2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第10讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第10讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】前置知识回顾 2 【知识点二】垂径定理（核心必考） 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 2 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用垂径定理求半径 3 【题型 2】利用垂径定理求弦心距 6 【题型 3】利用垂径定理求弓高 9 【题型 4】利用垂径定理求弦长 12 三.经典题型精析（巩固提升） 15 【知识点六】常见解题技巧指南 15 【题型 5】垂直定理及推论的理解 15 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 18 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 22 【题型 8】垂径定理与折叠问题 26 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 30 四.同步自测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 48 一.教材知识梳理 【知识点一】前置知识回顾 1. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）。 3. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 4. 勾股定理：直角三角形中，，是垂径定理计算的核心工具。 【知识点二】垂径定理（核心必考） 定理 图示 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 若为直径，于点， 则：，，。 【知识点三】垂径定理推论 文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【要点提示】推论中弦不能是直径！因为任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，此条件缺一不可。 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 一条直线若满足以下任意两个条件，可推出剩余三个结论： 1. 过圆心（直径）； 2. 垂直于弦； 3. 平分弦（非直径）； 4. 平分弦所对的优弧； 5. 平分弦所对的劣弧。 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 1. 遇到弦的计算，必做辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点（半径）。 2. 构造Rt△： 3. 设：半径为，弦心距为，弦长为 4. 核心公式： 5. 拓展：弓形高（弦在圆心下方）或 （弦在圆心上方） 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用垂径定理求半径 【例题1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：连接，如图所示∶ ∵点D是的中点，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得∶， 即， 解得∶， 即的半径为10． 【变式1】（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可． 解：∵， ∴（米）， 设桥洞的半径为r，则：米， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即桥洞的半径为5米． 【变式2】（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 解：证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 【题型 2】利用垂径定理求弦心距 【例题2】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，．求：的长； 【答案】3 解：如图，连接， 是的直径，，， ， ， ， 在中，； 【变式1】（2026·湖南永州·二模）如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过作于点，过作于点，连接，，可得四边形是矩形，推出，，得到，根据垂径定理可得，推出，设，则，根据勾股定理列方程求出，最后在中，根据，即可求解． 解：解∶过作于点，过作于点，连接，， 又， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， 又， ，即， 解得：， 在中，． 【题型 3】利用垂径定理求弓高 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若，，求． 【答案】2 【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、，进而得到、，根据平行线的性质可得，再根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理求出的长，利用线段和差关系求解长即可． 解： 、 、 、 ． 【变式1】（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在，，，， ， ． 【变式2】（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．连接，由垂径定理可得，设，则，，再利用勾股定理求出的值，即可得解． 解：如图，连接， 是半径，，， ， 设， ， ， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 【题型 4】利用垂径定理求弦长 【例题4】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，由题意得，根据勾股定理求出即可； 解：，且过的圆心； ． 的直径是． ， ， ， 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】连接，证明，结合解答即可． 解：连接， ， ， ， ， ，， ． 【变式2】（2026·陕西延安·一模）如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到及，进而求出的度数，最后在中利用勾股定理或含30度角的直角三角形性质求出的长即可求解． 解：是的直径，， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理得， ． 【变式3】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 【答案】 【分析】连接，由可求出半径和，在中运用勾股定理可求出的长，再由垂径定理得，可求出的长； 本题考查了对垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 三.经典题型精析（巩固提升） 【知识点六】常见解题技巧指南 1. 辅助线口诀：遇弦作垂直，半径连端点，直角三角形一键成型。 2. 计算必用半弦长：垂径定理所有计算，一律用半弦长代入勾股定理，切勿直接用整弦长。 3. 推论避坑：平分直径的直径不垂直，做题看到“平分弦”优先确认是否为直径。 4. 平行弦必分类：题目无图时，默认双解（同侧、异侧）。 【题型 5】垂直定理及推论的理解 【例题5】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图， ，，都是的半径，于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，根据圆周角定理，垂径定理，等边对等角逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、由题意得，与不一定相等，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：、 【变式2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式3】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 【例题6】（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，． （1）求证：直线； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 解：（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点拨】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1）证明：连接，如图，    ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 解：（1）略 （2）解：设交于点T，如图，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 核心考点：圆中平行弦、动点弦问题，必须分类讨论，绝大多数学生只算一种情况导致丢分。 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 【例题7】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 解：（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． （1）求弦长； （2）圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 【答案】（1）的长为30；（2）这个同心圆半径r的大小为20 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理以及垂径定理，构造出是解本题的关键． （1）连接交于H，由垂径定理知，在中，易求长，进而易得的长．再利用勾股定理，即可得出的长； （2）过O作于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：（1）解：如图，连接交于H， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为30． （2）过O作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：这个同心圆半径r的大小为20． 【题型 8】垂径定理与折叠问题 【例题8】（2024·山东枣庄·一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： （1）如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； （2）如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 【答案】（1）cm；（2）cm 【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值； （2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可． 解：（1）解：如图1，作交于，交于，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的长为． （2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为 由题意知，由折叠和中点的性质可知， 在中，由勾股定理得，即 解得：，（不合题意，舍去） ∴半径的长为． 【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．根据折叠的性质可得；根据线段中点的定义可得；根据垂径定理可作判断③延长交于E，连接，根据垂径定理可作判断④． 解：过D作，交于，连接、， 由折叠得：，， ∴，故B正确； ∵点D是的中点， ∴，故A正确； ∵， ∴， 由折叠得：， ∴；故C正确； 延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴不平分，故D错误； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 解：将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点， 是的直径，且， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，， ， 是的半径，是的弦，且于点， ， ， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期末）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径． 【答案】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，根据垂径定理，可得，由折叠得： ，然后在中，利用勾股定理即可求得结果． 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA， ∴， 由折叠得：， 设， ∴在中，由勾股定理得：， 即： 解得： x1＝，x2＝（不合题意，舍去） ∴ 答：的半径为． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键． 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 【例题9】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 【变式3】（2026·安徽合肥·二模）如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积为，求的半径． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】（1）由四边形为的内接四边形得，又，故，由于，故，又，故，即平分； （2）过点作于点，由于，故为的垂直平分线，故点在上，又，故，因为，即，所以，设，则，在Rt中，由勾股定理得，即，解得，故的半径为． 解：（1）证明：∵四边形为的内接四边形， ， 又， ， ， ， 又， ， 平分； （2）解：过点作于点， ， 为的垂直平分线， ∴点在上， 又∵， ， ，即， ，解得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 的半径为． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 2．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图， 是的弦，半径 于点 ．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理得，再利用勾股定理解答即可求解． 解：∵，，， ∴，，， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 【答案】C 【分析】连接，设的半径为r，在中，，，，根据勾股定理列出方程即可求解． 解：如图，设圆心为，连接， 设的半径为r寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 由题意得，寸， ∴寸， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为17寸． 5．（2026·甘肃天水·一模）半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再结合半径，在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦的距离． 解：如图所示，的半径，弦长， 过点作交于点， ， ，即圆心到这条弦的距离为． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，垂直平分，垂足为．若，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂直平分得到，根据勾股定理求出的长，最后利用垂径定理求出的长即可． 解：为的直径，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图, 是的直径, 是的弦, ，垂足为，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． 连接，得出，的长度，再结合勾股定理得，即可求出的长度． 解：连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 8．（2026·新疆喀什·一模）如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 解：如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 9．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 解：由题意可得：， ∵经过圆心， ∴， 如图，连接， ， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径是． 10．（2026·广西南宁·一模）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出的长，用表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图，连接， 设的半径为，则， 经过圆心O，D是的中点， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的半径为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 13．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论． 解：由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：8． 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，弦于点，，，连接．则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟悉垂径定理，勾股定理是解题的关键．根据题意，再在，利用勾股定理求得，再根据，求出结果即可． 解：是的直径，弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：，负值舍去， ． 故答案为：1． 16．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 17．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 18．（2026·陕西·一模）如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得，得出是等腰直角三角形，进而根据垂径定理和勾股定理得出，即可求解． 解：∵， ∴ ∴ ∵弦垂直于直径 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． （1）求的度数； （2）若的半径为，求弦的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 解：（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由得到，即可得证； （2）连接，由，，得到，推出，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 解：（1）证明：， ， ； （2）如图，连接， ，， ， ， 设的半径为， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北·单元复习）如图为O为圆心为直径的圆，且，， （1）证明E为中点 （2）求的长度 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的推论等知识点． （1）由垂径定理的推论即可证明； （2）由圆周角定理得到，然后解得到，再解求出，即可求解． 解：（1）证明：∵为直径，且， ∴， ∴点E为中点； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求弦的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等边对等角，直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 解：（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接． （1）用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，勾股定理，垂径定理及其推论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）按照尺规作图的步骤作交于点F，即为所求； （2）连接，根据垂径定理的推论先得出，在中求出的长，从而得出的长，在中求出的长，再根据垂径定理得出的长，最后在中，求出即可． 解：（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）连接， 是直径，且经过的中点， ∴，， ∵， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）___________ ，___________ ； （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【答案】（1）3，4；（2）①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 解：（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4； （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2； ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——垂径定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】前置知识回顾 2 【知识点二】垂径定理（核心必考） 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 2 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用垂径定理求半径 3 【题型 2】利用垂径定理求弦心距 4 【题型 3】利用垂径定理求弓高 5 【题型 4】利用垂径定理求弦长 5 三.经典题型精析（巩固提升） 6 【知识点六】常见解题技巧指南 6 【题型 5】垂直定理及推论的理解 7 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 8 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 8 【题型 8】垂径定理与折叠问题 9 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 10 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.教材知识梳理 【知识点一】前置知识回顾 1. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是直径（圆中最长的弦）。 3. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 4. 勾股定理：直角三角形中，，是垂径定理计算的核心工具。 【知识点二】垂径定理（核心必考） 定理 图示 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 若为直径，于点， 则：，，。 【知识点三】垂径定理推论 文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【要点提示】推论中弦不能是直径！因为任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，此条件缺一不可。 【知识点四】垂径定理五要素（知二推三） 一条直线若满足以下任意两个条件，可推出剩余三个结论： 1. 过圆心（直径）； 2. 垂直于弦； 3. 平分弦（非直径）； 4. 平分弦所对的优弧； 5. 平分弦所对的劣弧。 【知识点五】垂径定理——半径、弦心距、半弦长直角三角形模型 1. 遇到弦的计算，必做辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点（半径）。 2. 构造Rt△： 3. 设：半径为，弦心距为，弦长为 4. 核心公式： 5. 拓展：弓形高（弦在圆心下方）或 （弦在圆心上方） 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用垂径定理求半径 【例题1】（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径． 【变式1】（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【变式2】（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【题型 2】利用垂径定理求弦心距 【例题2】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，．求：的长； 【变式1】（2026·湖南永州·二模）如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度． 【题型 3】利用垂径定理求弓高 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若，，求． 【变式1】（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 【题型 4】利用垂径定理求弦长 【例题4】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式2】（2026·陕西延安·一模）如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【变式3】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 三.经典题型精析（巩固提升） 【知识点六】常见解题技巧指南 1. 辅助线口诀：遇弦作垂直，半径连端点，直角三角形一键成型。 2. 计算必用半弦长：垂径定理所有计算，一律用半弦长代入勾股定理，切勿直接用整弦长。 3. 推论避坑：平分直径的直径不垂直，做题看到“平分弦”优先确认是否为直径。 4. 平行弦必分类：题目无图时，默认双解（同侧、异侧）。 【题型 5】垂直定理及推论的理解 【例题5】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【变式1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图， ，，都是的半径，于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【题型 6】利用垂径定理求平行弦间距离（分类讨论） 【例题6】（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，． （1）求证：直线； （2）求证：． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 核心考点：圆中平行弦、动点弦问题，必须分类讨论，绝大多数学生只算一种情况导致丢分。 【题型 7】利用垂径定理求同心圆中的值 【例题7】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． （1）求弦长； （2）圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 【题型 8】垂径定理与折叠问题 【例题8】（2024·山东枣庄·一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： （1）如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； （2）如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 【变式3】（24-25九年级上·云南昆明·期末）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径． 【题型 9】利用垂径定理解决综合问题 【例题9】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【变式3】（2026·安徽合肥·二模）如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积为，求的半径． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图， 是的弦，半径 于点 ．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 5．（2026·甘肃天水·一模）半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，垂直平分，垂足为．若，则（   ） A．3 B． C．2 D． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图, 是的直径, 是的弦, ，垂足为，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2026·新疆喀什·一模）如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 9．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广西南宁·一模）某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，于E，，，则的半径为___________． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 13．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，弦于点，，，连接．则的长为______． 16．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 17．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 18．（2026·陕西·一模）如图，在中，弦垂直于直径，垂足是，已知，则的长为__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． （1）求的度数； （2）若的半径为，求弦的长． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：；（2）若，求的半径． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北·单元复习）如图为O为圆心为直径的圆，且，， （1）证明E为中点 （2）求的长度 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求弦的长． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接． （1）用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为，，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． （1）___________ ，___________ ； （2）设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $