第14讲 变量与函数12大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第14讲 变量与函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数的概念 题型2 函数解析式 题型3 求自变量的取值范围 题型4 求自变量的值或函数值 题型5 用表格表示变量间的关系 题型6 用关系式表示变量间的关系 题型7 用图象表示变量间的关系 题型8 函数图象的识别 题型9 从函数的图象获取信息 题型10 用描点法画函数图象 题型11 动点问题的函数图象 题型12 函数的三种表示方法 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 变量与常量 函数的概念 函数的表示方法 函数的图象 1. 理解变量、常量概念，能区分实际问题中的两类量 2. 掌握函数定义，判别两个变量是否具备函数关系 3. 学会列简单函数解析式，明确自变量取值范围 4. 能结合实例分析函数意义，初步建立数形思维 5. 运用函数知识解决基础实际问题，提升建模能力 学习重点：掌握变量、常量及函数的核心概念，能列出简单实际问题的函数解析式。 学习难点：准确理解函数唯一对应关系，合理确定自变量的取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 变量与常量 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 即时即练 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（ ） A． 均是变量，是常量 B．是变量，2、 是常量 C．和均是变量，2和是常量 D．是变量，是常量 【答案】C 【分析】在变化过程中，数值固定不变的量是常量，数值可以发生变化的量是变量，根据定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变． ∴和是常量． 又∵半径可取不同数值，周长随的变化而变化． ∴和是变量． 2．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 3．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 知识点02 函数的概念 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 即时即练 4．下列各曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 只有A选项中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意． 5．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项B，中，任意给定一个合法的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义； 选项C，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义； 选项D，当时，，y有两个不同的值对应x，不符合函数定义． 6．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个分析即可． 【详解】解：①，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ②，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数； ③，不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②． 知识点03 函数的三种常见表示方法 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 即时即练 7．有一种树苗的高度（单位：）与生长年数的相关数据如下表所示，发现树苗的高度与生长年数在一定范围内满足关系式，则____________． 生长年数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 树苗高度 100 115 130 145 160 175 190 … 【答案】205 【分析】本题考查了函数的表示方法，函数关系式，掌握数量关系是解决此题的关键． 根据树苗高度与生长年数的关系式，将代入计算的值即可． 【详解】解：根据题意可知，树苗的高度与生长年数满足关系式， 当时，． 故答案为：． 8．如图，某商场一辆购物车车身总长为米，将购物车叠放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加米．用（米）表示叠放的购物车车身总长，用（辆）表示叠放的购物车数量，则与之间的关系式为________． 【答案】 【详解】解：∵某商场一辆购物车车身总长为米，每增加一辆购物车，车身总长增加米， ∴当叠放的购物车数量为辆时，，即． 9．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 【答案】 100 甲 8 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，谁用时短谁跑得快，可得答案； （3）根据“速度路程时间”，即乙的路程除以乙的时间，可得答案． 【详解】解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑； 故答案为：100； （2）由横坐标看出，甲的用时短，先到达终点的是甲； 故答案为：甲； （3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒， 乙在这次赛跑中的速度为（米/秒）， 故答案为：8． 知识点04 函数的图象 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 即时即练 10．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 11．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 12．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 题型1 函数的概念 1．在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于自变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则不是，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、B、C中，对于定义域内任意一个x，都只有唯一确定的y值与之对应， ∴这三个选项都能表示y是x的函数； 对于选项D，，当x取任意一个正数时，比如取，可得和两个值， ∴此时一个x对应两个y值，不满足函数定义，不能表示y是x的函数． 2．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 结合图象，利用“垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点”这一性质进行判断即可． 【详解】解：.对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 存在某个的值，对应多个的值（作垂直于轴的直线与图象有多个交点），故不是的函数，该选项符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意． 3．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 【答案】②④⑦ 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式． 【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数； ⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数； ⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数． ∴，不是的函数的是②④⑦． 故答案为：②④⑦． 【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求． 4．下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是______．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； ④不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，是的函数的是①②， 故答案为：①②． 题型2 函数解析式 5．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用x张白纸的长度减去粘合部分的长度可得一次函数解析式． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， ∴． 6．某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菜园的三边的和为，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， ， ， ，， ， 解得， ． 7．超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 【答案】 【分析】根据单价乘以重量等于价格，将不超过的价格加上超过的价格即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，． 8．现向一个容积为的空水池中注水，注水速度为，水池中的水量（单位：）随注水时间（单位：）的增加而增加． (1)指出这个问题中的常量； (2)写出表示与的函数关系的式子； (3)写出自变量的取值范围． 【答案】(1) 常量为水池容积和注水速度 (2) (3) 【分析】（1）根据常量是在一个变化过程中，数值不发生变化的量，解答即可； （2）根据水池中的水量=注水速度注水时间，结合已知条件列出函数关系式即可； （3）自变量x的取值范围需要考虑实际情况，即注水时间不能为负数，且水池注满水时注水时间达到最大值． 【详解】（1）解：常量是水池容积和注水速度； （2）解：由题意得，与的函数关系式为 （3）解：， ． 题型3 求自变量的取值范围 9．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，初中数学中，整式函数的自变量取值范围为全体实数，分式的分母不能为0，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、是正比例函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项B、是一次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项D、是二次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． 选项C、是分式，∵分式的分母不能为0，∴，自变量的取值范围是，不是全体实数． 10．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 11．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 12．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是______．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 题型4 求自变量的值或函数值 13．当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将给定的的值代入函数解析式，计算即可得到对应函数值． 【详解】解：将 代入解析式得 ． 14．已知，且，那么实数k的值为_______． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得． 15．将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． (1)求张白纸粘合后的总长度； (2)设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)；当时， 【分析】（1）4张纸不重叠总长度：；4张纸粘合，重叠段数：段，总共减少长度：；总长度=全部单张总长重叠减少的长度； （2）张纸不重叠总长：；重叠段数，总重叠减少长度：；总长度单张总长重叠减少长度，整理得到一次函数，再代入求值． 【详解】（1）解：总长度， 所以4张白纸粘合后的总长度为． （2）解：， ， ， 把代入解析式： ． 16．当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时， (3) 当时，；当时， 【分析】直接将数值代入函数关系式，再计算即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，； 当时，． 题型5 用表格表示变量间的关系 17．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的重量x（千克）间有下列关系（假设弹簧不会折断）． x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 所挂物体重量为24千克时，则弹簧的长度为（） A．21.5厘米 B．22厘米 C．22.5厘米 D．23厘米 【答案】B 【分析】根据表格数据得到弹簧长度y与物体重量x的函数关系，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：观察表格数据可得x每增加1千克，y增加0.5厘米，且时，， ∴y与x的函数关系式为 把代入函数关系式，得 ，即弹簧长度为22厘米． 18．我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示： 年份 国内生产总值/亿元 国内生产总值随年份的变化而变化，当时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查表格数据的读取，只需从表格中找到对应的值即可得到答案． 【详解】解：由题中表格可知，表示年份，表示对应年份的国内生产总值． 当时，． 19．科学家实验发现，声音在不同气温下的传播速度不同，我校科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 334 某日的气温为，根据以上表格，可以知道这一天声音在空气中的传播速度是________． 【答案】 【分析】根据表中信息，气温每上升声音在空气中的传播速度增大，可得声音在空气中的传播速度与气温的关系式，然后，再将代入关系式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 当时，． 20．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 题型6 用关系式表示变量间的关系 21．炎炎夏日，一池清水让人感觉清凉．为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水，换水时关闭进水孔打开排水孔．设某游泳池的存水量为立方米，以每小时立方米的速度匀速将水排出．借助智能系统得到了如下数据： 排水时间（/时） 1 2 3 4 游泳池的存水量（/立方米） (1)请直接写出________，________，________． (2)写出与的关系式并求排完水所用的时间． 【答案】(1)，， (2)小时 【详解】（1）解：由表格可知，排水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少立方米， 故， ∴，； （2）解：由（1）可知，排水前的存水量为立方米， ，      ∴排完水的时间为小时. 22．某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； (3)若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 【答案】(1) 包裹质量；运费 (2) （x为不小于实际包裹质量的最小正整数） (3) 符合收费标准 理由：包裹质量为，根据收费规则，按计算， 把代入，得， 计算所得运费与快递公司收取的运费一致，因此符合收费标准． 【分析】（1）根据变量的变化关系判断自变量和因变量； （2）根据表格数据总结运费与包裹质量的变化规律列出关系式； （3）根据收费规则计算对应质量的运费，判断是否符合收费标准． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，运费随包裹质量的变化而变化，因此自变量是包裹质量，因变量是运费； （2）解：根据表格数据可得，包裹质量为时，运费为8元，包裹质量每增加，运费增加3元，题目要求包裹质量不足按计， 则，整理得，（其中x为不小于实际包裹质量的最小正整数）； （3）略 23．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值： 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（） 47 52 57 62 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)写出叠放凳子的总高度（）与凳子的数量（个）之间的关系式_____________； (3)按这样的规律，将若干个凳子叠放后总高度为，求凳子的数量． 【答案】(1) 凳子的数量；叠放凳子的总高度 (2) （为正整数） (3) 个 【分析】（1）根据因变量和自变量的概念解题即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：叠放凳子的总高度随的变化而变化，因此自变量是凳子的数量，因变量是叠放凳子的总高度； （2）解：由题意得，， ∴； （3）解：当时，， 故凳子的数量为10个． 24．如图，在长方形中，，，动点从点出发沿边以的速度运动，达到点后再以同样的速度沿返回到点，四边形的面积是． (1)请写出当时，与点的运动时间的关系式； (2)当四边形的面积是56时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，进而得到，再根据求解； （2）求出时，与的关系式，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：在长方形中，，， ， ∵动点从点出发沿边以的速度运动， ∴当时，点从点出发沿运动， ，则， ， ， ； （2）解：∵动点从点出发沿边以的速度运动，达到点后再以同样的速度沿返回到点， ∴当时，， ， ， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，或． 题型7 用图象表示变量间的关系 25．小华骑自行车从家出发去图书馆上自习，行驶了一段时间后，想起本来约好和同学小亮一起去图书馆，于是又折返回刚经过的小亮家，约上小亮后继续赶往图书馆，直到抵达．如图是小华行驶过程中离家的距离与时间关系的图象． 根据图象中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)图中段可能发生了______； (3)求整个行程过程中，小华的最快速度是多少米/分钟？ (4)当小华离家的距离为700米时，请直接写出小华出发了多长时间． 【答案】(1)时间，离家的距离 (2)在小亮家停留，等候小亮（答案不唯一） (3)400米/分钟 (4)分钟或3分钟或分钟 【分析】（1）离家的距离是随着时间的变化而变化的，据此解答即可； （2）段时间增加，离家的距离始终不变，说明小华在此停留，据此解答即可； （3）分四段：分钟、分钟、分钟、分钟，利用路程除以时间即可得； （4）设小华出发了分钟，分四种情况：①，②，③和④，分别建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵离家的距离是随着时间的变化而变化的， ∴自变量是时间，因变量是离家的距离． （2）解：由图象可知，段时间增加，离家的距离始终不变，说明小华在此停留， 则图中段可能在小亮家停留，等候小亮． （3）解：分钟：小华的速度为（米/分钟）， 分钟：小华的速度为（米/分钟）， 分钟：小华停留未动，速度为0米/分钟， 分钟：小华的速度为（米/分钟）， ∵， ∴在整个行程过程中，小华的最快速度是400米/分钟． （4）解：设小华出发了分钟， ①当时，则，解得，符合题设； ②当时，则，解得，符合题设； ③当时，小华离家的距离为600米，不符合题意，舍去； ④当时，则，解得，符合题设； 综上，小华出发了分钟或3分钟或分钟． 26．小明和妈妈在一条笔直的跑道上跑步，到达起点后，妈妈直接匀速跑步前行，小明则先做了一会儿准备活动．当小明出发时，妈妈已经距离起点米，小明匀速跑了秒后，停留片刻，再放慢速度继续匀速跑步前行．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题： (1)小明出发之后，前秒的速度是___________米/秒；妈妈的速度是___________米/秒； (2)___________； (3)求小明出发后的秒内，两人何时相距米． 【答案】(1)6，2 (2)300 (3)小明出发后的110 秒内，两人在40秒、60秒和90秒时相距40米 【分析】（1）根据图象，结合路程、时间、速度关系求解即可； （2）设小明出发t秒时，两人相遇，此时两人距起点的距离为a米，进而列方程求解即可； （3）分为三种情况：两人相遇前；两人相遇后，小明停留前；小明停留时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，小明出发之后，前70秒的速度是（米/秒）， 妈妈的速度是（米/秒）； （2）解：设小明出发t秒时，两人相遇，由图知，此时两人距起点的距离为a米， 由（1）得， 解得，； （3）解：由图知，分三种情况： 两人相遇前：由，解得； 两人相遇后，小明停留前：由，解得； 小明停留时：由，解得， 综上，小明出发后的110 秒内，两人在40秒、60秒和90秒时相距40米． 27．西安滨河学校开展校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中信息回答下列问题： (1)图中自变量是 ． (2)小明家到学校的路程是 米．小明在书店停留了 分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)离家的时间 (2)1500；4 (3)在整个上学的途中0～6分钟时速度最快，在安全限度内 【分析】（1）根据函数的相关概念进行求解即可； （2）根据函数图象可直接进行求解； （3）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间，因变量是离家的路程； （2）解：∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校， ∴小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）； （3）解：由图象可知：0～6分钟时，平均速度（米/分）， 6～8分钟时，平均速度（米/分）， 12～16分钟时，平均速度（米/分）， ∴在整个上学的途中0～6分钟时速度最快，在安全限度内． 28．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 【答案】(1)先增加后减少，其中减少分为两段，先减少的慢，后减少的快 (2) 【分析】（1）通过分析图象中两组之间的距离随第一组出发时间的变化趋势，即可解答； （2）通过分析图象得出第二组的出发时间和抵达时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知， 在时，第一组出发，第二组没出发，两组之间的距离增加， 在时，两组同时匀速前进，两组之间的距离减少， 在时，第一组已抵达目的地，两组之间的距离减少的更快． （2）解：由题意可知，第二组在时出发，在时抵达目的地， 故第二组从出发到抵达目的地共用了． 题型8 函数图象的识别 29．下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应；从图象上看，就是作垂直于轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】解： A、对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数定义，故本选项正确； B、对于的某些值，有三个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误； C、对于的某些值，有两个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误； D、对于的某些值（），有两个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误． 30．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 31．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 32．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 题型9 从函数的图象获取信息 33．随着智慧社区建设不断推进，幸福里社区引入两款智能配送机器人“小晋”与“小美”，两台机器人从社区中心仓库出发，匀速前往目的地配送包裹．已知：小晋率先从仓库出发，小美在小晋出发10秒后从同一位置启程，它们全程匀速直行，中途无停留、不折返．下图反映了配送机器人行驶路程与小晋出发时间之间的关系．若小美的行驶速度为，根据图象回答下列问题： (1)幸福里社区与仓库的距离为______； (2)小晋的行驶速度为______； (3)______先到达目的地，早到______； (4)请直接写出小美出发多久后，两台配送机器人首次相遇． 【答案】(1)480 (2)8 (3)小美，20 (4) 【分析】（1）根据图象可得答案； （2）利用小美的行驶速度为，列式求解即可； （3）根据图象可得答案； （4）设小美出发后，两台配送机器人首次相遇，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：由图象可得：幸福里社区与仓库的距离为. （2）解：∵小美的行驶速度为， ∴； ∴小晋的行驶速度为； （3）解：，； ∴小美先到达目的地，早到. （4）解：设小美出发后，两台配送机器人首次相遇， ∴， 解得：， ∴小美出发后，两台配送机器人首次相遇. 34．家、书店、图书馆依次分布在一条笔直的街道上，书店距离小周家，图书馆距离小周家．小周从家匀速走到书店，停留一段时间后继续匀速走到图书馆，在图书馆停留分钟后，从图书馆匀速返回家中．小周离家的距离随离开家的时间变化的关系图象如下： (1)小周从家出发到回到家一共用了多长时间？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)小周整个过程中（停留时间不计）的平均速度是多少？ 【答案】(1)； (2)小周离开家时，离家的距离是； (3)． 【分析】由图象可知当时，，从而求得小周从家出发到回到家的时间； 根据图象可得小周在图书馆停留了分钟，得出点表示的意义是小周离开家时，离家的距离是； 根据路程与时间求速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 答：小周从家出发到回到家一共用了； （2）解：∵小周在图书馆停留了分钟， ∴当时，离家的距离是， ∴图中点表示的意义是小周离开家时，离家的距离是； （3）解：总路程：， 总停留时间：，实际行走时间：， 平均速度：， 答：小周整个过程中（停留时间不计）的平均速度是． 35．已知A，B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程（千米）与甲车行驶的时间（分钟）之间的关系如图①所示，请解决以下问题： (1)由图象可得：A，B两地之间路程是 千米，甲车的速度是 千米/分钟； (2)在图①中画出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系的图像，由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了 次； (3)求出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式；（不需写自变量的取值范围） (4)在图②中画出大致反映甲、乙两车之间的距离（千米）随乙车行驶时间（分钟）的变化而变化情况的图像． 【答案】(1)60，2 (2)，2 (3) (4) 【分析】（1）观察图像，根据速度等于路程除以时间即可解答； （2）根据题意作图，并根据两图像交点的个数判断甲、乙两车在行驶过程中相遇的次数即可； （3）根据速度、路程、时间的关系并结合图像列出关系式即可； （4）分、、三种情况求得图像要过的拐点，然后作图即可． 【详解】（1）解：由图①可知∶ A，B两地之间路程是60千米，甲车的速度是（千米/分）． （2）解：作图略 由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了2次． （3）解：乙车的速度是（千米/分）， ∴乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式为，即． （4）解：甲车的速度是（千米/分） ①当时，甲从A去往B，，； ， 当时，； 当第一次相遇，，解得：； 当时，，，此时； ②当时，甲从B地返回A地， ∵甲车的速度是（千米/分）， ∴甲车行使的路程为， ∵时，，甲从B地返回A地， ∴ ， 当第二次相遇，，解得：； 当时，，，此时； ③当时，甲已返回A地，； 即， 当时，， 综上，函数图像过点，画出函数图像略． 36．周末，小明和妈妈准备坐公交车到森林公园游玩，他们从家出发先坐甲路公交车，然后换乘乙路公交车到森林公园．爸爸随后驾车沿相同的路线前往森林公园，结果与他们同时到达．如图是他们离家的路程（）与小明和妈妈离家的时间（）的关系图，请根据图中信息解答下列问题： (1)甲路公交车的平均速度为__________，乙路公交车的平均速度为__________，爸爸驾车的平均速度为__________； (2)爸爸出发多长时间后，他们之间的距离是？ 【答案】(1)30， 25 ，45 (2)爸爸出发0.3h后，他们之间的距离是. 【分析】（1）根据图象得出离家的距离（）与小明和妈妈离家的时间（）的对应关系；再用相应的路程除以时间，即可得出速度； （2）设爸爸出发后，他们之间的距离是，此时小明和妈妈在乘坐乙路公交车，根据题意列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明和妈妈到达森林公园总计用时，总路程为， 小明和妈妈乘坐甲路公交车用时，路程为，故甲路公交车的平均速度为， 小明和妈妈乘坐乙路公交车用时，路程为，故乙路公交车的平均速度为， 爸爸驾车沿相同的路线前往森林公园，用时，路程为，故爸爸驾车的平均速度为； （2）解：设爸爸出发后，他们之间的距离是，此时小明和妈妈在乘坐乙路公交车，爸爸驾车沿相同的路线前往森林公园，由题意得： ， 解得， 答：爸爸出发后，他们之间的距离是6km． 题型10 用描点法画函数图象 37．某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降； (2)见解析； (3)； (4)该处的海拔高度是4千米． 【分析】（1）结合表格中的数据作答即可； （2）描点，连线，画图即可； （3）气温t是海拔高度h的一次函数，由表格可知，海拔每上升，气温下降，即可得解； （4）利用（3）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着海拔高度的升高，气温逐渐下降； （2）解：描点，连线，画图如下： （3）解：气温t是海拔高度h的一次函数， 由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）解：令，得， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 38．要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据长方形面积等于长乘宽即可得函数表达式； （2）根据解析式代入计算，即可得相应的值； （3）根据列表，在直角坐标系中描点、连线即可． 【详解】（1）解：与之间的函数表达式是； （2）解：当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： 1 2 3 4 5 6 12 6 4 3 2 （3）解：函数的图象如下： 39．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 40．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 (3)1，1 【分析】本题主要考查了画函数图象，求函数值． 对于（1），将，代入函数关系式，可得答案； 对于（2），用描点、连线的方法来画出函数图象； 对于（3），观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 故答案为：3，2； （2）解：如图： （3）解：当时，该函数的因变量的值最小，最小值为1． 故答案为：1，1． 题型11 动点问题的函数图象 41．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2 (2)3 (3)28.5 (4)36 (5) 【分析】（1）观察图2，当时，，即可得解； （2）由图3可知，当时，，再根据长方形面积公式即可求出； （3）先算出向右运动的速度，在算出时的长度，此时面积即可求出； （4）观察图2得出最大值是12，代入面积公式即可求出值； （5）先算出向左运动的速度，再把用含的关系时表示出来，最后利用面积公式求即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ； （2）解：由图3可知，当时，， ， ； （3）解：由图2可知，向右运动的速度为， 当时，走的路程为， 此时， ； （4）解：由图2可知，的最大值是12，此时； （5）解：由图2可计算出，向左运动的速度， 此时， ． 42．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积； （1）根据由图2可知，点沿向点运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长， （2）根据三角形面积公式求得与的关系式； （3）把代入关系式即可求得的值，根据与之间的关系式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，在点沿向点运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 故答案为：，． （2）根据三角形的面积公式得： （3）当时， 43．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点运动时间为，的面积为．            (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是______，用含的代数式表示线段的长是______，变量与之间的关系式为______； (2)当点运动时间为时，求的面积；当每增加时，的变化情况如何？ 【答案】(1)；； (2)；增加 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，一次函数的性质的关系等，从函数图像中获取信息是解题的关键． （1）根据图2即可求得点E沿向点C运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长，进而根据三角形面积公式求得y与x的关系式； （2）把代入关系式即可求得y的值，直线的斜率就是函数的变化率． 【详解】（1）解：由图2可知，在点E沿向点C运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 根据三角形的面积公式得：； 故答案为：3，，． （2）当时，； 由可知， x每增加一个单位，y增加12个单位， 所以当x每增加1s时，y增加， 故答案为：，． 44．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 【答案】(1)，14，10 (2)点的运动时间为或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 题型12 函数的三种表示方法 45．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 46．在弹性质限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是________． 【答案】 【分析】根据表格数据可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时， 弹簧的长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键． 47．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 48．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 【答案】(1)120 (2) (3)①150，②行驶时间时，行驶路程为 (4)详见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，即可得出当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； （2）根据路程和时间的关系式，即可进行解答； （3）根据表格中的数据和图象，即可得出当时，s的值，结合图象分析点在A时的时间和路程即可得出点A表示的意义； （4）根据函数三种表示方式的优缺点进行解答即可． 【详解】（1）解：由表可得：当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； 故答案为：120； （2）解：根据题意可得：， 当 ，把代入得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由图可知：当时，， 点A表示的意义为：行驶时间时，行驶路程为． 故答案为：150，行驶时间时，行驶路程为．， （4）解：用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化； 用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示； 用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确． 【点睛】本题主要考查了函数的三种表示方式，解题的关键是掌握函数的三种表示方式：表格，关系式，图象，是解题的关键． 1．下列各图象中，不能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应； A、B、D选项中，作垂直于轴的直线与图象的交点个数最多1个，是函数关系，故选项不符合题意； C选项中，作垂直于轴的直线，可能与图象有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意． 2．音乐中旋律的音高会随时间发生变化，我们可以用平面直角坐标系中的函数图象来刻画一段旋律的变化规律．下图是某段乐曲的音高y随时间x变化的图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象不能表示y是x的函数 B．随着时间推移，音高一直在不断升高 C．时间发生改变，音高就一定会发生改变 D．存在一段时间，时间变化但音高保持不变 【答案】D 【分析】根据函数定义判断A，根据图象的升降趋势判断B，根据图象中的水平线段判断C和D． 【详解】解：观察图象可知，对于每一个时间，都有唯一的音高与之对应，符合函数的定义，则该图象能表示y是x的函数， 故选项A错误； 图象显示音高随时间的变化有上升也有下降，并非一直在升高， 故选项B错误； 观察图象可知，在和等时间段内，图象平行于轴，说明时间发生改变，但音高保持不变， 故选项C错误； 由C项分析可知，存在一段时间（如）时间变化但音高保持不变， 故选项D正确． 3．当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】直接把代入对应的关系式中求值即可． 【详解】解：将代入解析式得． 4．当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入函数解析式计算，注意二次根式表示的算术平方根，结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴将代入得：. 因此，函数值为． 5．水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（     ） A．，，是变量，是常量 B．是变量，，，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【分析】在变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值保持不变的量是常量，根据涟漪扩大过程中各量的变化情况判断即可． 【详解】解：∵水中涟漪不断扩大，半径变化，周长随变化，而和是固定不变的常数， ∴，是变量，，是常量． 6．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案． 【详解】解：∵共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次， ∴实际握手次数为，即． 7．小萌在一次户外骑行途中离家距离与骑行时间之间的关系如图所示．下列说法不正确的是（     ） A．小萌骑行时离家的距离为 B．小萌骑行过程中，中途休息了 C．小萌骑行前和前的平均速度相同 D．第时，小萌离家的距离为 【答案】C 【详解】解：A．根据图象可得：小萌骑行时离家的距离为，故A正确，不符合题意； B．小萌骑行过程中，中途休息了，故B正确，不符合题意； C．小萌骑行前5分钟的平均速度为：， 前的平均速度为：， ∵， ∴小萌骑行前和前的平均速度不相同，故C错误，符合题意； D．根据图象可得：第时，小萌离家的距离为，故D正确，不符合题意． 8．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，货车到达乙地后停止，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系．下列选项错误的是（     ） A．甲乙两地相距90千米 B．货车的速度为45千米/小时 C．轿车往返共用小时 D．轿车返回甲地的速度比去往乙地的速度每小时慢24千米 【答案】D 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：观察图象得：甲乙两地相距90千米，货车从甲地到达乙地所用时间为2小时，轿车往返共用小时，故A，C选项正确，不符合题意； 货车的速度为千米/小时，故B选项正确，不符合题意； 轿车去往乙地的速度为千米/小时，返回甲地的速度为千米/小时， 则轿车返回甲地的速度比去往乙地的速度每小时快千米，故D选项错误，符合题意； 9．某山地地区地面气温为，海拔每升高气温下降．该地区距离地面高度为处的气温为，则与的函数关系式是___________． 【答案】 【详解】解：该地区距离地面高度为处，气温下降， ． 10．当时，函数的值为______． 【答案】 【详解】解：当时，． 11．若定义某函数，则__________． 【答案】 【详解】解：． 12．某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管（进水和排水都是匀速的），该水池内水的体积与时间之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是______（h）． 【答案】9 【分析】根据函数图象求出进水速度，以及排水速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，进水速度为， ∴3小时后，水池中水的总量为， 当同时打开进水管和排水管时，相当于排水速度为， 故水池从开始进水到全部排出所需要的时间是（小时）. 13．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，用如图所示的趋势图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系．根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为______． 【答案】 【分析】根据所作的趋势图直接求解即可． 【详解】解：根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为． 14．星期天，小明和小丽相约从学校沿同一条路出发去万州科技馆参观，小丽出发10分钟后小明才出发，结果小丽到了科技馆后等了一会儿小明才到．两人之间的距离（米）与他们步行的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小丽到了科技馆等了小明________分钟． 【答案】 【分析】根据函数图像求出小丽的速度，根据小丽到万州科技馆花了40分钟求出学校到万州科技馆的距离，再求出小明的速度，得到小明到万州科技馆的时间，即可求出小丽到了科技馆等待小明的时间． 【详解】解：小丽的速度为：（米/分）， 学校到万州科技馆的距离为：（米）， 小明的速度为：（米/分）， 小明到万州科技馆的时间为：（分钟）， 小丽到了科技馆等待小明的时间为：（分钟）． 15．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ 【答案】(1)费用与质量两个变量之间的关系，质量是自变量，费用是因变量. (2)费用随着质量的增加而增加，质量为时，费用为元，质量每增加，费用增加元． 【分析】（1）由自变量和因变量的定义，结合表格解答即可． （2）观察表格中数据的变化即可解答． 【详解】（1）略． （2）略． 16．“五一”假期，小明和同学约好一起去西华县“五七干校”教育基地参观，他们约定在学校门口集合再一起骑车前往．小明从家出发骑了一段时间后，忽然想起忘带了一些工具，于是原路折返，到刚经过的一家商店买到工具后继续骑车前往学校．下图反映了他离家的距离（单位：m）与所用时间（单位：）的关系，请根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 ． (2)小明在商店停留了 ． (3)本次集合途中，小明一共骑行了 ． (4)据统计，骑车的速度超过就超越了安全限度，那么小明买到工具后，从商店到学校的骑行速度在安全限度内吗？请说明理由． 【答案】(1)1500 (2)4 (3)2700 (4)小明买到工具后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度为， ∵， ∴小明买到工具后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度超过安全限度． 【分析】（1）利用图象得出从出发点到最远的距离即可； （2）利用图象中位置不变，时间推移得出起点时间8，终点时间12，求其差即可； （3）从图象得出前6的位置变化的路程1200，然后折回2的位置变化路程600，从商店到学校位置变化的路程900，求三段位置变化的路程之和即可； （4）利用速度公式用从商店到学校位置变化的路程900÷时间2，然后比较即可 【详解】（1）解：根据图象知小明家到学校的距离是1500； （2）解：根据位置不变，时间推移知：； （3）解：前6骑车1200，然后折回2骑车米到商店， 从商店出来到学校2骑车， 本次上学途中，小明一共骑行了； （4）解：略 17．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人在终点处休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示． (1)甲的速度是________米分，乙的速度是________米分； (2)求乙追上甲时的路程； (3)当两人的距离为米时，求甲所用的时间． 【答案】(1)，； (2)米； (3)分或分或分． 【分析】甲先出发分钟共走了米，由此得到甲的速度；再用全程米除以时间即可得到乙的速度； 设乙追上甲所用的时间为分，则，然后解方程即可； 分乙未出发前，乙追上甲到达终点前，乙到达终点后，甲到达终点前三种情况即可求解． 【详解】（1）解：甲的速度是（米分），乙的速度是（米分）， 故答案为：，； （2）解：设乙追上甲所用的时间为分， 则， 解得， （米）， ∴乙追上甲时的路程为米； （3）解：乙未出发前，由图知， 当两人的距离为时，甲所用的时间为分； 乙追上甲到达终点前， 当两人的距离为米时， 则， 解得；                              乙到达终点后，甲到达终点前， 当两人的距离为米时， 则， 解得， 综上：当两人的距离为米时，甲所用的时间为分或分或分． 18．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 牛叔叔准备到该快递公司交寄物品，设他交寄物品的质量为，需交的费用为元． (1)上表中自变量是_____，因变量是_____． (2)当为正整数时，写出与之间的关系式，并描述随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ (3)牛叔叔交寄的物品称重为，那么需交的快递费用是多少？ 【答案】(1)物品的质量，快递的费用 (2)，交寄的物品每增加，快递的费用增加2元（或快递的费用随着交寄物品质量的增加而增加） (3)牛叔叔需交的快递费用为元 【分析】（1）根据题意确定自变量和因变量； （2）根据表格可得交寄的物品每增加，快递的费用增加2元，从而得到与之间的关系式； （3）根据题意可知，，代入（2）中的关系式即可． 【详解】（1）解：由表格可知，快递的费用随着交寄物品质量的变化而变化， ∴自变量为交寄物品的质量，因变量为快递的费用； （2）解：观察表格可知，交寄的物品每增加，快递的费用增加2元， ∴； （3）解：∵， ∴牛叔叔交寄的物品应按计算， 当时，（元）， ∴牛叔叔需交的快递费用为元． 19．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他距出发地距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了________分钟； (2)本次送快递的过程中，小李的最快速度是________米/分钟，小李一共行驶了________米； (3)快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 【答案】(1)，4 (2)， (3)6分钟或者分钟 【分析】本题主要考查了函数图象的理解． （1）到达派送点时的时间所对应的距离即为出发地到派送点的路程；停留期间，时间在变，距离不变，据此即可作答； （2）利用速度等于路程除以时间，计算出各个区段的速度即可作答； （3）根据距离派送点300米，即可判断出此时距离出发地的距离，再结合函数图象即可作答． 【详解】（1）解：小李经过14分钟到达派送点， 此时对应的路程为米，即出发地到派送点的路程是米； ∵停留期间，时间在变，距离不变， ∴此段图象表现为水平线段， ∴结合函数图象：小李在便利店停留时间为：（分钟）； （2）在分钟之间，小李花了6分钟走了米， 即此时速度为（米/分钟）： 在分钟之间，小李花了2分钟走了：（米）， 即此时速度为（米/分钟）： 在分钟之间，小李花了4分钟做了停留，即此时速度为（米/分钟）： 在分钟之间，小李花了2分钟走了（米）， 即此时速度为（米/分钟）： 即小李的最快速度为（米/分钟）； 根据函数图象可知：小李向派送点前进米，之后又往回走到距离出发点米处，停留4分钟后，又朝派送点前进直至到达派送点， 即小李行驶的距离为：（米）； （3）∵出发地到派送点的路程是米，某定点距离派送点300米， ∴该定点距离出发点（米）， 如图， 由上述函数图象可知：有两个时刻，小李距离出发点为米， 第一个时刻：即出发6分钟后，小李距离出发点为米； 第二个时刻在分钟之间， ∵在分钟之间，小李的速度为（米/分钟），且停留点距离出发点米， ∴在此停留点，小李以米/分钟的速度前进米后距离出发点米， 则行驶的时间为： （分钟）， ∴（分钟）； 综上：小李出发6分钟或者分钟后，小李距离派送点为米． 20．小华的爸爸每周三晚上都要骑电动车从家出发，前往学校看望住校的小华．这一天，爸爸途中突然想起要给小华买资料书，于是原路折返到刚刚路过的书店买书（掉头用时忽略不计），买完资料后继续骑车前往学校．已知小华家，书店和学校依次在同一直线上，下图是小华爸爸“离家距离一时间”的关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)小华家到学校的距离是________米． (2)小华爸爸在书店停留了________分钟． (3)小华爸爸折返去书店的这段路程，一共骑行了________米． (4)这次出行，小华爸爸从家出发至抵达学校，如果不计中途停留的时间，只计算骑行时长，求小华爸爸骑行的平均速度大约是多少？（结果保留整数，单位：米/分） 【答案】(1)4800 (2)8 (3) (4)米/分 【分析】（1）根据图象即可作答； （2）根据图象即可作答； （3）根据图象可知在米开始折返去书店，在米处到达书店，即可作答； （4）先利用总时间减去停留在书店的时间得到骑行时间，然后再计算总骑行的速度，即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知小华家到学校的距离为米； （2）解：（分钟） 故小华爸爸在书店停留了分钟； （3）解：（米） 故小华爸爸折返去书店的这段路程，一共骑行了米； （4）解：总骑行时间为：（分钟）， 总骑行路程为：（米）， ∴小华爸爸骑行的平均速度为：（米/分）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 变量与函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 函数的概念 题型2 函数解析式 题型3 求自变量的取值范围 题型4 求自变量的值或函数值 题型5 用表格表示变量间的关系 题型6 用关系式表示变量间的关系 题型7 用图象表示变量间的关系 题型8 函数图象的识别 题型9 从函数的图象获取信息 题型10 用描点法画函数图象 题型11 动点问题的函数图象 题型12 函数的三种表示方法 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 变量与常量 函数的概念 函数的表示方法 函数的图象 1. 理解变量、常量概念，能区分实际问题中的两类量 2. 掌握函数定义，判别两个变量是否具备函数关系 3. 学会列简单函数解析式，明确自变量取值范围 4. 能结合实例分析函数意义，初步建立数形思维 5. 运用函数知识解决基础实际问题，提升建模能力 学习重点：掌握变量、常量及函数的核心概念，能列出简单实际问题的函数解析式。 学习难点：准确理解函数唯一对应关系，合理确定自变量的取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 变量与常量 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 即时即练 1．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（ ） A． 均是变量，是常量 B．是变量，2、 是常量 C．和均是变量，2和是常量 D．是变量，是常量 2．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 3．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 知识点02 函数的概念 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 即时即练 4．下列各曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列关系式中，y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列关于变量x，y的关系式：①；②；③，其中，y是x的函数的是_____（填写序号）． 知识点03 函数的三种常见表示方法 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 即时即练 7．有一种树苗的高度（单位：）与生长年数的相关数据如下表所示，发现树苗的高度与生长年数在一定范围内满足关系式，则____________． 生长年数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 树苗高度 100 115 130 145 160 175 190 … 8．如图，某商场一辆购物车车身总长为米，将购物车叠放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加米．用（米）表示叠放的购物车车身总长，用（辆）表示叠放的购物车数量，则与之间的关系式为________． 9．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 知识点04 函数的图象 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 即时即练 10．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    11．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 12．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 题型1 函数的概念 1．在下列给定的解析式中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）． 4．下列关于变量，的关系：①；②；③；④．其中是的函数的是______．（填序号） 题型2 函数解析式 5．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 8．现向一个容积为的空水池中注水，注水速度为，水池中的水量（单位：）随注水时间（单位：）的增加而增加． (1)指出这个问题中的常量； (2)写出表示与的函数关系的式子； (3)写出自变量的取值范围． 题型3 求自变量的取值范围 9．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 10．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 11．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 12．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是______．（写出自变量的取值范围） 题型4 求自变量的值或函数值 13．当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 14．已知，且，那么实数k的值为_______． 15．将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． (1)求张白纸粘合后的总长度； (2)设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 16．当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 题型5 用表格表示变量间的关系 17．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的重量x（千克）间有下列关系（假设弹簧不会折断）． x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 所挂物体重量为24千克时，则弹簧的长度为（） A．21.5厘米 B．22厘米 C．22.5厘米 D．23厘米 18．我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示： 年份 国内生产总值/亿元 国内生产总值随年份的变化而变化，当时，（  ） A． B． C． D． 19．科学家实验发现，声音在不同气温下的传播速度不同，我校科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 334 某日的气温为，根据以上表格，可以知道这一天声音在空气中的传播速度是________． 20．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 题型6 用关系式表示变量间的关系 21．炎炎夏日，一池清水让人感觉清凉．为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水，换水时关闭进水孔打开排水孔．设某游泳池的存水量为立方米，以每小时立方米的速度匀速将水排出．借助智能系统得到了如下数据： 排水时间（/时） 1 2 3 4 游泳池的存水量（/立方米） (1)请直接写出________，________，________． (2)写出与的关系式并求排完水所用的时间． 22．某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； (3)若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 23．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值： 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（） 47 52 57 62 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______________，因变量是_______________； (2)写出叠放凳子的总高度（）与凳子的数量（个）之间的关系式_____________； (3)按这样的规律，将若干个凳子叠放后总高度为，求凳子的数量． 24．如图，在长方形中，，，动点从点出发沿边以的速度运动，达到点后再以同样的速度沿返回到点，四边形的面积是． (1)请写出当时，与点的运动时间的关系式； (2)当四边形的面积是56时，求的值． 题型7 用图象表示变量间的关系 25．小华骑自行车从家出发去图书馆上自习，行驶了一段时间后，想起本来约好和同学小亮一起去图书馆，于是又折返回刚经过的小亮家，约上小亮后继续赶往图书馆，直到抵达．如图是小华行驶过程中离家的距离与时间关系的图象． 根据图象中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)图中段可能发生了______； (3)求整个行程过程中，小华的最快速度是多少米/分钟？ (4)当小华离家的距离为700米时，请直接写出小华出发了多长时间． 26．小明和妈妈在一条笔直的跑道上跑步，到达起点后，妈妈直接匀速跑步前行，小明则先做了一会儿准备活动．当小明出发时，妈妈已经距离起点米，小明匀速跑了秒后，停留片刻，再放慢速度继续匀速跑步前行．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题： (1)小明出发之后，前秒的速度是___________米/秒；妈妈的速度是___________米/秒； (2)___________； (3)求小明出发后的秒内，两人何时相距米． 27．西安滨河学校开展校园安全宣讲活动，同学们在上下学途中特别要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中信息回答下列问题： (1)图中自变量是 ． (2)小明家到学校的路程是 米．小明在书店停留了 分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 28．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 题型8 函数图象的识别 29．下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 30．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    31．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          32．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 题型9 从函数的图象获取信息 33．随着智慧社区建设不断推进，幸福里社区引入两款智能配送机器人“小晋”与“小美”，两台机器人从社区中心仓库出发，匀速前往目的地配送包裹．已知：小晋率先从仓库出发，小美在小晋出发10秒后从同一位置启程，它们全程匀速直行，中途无停留、不折返．下图反映了配送机器人行驶路程与小晋出发时间之间的关系．若小美的行驶速度为，根据图象回答下列问题： (1)幸福里社区与仓库的距离为______； (2)小晋的行驶速度为______； (3)______先到达目的地，早到______； (4)请直接写出小美出发多久后，两台配送机器人首次相遇． 34．家、书店、图书馆依次分布在一条笔直的街道上，书店距离小周家，图书馆距离小周家．小周从家匀速走到书店，停留一段时间后继续匀速走到图书馆，在图书馆停留分钟后，从图书馆匀速返回家中．小周离家的距离随离开家的时间变化的关系图象如下： (1)小周从家出发到回到家一共用了多长时间？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)小周整个过程中（停留时间不计）的平均速度是多少？ 35．已知A，B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程（千米）与甲车行驶的时间（分钟）之间的关系如图①所示，请解决以下问题： (1)由图象可得：A，B两地之间路程是 千米，甲车的速度是 千米/分钟； (2)在图①中画出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系的图像，由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了 次； (3)求出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式；（不需写自变量的取值范围） (4)在图②中画出大致反映甲、乙两车之间的距离（千米）随乙车行驶时间（分钟）的变化而变化情况的图像． 36．周末，小明和妈妈准备坐公交车到森林公园游玩，他们从家出发先坐甲路公交车，然后换乘乙路公交车到森林公园．爸爸随后驾车沿相同的路线前往森林公园，结果与他们同时到达．如图是他们离家的路程（）与小明和妈妈离家的时间（）的关系图，请根据图中信息解答下列问题： (1)甲路公交车的平均速度为__________，乙路公交车的平均速度为__________，爸爸驾车的平均速度为__________； (2)爸爸出发多长时间后，他们之间的距离是？ 题型10 用描点法画函数图象 37．某地海拔高度h（千米）与此高度处气温之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 ．．． 0 1 2 3 ．．． 气温 ．．． 20 14 8 2 ．．． (1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点； (3)猜想气温t是海拔高度h的什么函数？并求t与h的函数关系式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 38．要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 39．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 40．通过学习“函数的图象”，我们学会了用列表、描点、连线的方法来画出函数图象．小明想应用这个方法来探究函数的图象．下面是他的探究过程，请你补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 m 2 1 n 3 4 … (1)列表，补全表格：______，______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)观察（2）中的图象，当______时，该函数的因变量的值最小，最小值为_____． 题型11 动点问题的函数图象 41．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 42．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 43．如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点运动时间为，的面积为．            (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是______，用含的代数式表示线段的长是______，变量与之间的关系式为______； (2)当点运动时间为时，求的面积；当每增加时，的变化情况如何？ 44．动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒． (1)______，______，______； (2)当三角形的面积为时，求点的运动时间的值． 题型12 函数的三种表示方法 45．下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（  ） A．记录某病人一天内不同时刻的体温 B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C．用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D．展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 46．在弹性质限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是________． 47．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 48．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 1．下列各图象中，不能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 2．音乐中旋律的音高会随时间发生变化，我们可以用平面直角坐标系中的函数图象来刻画一段旋律的变化规律．下图是某段乐曲的音高y随时间x变化的图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象不能表示y是x的函数 B．随着时间推移，音高一直在不断升高 C．时间发生改变，音高就一定会发生改变 D．存在一段时间，时间变化但音高保持不变 3．当时，函数的值是（     ） A． B． C．0 D．1 4．当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 5．水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（     ） A．，，是变量，是常量 B．是变量，，，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，是常量 6．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 7．小萌在一次户外骑行途中离家距离与骑行时间之间的关系如图所示．下列说法不正确的是（     ） A．小萌骑行时离家的距离为 B．小萌骑行过程中，中途休息了 C．小萌骑行前和前的平均速度相同 D．第时，小萌离家的距离为 8．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，货车到达乙地后停止，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系．下列选项错误的是（     ） A．甲乙两地相距90千米 B．货车的速度为45千米/小时 C．轿车往返共用小时 D．轿车返回甲地的速度比去往乙地的速度每小时慢24千米 9．某山地地区地面气温为，海拔每升高气温下降．该地区距离地面高度为处的气温为，则与的函数关系式是___________． 10．当时，函数的值为______． 11．若定义某函数，则__________． 12．某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管（进水和排水都是匀速的），该水池内水的体积与时间之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是______（h）． 13．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，用如图所示的趋势图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系．根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为______． 14．星期天，小明和小丽相约从学校沿同一条路出发去万州科技馆参观，小丽出发10分钟后小明才出发，结果小丽到了科技馆后等了一会儿小明才到．两人之间的距离（米）与他们步行的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小丽到了科技馆等了小明________分钟． 15．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ 16．“五一”假期，小明和同学约好一起去西华县“五七干校”教育基地参观，他们约定在学校门口集合再一起骑车前往．小明从家出发骑了一段时间后，忽然想起忘带了一些工具，于是原路折返，到刚经过的一家商店买到工具后继续骑车前往学校．下图反映了他离家的距离（单位：m）与所用时间（单位：）的关系，请根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 ． (2)小明在商店停留了 ． (3)本次集合途中，小明一共骑行了 ． (4)据统计，骑车的速度超过就超越了安全限度，那么小明买到工具后，从商店到学校的骑行速度在安全限度内吗？请说明理由． 17．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人在终点处休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示． (1)甲的速度是________米分，乙的速度是________米分； (2)求乙追上甲时的路程； (3)当两人的距离为米时，求甲所用的时间． 18．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 牛叔叔准备到该快递公司交寄物品，设他交寄物品的质量为，需交的费用为元． (1)上表中自变量是_____，因变量是_____． (2)当为正整数时，写出与之间的关系式，并描述随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ (3)牛叔叔交寄的物品称重为，那么需交的快递费用是多少？ 19．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他距出发地距离与所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了________分钟； (2)本次送快递的过程中，小李的最快速度是________米/分钟，小李一共行驶了________米； (3)快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 20．小华的爸爸每周三晚上都要骑电动车从家出发，前往学校看望住校的小华．这一天，爸爸途中突然想起要给小华买资料书，于是原路折返到刚刚路过的书店买书（掉头用时忽略不计），买完资料后继续骑车前往学校．已知小华家，书店和学校依次在同一直线上，下图是小华爸爸“离家距离一时间”的关系图象，请结合图象信息解答下列问题： (1)小华家到学校的距离是________米． (2)小华爸爸在书店停留了________分钟． (3)小华爸爸折返去书店的这段路程，一共骑行了________米． (4)这次出行，小华爸爸从家出发至抵达学校，如果不计中途停留的时间，只计算骑行时长，求小华爸爸骑行的平均速度大约是多少？（结果保留整数，单位：米/分） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $