、判定方法二（等角对等边）： 在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 几何语言：若∠B=∠C，则AB=AC。 【要点区分】性质：边相等 → 角相等（由边推角）；判定：角相等 → 边相等（由角推边）。 判定口诀：等边对等角是性质，等角对等边是判定 【题型 4】等角对等边判定等腰三角形 【例题4】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． （1）求证：平分； （2）求证：点在的垂直平分线上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 解：（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质， 点在的垂直平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而求解． 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线的性质． 解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·福建南平·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ． （2）24 【分析】（1）可证，，即可得证； （2）作交于，可求，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图，作交于， 平分，， ， ． 【题型 5】等腰三角形性质与判定求值 【例题5】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若___________，求证：．（请从信息①为的中点，②中选择一个填横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下，用圆规和无刻度的直尺作中边上的高（保留作图痕迹，不写作法），若，求的长． 【答案】（1）①（或②）；证明见分析；（2）见分析； 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质分别进行证明即可； （2）根据尺规作垂线的方法作图即可；根据含角的直角三角形的性质得出，根据，，得出． 解：（1）解：选①： ∵是等边三角形，且D为的中点， ∴平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 选②： ∵是等边三角形，， ∴平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求的高线； ∵， ∴， ∵在等边中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，平分，得到是底边上的中线，继而得到的长度． 解：，平分， 是等腰底边上的中线， ． 【变式2】（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分边长为的边为腰和底边两种情况，结合构成三角形的条件进行求解． 解：①当边长为的边是腰时，则另一腰长为，底边长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； 故底边长为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，是上的高，，交于点，，求的周长． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据平行线的性质得出，进而得出，最后可求出答案． 解：在中，，是上的高， ，， ， ， ， ， 的周长为： ， ， ∴的周长为． 【题型 6】等腰三角形性质与判定求值证明 【例题6】（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； （2）证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026·河北承德·二模）如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可知，，，，又等腰 的顶角，可得，，，从而得到，，，而． 解：∵等腰的顶角， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到，点在边上， ∴，，， ∴，， ∵， ∴平分， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，的平分线与相交于点D，过点B作交的延长线于点E．分别延长， 相交于点F．判断，的数量关系．____. 【答案】 【分析】证明和 ，得到，进而解题． 解：， ， ， ， ， ， 在和中， ∴； ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏常州·二模）如图，，，、相交于点O． （1）求证：； （2）连接，则与的数量关系是_____． 【答案】（1）证明：在和中， ∴； （2） 【分析】（1）根据“”证明； （2）由得，得，进而得出，从而可得出． 解：（1）略； （2）解：如图， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【知识点四】等边三角形的性质与判定（进阶必考） 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形性质：① 三边全部相等；② 三个内角都相等，且都等于60°；③ 三条对称轴，任意边上都满足“三线合一”。 3、等边三角形判定三种方法：① 三边相等的三角形是等边三角形；② 三角相等的三角形是等边三角形；③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用）。 等边三角形口诀：三边等、三角六零，等腰六十即等边 【题型 7】等边三角形性质与判定基础训练 【例题7】（陕西省渭南市部分学校2025~2026学年度第二学期期末阶段作业八年级数学）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； （2） 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为_________． 【答案】/ 解：由旋转的性质得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 解：（1）略 （2）略 【知识点五】等腰三角形综合拔高（期末+中考必考） 综合考点：等腰+平行线模型、等腰+角平分线模型、多等腰嵌套、动点角度计算、三线合一综合证明、等边三角形综合推理。 【题型 8】等腰三角形几何综合大题 【例题8】（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，的两条高、相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【答案】（1）证明：∵、分别是、边上的高， ∴； ∵，， ∴， 在与中 ，． ∴ ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，再利用“”证明全等即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质，得出，进而证明即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据余角的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江西九江·二模）如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·山西晋城·期中）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，D是射线BC上一点，点E在的右侧，线段． 且． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段与之间的数量关系：________． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （3） “钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）， 理由：∵，， ∴， 即， 在和中： ∴（）， ∴． （3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （2）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （3）本题分两种情况讨论，即当在之间时，和当在点右边时，根据每种情况求相等的角，再结合三角形全等得判定求解即可． 解：（1） 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴． （2） 略 （3）或； 解：本题分两种情况， 情况一：当在之间时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ， 故． 情况二，当在点右边时，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖南岳阳·二模）等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（     ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长． 解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一性质推出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，即可得解． 解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∴是直角三角形； ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，根据等角对等边可得，，于是可得结论． 解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为： . 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可得，由得到，即可求解． 解：如图，过点作， 在以为底边的等腰中， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 解：∵，， ∴． 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质求出的长，根据垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，最小值为 ． 解：如图，连接， ，，， ， 垂直平分， ， 的周长， 两点之间线段最短， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 周长的最小值． 10．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·河北邯郸·三模）如图，树叶上两点A，关于直线对称，P为上任意一点．若，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】根据轴对称的性质，可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：∵点A与点关于直线对称， ∴． ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 13．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，是的高，，则的长是________． 【答案】4 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据等角对等边，结合三线合一和勾股定理进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； 故答案为：4． 14．（25-26九年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 【答案】 【分析】由得到，根据作图步骤得到，进而得到，即可得到． 解：∵， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ． 15．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，P是等边的边上一点，以点A为中心，把逆时针旋转至，则旋转的角度为______°． 【答案】60 【分析】由旋转得，得，从而可求旋转角． 解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转得， ∴， 又旋转角为， 而， ∴． 16．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 17．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 先根据轴对称性质求得，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而可求解． 解：由轴对称性质得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 18．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）将两个等腰直角和如图所示放置，其中A、O、C在同一直线上，连接，若，则______． 【答案】 【分析】设，则，根据和的面积和，得到，再代入的面积公式求解即可． 解：等腰直角和，A、O、C在同一直线上， ，，， 设， ， ， ， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东·期末）已知：如图，是 的高，E 是上一点，．求证：是等腰三角形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一证明，结合证明，根据全等三角形的性质可得结论． 解：证明：∵是的高，E 是上一点， ∴是的高，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，中，，点为的中点，连接． （1）请你写出两个正确结论：________ （2）当时，还可以得出正确结论：________ 【答案】（1），；（2）是等边三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合），写出两个结论即可； （2）根据等边三角形的判定定理“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可得是等边三角形． 解：（1）解：∵， ∴是等腰三角形， 又∵点为的中点， ∴可得：， ∵是等腰底边 上的中线， ∴也是底边上的高， ∵已知点为的中点， ∴； 故答案为：①；②； （2）∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是等边三角形． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． （1）求证：； （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由推得，根据边角边推得三角形全等； （2）由推得，根据等腰三角形的判定得到是等腰三角形，所以，结合推得是等边三角形． 解：（1）（1）， ， 即． ，， ． （2）（2）， ， 是等腰三角形， ． ， 是等边三角形． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求周长． 【答案】（1）证明：，点是边上的中点， 平分， 又，， ； （2） 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得平分，再根据角平分线的性质即可求证； 先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质解答即可求解． 解：（1）略 （2）解：，， 为等边三角形， ∵点是边上的中点，， ， ， 的周长为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． （1）求证：为等腰三角形． （2）若E为的中点，求证：． 【答案】（1）见分析（2）见分析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 解：（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】等腰三角形的概念（基础必考） 1 【题型 1】利用等腰三角形定义求值 2 【知识点二】等腰三角形的性质定理（核心必考） 2 【题型 2】利用等边对等角求角度 2 【题型 3】等腰三角形三线合一专项应用（计算+证明） 3 【知识点三】等腰三角形的判定定理（证明必考） 4 【题型 4】等角对等边判定等腰三角形 5 【题型 5】等腰三角形性质与判定求值 6 【题型 6】等腰三角形性质与判定求值证明 7 【知识点四】等边三角形的性质与判定（进阶必考） 8 【题型 7】等边三角形性质与判定基础训练 8 【知识点五】等腰三角形综合拔高（期末+中考必考） 9 【题型 8】等腰三角形几何综合大题 9 二.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握等腰三角形所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】等腰三角形的概念（基础必考） 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、各部分名称：① 相等的两条边叫做腰；② 另一条边叫做底边；③ 两腰的夹角叫做顶角；④ 腰与底边的夹角叫做底角。 3、特殊关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 【要点提示】判断等腰三角形只需看：是否存在两条边相等或两个角相等。 【题型 1】利用等腰三角形定义求值 【例题1】（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． （1）若x为奇数，求x的值； （2）若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【变式1】（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．2 B．12 C．2或5 D．5 【变式2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为___________． 【变式3】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【知识点二】等腰三角形的性质定理（核心必考） 1、性质1（等边对等角）：等腰三角形的两腰相等，对应的两个底角相等。 几何语言：若AB=AC，则∠B=∠C。 2、性质2（三线合一，本章最大重难点）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 【要点提示】三线合一只针对：顶角、底边，腰上的高、中线、角平分线不重合！ 3、等腰三角形对称性： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线所在直线（底边中线、底边高所在直线）。 等腰三角形口诀：等边对等角，三线共一线，轴对称不变 【题型 2】利用等边对等角求角度 【例题2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在中，，于． （1）求证：； （2）分别交、于、，若，求证：平分． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，为垂足，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，中，，是的垂直平分线，，求的度数． 【题型 3】等腰三角形三线合一专项应用（计算+证明） 【例题3】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，若，则的长度为_______ 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：． 【知识点三】等腰三角形的判定定理（证明必考） 等腰三角形秒杀口诀：等边对等角，三线共一线，轴对称不变 1、判定方法一（定义法）：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2、判定方法二（等角对等边）： 在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 几何语言：若∠B=∠C，则AB=AC。 【要点区分】性质：边相等 → 角相等（由边推角）；判定：角相等 → 边相等（由角推边）。 判定口诀：等边对等角是性质，等角对等边是判定 【题型 4】等角对等边判定等腰三角形 【例题4】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． （1）求证：平分； （2）求证：点在的垂直平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·福建南平·期末）如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【题型 5】等腰三角形性质与判定求值 【例题5】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边中，，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若___________，求证：．（请从信息①为的中点，②中选择一个填横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）在（1）的条件下，用圆规和无刻度的直尺作中边上的高（保留作图痕迹，不写作法），若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，是上的高，，交于点，，求的周长． 【题型 6】等腰三角形性质与判定求值证明 【例题6】（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 【变式1】（2026·河北承德·二模）如图，等腰 的顶角，若将其绕点顺时针旋转，得到，点在边上，交于，连接则下列结论错误的是（     ） A． B． C．平分 D． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，的平分线与相交于点D，过点B作交的延长线于点E．分别延长， 相交于点F．判断，的数量关系．____. 【变式3】（2026·江苏常州·二模）如图，，，、相交于点O． （1）求证：； （2）连接，则与的数量关系是_____． 【知识点四】等边三角形的性质与判定（进阶必考） 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形性质：① 三边全部相等；② 三个内角都相等，且都等于60°；③ 三条对称轴，任意边上都满足“三线合一”。 3、等边三角形判定三种方法：① 三边相等的三角形是等边三角形；② 三角相等的三角形是等边三角形；③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（最常用）。 等边三角形口诀：三边等、三角六零，等腰六十即等边 【题型 7】等边三角形性质与判定基础训练 【例题7】（陕西省渭南市部分学校2025~2026学年度第二学期期末阶段作业八年级数学）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为_________． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【知识点五】等腰三角形综合拔高（期末+中考必考） 综合考点：等腰+平行线模型、等腰+角平分线模型、多等腰嵌套、动点角度计算、三线合一综合证明、等边三角形综合推理。 【题型 8】等腰三角形几何综合大题 【例题8】（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，的两条高、相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，平分，于点D，，延长相交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式2】（2026·江西九江·二模）如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【变式3】（23-24八年级上·山西晋城·期中）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，D是射线BC上一点，点E在的右侧，线段． 且． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段与之间的数量关系：________． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （3） “钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段之间的数量关系． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·湖南岳阳·二模）等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（     ） A．13 B．17 C．13或17 D．21 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，已知和的平分线相交于点F．过点F作，交于点，交于点E．若，，则的周长为（　 ） A．8 B．9 C．10 D．13 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 9．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 10．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·河北邯郸·三模）如图，树叶上两点A，关于直线对称，P为上任意一点．若，则的度数为________． 12．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 13．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，是的高，，则的长是________． 14．（25-26九年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图所示，直线，直线分别与，相交于点A，B．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则线段的长为________ ． 15．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，P是等边的边上一点，以点A为中心，把逆时针旋转至，则旋转的角度为______°． 16．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 17．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 18．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）将两个等腰直角和如图所示放置，其中A、O、C在同一直线上，连接，若，则______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东·期末）已知：如图，是 的高，E 是上一点，．求证：是等腰三角形． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，中，，点为的中点，连接． （1）请你写出两个正确结论：________ （2）当时，还可以得出正确结论：________ 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·期中）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． （1）求证：； （2）若，求证：是等边三角形． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． （1）求证：；（2）若，，求周长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． （1）求证：为等腰三角形． （2）若E为的中点，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $