2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第13讲）——切线的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第13讲）——切线的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 1 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 2 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 2 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 2 【题型 2】切线判定（无交点型） 3 【题型 3】切线性质的角度计算 5 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 5】切线的性质与判定综合 7 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 8 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 9 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 10 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 1. 相离：，直线与圆无交点； 2. 相切：，直线与圆有唯一公共点，直线为圆的切线； 3. 相交：，直线与圆有两个公共点。 易错提醒：切线的核心特征是有且只有一个公共点。 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 文字定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可） 1. 过半径的外端点（在圆上）； 2. 与这条半径互相垂直。 几何语言：∵ OA是⊙O半径，直线l过点A，且，∴ 直线l是⊙O的切线。 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 文字定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心结论：切线⊥过切点的半径/直径 几何语言：∵ 直线l是⊙O的切线，A为切点，∴ 。 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 模型1：有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点（半径），证明半径与直线垂直。（最常用） 模型2：无交点，作垂直，证半径：题目未说明直线与圆有公共点时，过圆心向直线作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 判定切线时，只证垂直或只证过端点，条件不完整，不得分； 2. 用切线性质时，必须找准切点，只有过切点的半径才与切线垂直； 3. 判定定理是“证切线”，性质定理是“已知切线推垂直”，二者不可混用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 解题技巧：有公共点，过切点任何半径，通过角度推导垂直关系。 【例题1】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，．求证：是的切线． 【变式2】（2026·吉林·二模）如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，线段经过圆心O，交于点A、C，为的弦，连接，，求证：直线是的切线． 【题型 2】切线判定（无交点型） 解题技巧：无明确交点，作垂线段，证明垂线段长等于半径。 【例题2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 【变式1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．    【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的角平分线，点是上一点，与相切于点，与交于点、． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的度数． 【变式3】（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，试求的长． 【题型 3】切线性质的角度计算 【例题3】（2026·山西吕梁·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点．若，求的度数． 【变式1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，和分别与相切于，两点，，求的度数． 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 核心总结：遇切线，必出直角，构造直角三角形用勾股定理计算是高频考法。 【例题4】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． （1）求证：； （2），求直径长． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【变式2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【变式3】（25-26九年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，为半圆O的切线． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】切线的性质与判定综合 【例题5】（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 【例题6】（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，是的半径，弦于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，半径为3的与，都相切，与交于点，，则弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为___________． 【变式3】（2026·河南周口·二模）如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． （1）求证∶是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 【例题7】（2026·江西赣州·一模）如图，已知的直径，点在上，，是的切线． （1）当时，求的大小； （2）当时，连接，求的长． 【变式1】（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点为，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 【变式3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的半径． 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 【例题8】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______． 【变式3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 5．（2026·广东东莞·三模）如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，直线与相切于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的与相切于点，连接，，若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 13．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是上一点，点在直径的延长线上，是的切线，若，则的长为____________． 14．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 15．（2026·浙江温州·三模）如图，是的切线，切点是，直线交于点，，点为上一点，连接，．若，则的度数为_____． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为__________． 17．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，劣弧所对圆心角为，过点A的切线与的延长线交于点C，与交于点D，若圆的半径为，则的长为__________． 18．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，是的直径，是切线，交于D，在上取，的延长线交于F．若，则的度数是____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 20．（本小题满分8分）（2024·陕西西安·一模）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 22．（本小题满分10分）（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，等腰中，，，以腰为直径的交于点F，交于点E，的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标； （3）P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第13讲）——切线的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 1 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 2 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 2 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 2 【题型 2】切线判定（无交点型） 5 【题型 3】切线性质的角度计算 10 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 13 三.经典题型精析（综合提升） 18 【题型 5】切线的性质与判定综合 18 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 23 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 28 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 33 四.同步自测 39 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 39 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 47 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 54 一.教材知识梳理 【知识点一】直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为： 1. 相离：，直线与圆无交点； 2. 相切：，直线与圆有唯一公共点，直线为圆的切线； 3. 相交：，直线与圆有两个公共点。 易错提醒：切线的核心特征是有且只有一个公共点。 【知识点二】切线判定定理（证切线：已知直线，证相切） 文字定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可） 1. 过半径的外端点（在圆上）； 2. 与这条半径互相垂直。 几何语言：∵ OA是⊙O半径，直线l过点A，且，∴ 直线l是⊙O的切线。 【知识点三】切线性质定理（知切线：用性质，得结论） 文字定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心结论：切线⊥过切点的半径/直径 几何语言：∵ 直线l是⊙O的切线，A为切点，∴ 。 【知识点四】切线证明两大必考辅助线模型 模型1：有交点，连半径，证垂直：题目已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点（半径），证明半径与直线垂直。（最常用） 模型2：无交点，作垂直，证半径：题目未说明直线与圆有公共点时，过圆心向直线作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 判定切线时，只证垂直或只证过端点，条件不完整，不得分； 2. 用切线性质时，必须找准切点，只有过切点的半径才与切线垂直； 3. 判定定理是“证切线”，性质定理是“已知切线推垂直”，二者不可混用。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】切线的基础判定（有交点型） 解题技巧：有公共点，过切点任何半径，通过角度推导垂直关系。 【例题1】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 解：略 【变式1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，．求证：是的切线． 【答案】证明： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线． 【分析】先证明，可得，结合，进一步证明即可． 解：略 【变式2】（2026·吉林·二模）如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 【答案】证明：， ，， ， ， 即， ， ∵点在圆上， ∴直线与圆相切. 【分析】根据等边对等角证明，，根据切线的判定定理证明，即，即可得证结论． 解：略 【变式3】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，线段经过圆心O，交于点A、C，为的弦，连接，，求证：直线是的切线． 【答案】证明见分析 【分析】根据题意连接，先求出，利用圆的切线判定定理进行证明即可． 解：证明：连接， 在中，，， ， ， 在中，， ， 是的半径， ∴直线是的切线． 【题型 2】切线判定（无交点型） 解题技巧：无明确交点，作垂线段，证明垂线段长等于半径。 【例题2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 【答案】见分析 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，过点作于，则有和，即可证明，有，则点E在上，即可证明． 解：证明：过点作于，如图， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点E在上， 又， 与相切． 【变式1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．    【答案】证明过程见分析； 【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可． 解：证明：如图：过点作于点，   是的角平分线，，， ， 是的切线． 【点拨】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的角平分线，点是上一点，与相切于点，与交于点、． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接，过点作于，如图所示： 点为的圆心，为的切线，切点为， 为的半径，且， 为平分线，点为上的点，且，， ， 即为的半径， 是的切线； （2） 【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键． （1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论； （2）设，根据角平分线的定义得，，再由得，由得，由此得，然后根据求出，进而可得的度数． 解：（1）略 （2）解：设， 为平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【变式3】（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，试求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 解：（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点拨】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型 3】切线性质的角度计算 【例题3】（2026·山西吕梁·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 解：如图，连接． 与相切于点， ． ． ， ． ∴． 【变式1】（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 【变式2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，和分别与相切于，两点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理．连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 【题型 4】切线性质与直角三角形综合计算 核心总结：遇切线，必出直角，构造直角三角形用勾股定理计算是高频考法。 【例题4】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． （1）求证：； （2），求直径长． 【答案】（1）证明：如图，连接，． 为的切线， ． ． ， ． ． ， ． ∴， ∵， ∴． ． （2） 【分析】（1）根据切线的性质得，则，由，得，则，再根据对顶角相等即可得，根据等角对等边即可得证； （2）由，，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长，即可求解． 解：（1）略 （2）解：， ∴． ∵， ． ， ． ∴． ， ∴，解得（负值舍去）． ． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解． 解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 【变式2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，为半圆O的切线． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质结合等角的余角相等，证明，即可得到； （2）设半圆O的半径为r，则，利用勾股定理得到，据此求解即可． 解：（1）证明：如图，连接． ∵为半圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，， 设半圆O的半径为r，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 答：半圆O的半径长为． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】切线的性质与判定综合 【例题5】（2026·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 解：（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 【变式1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键． 解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接， ∵，， ∴，， 轴， ∴为的切线， ∵直线与切于点C， ∴，， 在 和 中 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在 中，，即， 解得， ∴，， ∵ ∴， ∴=， 在 中，， ∴C点坐标为，． 故选：C． 【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点拨】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【题型 6】切线的性质与判定+垂直径定理综合 【例题6】（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，是的半径，弦于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）证明：， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【分析】（1）根据弦，，可得，根据圆的切线判定定理即可得证； （2）设，则，根据垂径定理可得，在中，，列方程求解即可． 解：（1）解：略 （2）， ， 设， 在中，， ， ，则， 的直径为． 【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，半径为3的与，都相切，与交于点，，则弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别切，于点，，连接，，，，，，作于点，则，，根据，可得，即可求解． 解：如图，设分别切，于点，，连接，，，，，，作于点，则，， ∵，，， ∴，． ∵，的半径为3， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 【变式3】（2026·河南周口·二模）如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． （1）求证∶是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）证明∶连接，，交于点F． ∵，D为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的切线． （2） 【分析】（1）连接，利用垂径定理，由是中点，得；再由，推出；结合是半径，根据切线判定定理得证． （2）先在中用勾股定理求，再用面积法求高；接着用勾股定理求，进而算出；再在中求；最后由弧中点性质，得，从而求出的长． 解：（1）略 （2）解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 【题型 7】切线的性质与判定+圆周角定理综合 【例题7】（2026·江西赣州·一模）如图，已知的直径，点在上，，是的切线． （1）当时，求的大小； （2）当时，连接，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，求出，再根据，是的切线，得到，由即可求解； （2）易得，求出，由切线长定理得到，即点在的垂直平分线上，结合，即点在的垂直平分线上，易证，推出，得到，即可求解． 解：（1）解：连接， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ，是的切线， ， ； （2）解：如图， 是的直径， ， ，， ， ，是的切线， ，即点在的垂直平分线上， ，即点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 解得：． 【变式1】（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点在的延长线上，与相切，切点为，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由切线的性质得到，则． 解：如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 【答案】/34度 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案． 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【变式3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，得，根据圆周角定理得到，即，求得，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，过点作，利用角平分线的性质得出，再用锐角三角函数即可解答． 解：（1）证明：连接， ， ， ∵， ， ∵为直径， ∴，即， ， ， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：连接，过点作，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， 由勾股定理得， ，即， 解得：， 的半径为． 【题型 8】切线的性质与判定综合压轴 【例题8】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； （2） 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 解：（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式1】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 【变式3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等，掌握切线的判定与性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、，则，由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，即可得证； （2）由，得，由勾股定理得，即可求解． 解：（1）证明：连接、，则， ， ， ， ， ， 是的直径，D是的中点， ∴， ， ， ， 为的切线． （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】连接，由中点的性质可得到，利用垂径定理可证出，即可得出结论． 解：连接 ∵为中点 ∴ ∴ ∴为小圆的切线 故选： 【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，由切线的性质得，即可计算，再由圆周角定理可得出的大小． 解：连接，如下图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 4．（25-26九年级上·北京·单元复习）如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解． 解：①设PA与相切于点D，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设PA与相切于点E，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切； 故选D． 【点拨】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2026·广东东莞·三模）如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】连接、，由题意，易得是的中位线，得到，进而得到，即可． 解：连接、． 点B关于点C的对称点， 是的中点． ∵点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点， ∴为的直径， ∴点是的中点， 是的中位线． ． ． 6．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，、是的两条切线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和可求得度数，再根据四边形的内角和，可求得的度数． 解：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵、是的两条切线， ∴， ∴． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 解：延长交于点D，如图1，则是直径． ∵与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 9．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，直线与相切于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据是的直径，得出，根据切线的性质可得，即可得出． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴，则， ∴． 10．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的与相切于点，连接，，若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据切线的性质得出，进而可得，，求出，即可得出的直径． 解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的直径为． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________． 【答案】或 【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可． 解：若添加BD=CD，理由如下： 如图，连接OD， ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线； 若添加AB=AC，理由如下： 如图，连接AD， ∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∴点D是BC的中点， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵， ∴DE⊥OD， ∵交于D， ∴是的切线． 故答案为：或 【点拨】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，是上一点，点在直径的延长线上，是的切线，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，连接，由切线的性质可得，设的半径为，则，利用勾股定理即可求出的值，再根据即可求解． 解：如图，连接， ∵是的切线， ，即， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可． 解：∵的半径为1，当与轴相切时， ∴点P到x轴的距离为1 ∴点的纵坐标为1或， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 15．（2026·浙江温州·三模）如图，是的切线，切点是，直线交于点，，点为上一点，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】连接，根据切线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出，根据圆周角定理即可得出答案． 解：如图，连接， ∵是的切线，切点是， ∴， ∵， ∴， ∵和是所对的圆心角和圆周角， ∴． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 17．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，劣弧所对圆心角为，过点A的切线与的延长线交于点C，与交于点D，若圆的半径为，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了圆的切线，圆的基本性质和30度所对的直角边是斜边的一半这个性质．因为是的切线，可利用切线的性质得到；根据劣弧所对圆心角为，进而求出的度数，再结合圆的半径，利用直角三角形的边角关系求出和的长度． 解：∵是的切线， ∴． ∵劣弧所对圆心角，在的延长线上， ∴． ∵半径为， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 故答案为：2 ． 18．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，是的直径，是切线，交于D，在上取，的延长线交于F．若，则的度数是____． 【答案】 【分析】连接，则，设，则，根据三角形外角的性质可得，利用求出，进而求出，再利用是切线结合直角三角形的性质即可求解． 解：连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 解：证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【点拨】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 20．（本小题满分8分）（2024·陕西西安·一模）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切． （2） 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． 解：（1）略 （2）解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）过点O作于点G，连接，由题意易得平分，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得为等腰直角三角形，则有四边形是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求解． 解：（1）证明：过点O作于点G，连接，如图所示： ∵腰与相切于点D， ∴， ∵，点O是底边的中点， ∴平分，， ∴， ∵都是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图（1）， ∵，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 22．（本小题满分10分）（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． （2） 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 解：（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，等腰中，，，以腰为直径的交于点F，交于点E，的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，勾股定理及圆周角定理是关键． （1）设，根据切线的性质可得，所以，再利用三角形内角和等于列方程求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解，得到，再利用三角形的面积列方程求得，即可逐步求得答案． 解：（1）证明：设， 是的切线，为直径， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：连接， 设， ， ， ， 解得， ，， 为直径， ， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标； （3）P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接、，交x轴于F．根据圆的切线的性质和垂径定理可得轴，轴，再结合点的坐标，得出，，即可得解； （3）先求出，由和同底可知，边上的高越大，面积越大，过反比例函数图象上的点分别作的平行线，观察图象，即可得出点P的横坐标m的取值范围． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接、，交x轴于F． ∵与y轴相切于点A，D为的中点， ∴轴，轴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：反比例函数的图象经过点， ，解得： ， 和是同底三角形， 底上的高越大，面积越大， ， 点到的距离大于点到的距离， 如图，过反比例函数图象上的点分别作的平行线， 观察可知，当点在点右侧时，点到AB的距离大于点到的距离， ，， 点P的横坐标m的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $