2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第12讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第12讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 2 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 2 【知识点四】阴影面积常用解题方法 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】弧长公式直接计算 3 【题型 2】扇形半径基础计算 4 【题型 3】求圆心角 5 【题型 4】求扇形面积 5 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 5】求弓形面积 6 【题型 6】求不规则图形面积 7 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 8 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 10 （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 11 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 1. 弧长：圆上任意一段曲线的长度叫做弧长。整个圆的周长为360°圆心角对应的弧长，度数小于360°的圆心角对应对应部分弧长。 2. 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，由一段弧、两条半径围成。 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 设圆的半径为，扇形圆心角度数为（为正整数，） 1. 弧长公式： 推导：360°圆心角对应周长，则1°对应弧长，对应弧长即为。 2. 扇形面积公式（两个，灵活选用） 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径）： 公式选用技巧：题目给圆心角用公式一，题目给弧长优先用公式二，计算更简便。 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 1. 已知弧长求圆心角： 2. 已知扇形面积求圆心角： 【知识点四】阴影面积常用解题方法 1. 割补法：将不规则阴影拼接、平移、旋转，转化为扇形、三角形、半圆等规则图形； 2. 加减法则：阴影面积 = 整体图形面积 − 空白图形面积； 3. 多扇形拼接：相同半径、不同圆心角的扇形可合并计算总面积。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 区分弧长单位与面积单位：弧长是长度单位，扇形面积是面积单位，不可混用； 2. 公式中不带单位，仅代入数值计算，切勿重复加°； 3. 两个扇形面积公式适用场景不同，禁止混淆； 4. 计算结果若无特殊要求，保留即可，无需取近似小数。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】弧长公式直接计算 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【变式1】（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏盐城·三模）如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 【变式3】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【题型 2】扇形半径基础计算 【例题2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． （1）求这个扇形的半径； （2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·开学考试）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【变式3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【题型 3】求圆心角 【例题3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【变式1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 【题型 4】求扇形面积 【例题3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______ ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，是的直径，弦，连接，，，且． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】求弓形面积 【例题5】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． （1）求的长． （2）求弓形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【变式3】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： （1）求的长， （2）弦与劣弧所围成的面积 【题型 6】求不规则图形面积 【例题6】（2026·河南三门峡·三模）如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·山西运城·三模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【变式3】（2026·河南商丘·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交于点，与相切于点，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 四.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川广安·二模）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 8．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（25-26六年级下·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 11．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 13．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 14．（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 15．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 16．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（第27章圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））如图，在半径为的中，弦的长为，求点到弦的距离及弧的长度． 18．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 19．（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 20．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，是直径，，． （1）连接，求证：四边形是菱形； （2）若，求图中阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第12讲）——弧长与扇形面积（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念 1 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 2 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 2 【知识点四】阴影面积常用解题方法 2 【知识点五】高频易错点汇总 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】弧长公式直接计算 3 【题型 2】扇形半径基础计算 6 【题型 3】求圆心角 9 【题型 4】求扇形面积 11 三.经典题型精析（综合提升） 14 【题型 5】求弓形面积 14 【题型 6】求不规则图形面积 19 四.同步自测 23 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 23 （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 28 （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 32 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念 1. 弧长：圆上任意一段曲线的长度叫做弧长。整个圆的周长为360°圆心角对应的弧长，度数小于360°的圆心角对应对应部分弧长。 2. 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。扇形是圆的一部分，由一段弧、两条半径围成。 【知识点二】两大核心公式（必考、必须熟记） 设圆的半径为，扇形圆心角度数为（为正整数，） 1. 弧长公式： 推导：360°圆心角对应周长，则1°对应弧长，对应弧长即为。 2. 扇形面积公式（两个，灵活选用） 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径）： 公式选用技巧：题目给圆心角用公式一，题目给弧长优先用公式二，计算更简便。 【知识点三】公式常见变形（逆向计算高频考点） 1. 已知弧长求圆心角： 2. 已知扇形面积求圆心角： 【知识点四】阴影面积常用解题方法 1. 割补法：将不规则阴影拼接、平移、旋转，转化为扇形、三角形、半圆等规则图形； 2. 加减法则：阴影面积 = 整体图形面积 − 空白图形面积； 3. 多扇形拼接：相同半径、不同圆心角的扇形可合并计算总面积。 【知识点五】高频易错点汇总 1. 区分弧长单位与面积单位：弧长是长度单位，扇形面积是面积单位，不可混用； 2. 公式中不带单位，仅代入数值计算，切勿重复加°； 3. 两个扇形面积公式适用场景不同，禁止混淆； 4. 计算结果若无特殊要求，保留即可，无需取近似小数。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】弧长公式直接计算 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 【变式1】（2026·贵州安顺·二模）如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 解：连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 【变式2】（2025·江苏盐城·三模）如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为______．（用含m，d的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，先利用弧长公式求解，可得，再利用弧长公式计算即可． 解：∵的长为m，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 【题型 2】扇形半径基础计算 【例题2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． （1）求这个扇形的半径； （2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）连接，，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，利用勾股定理计算即可． （2）设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可． 解：（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·开学考试）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接，交于点C和点D，交半径于点B，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】2 【分析】本题考查的是圆锥的计算、线段垂直平分线的性质、尺规作图，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据余弦的定义求出，进而求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可． 解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 【题型 3】求圆心角 【例题3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段检测）半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 解：，， ∴． ∴这个圆心角为． 【点拨】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是______． 【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，利用弧长公式列方程求解即可． 解：设此扇形的圆心角为， ， 解得：． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】（1）扇形圆心角的度数为；（2）花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 解：（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 【题型 4】求扇形面积 【例题3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． （1）求的长； （2）求扇形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 解：（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】先利用弧长公式求出扇形半径，再根据扇形面积公式计算结果． 解：设扇形的半径为， 由题意得， 解得 ， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，是的直径，弦，连接，，，且． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握垂径定理，扇形面积的计算是关键． （1）根据圆周角定理得到，由平角的性质即可求解； （2）根据题意得到，，所以阴影部分的面积是扇形的面积，根据扇形的面积的计算即可求解． 解：（1）解：所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径，弦，设垂足为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】求弓形面积 【例题5】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． （1）求的长． （2）求弓形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． （1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 解：（1）解：如图所示， 由垂径定理得，， 由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：, ∴弓形的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点拨】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 【变式2】（2025·广东中山·三模）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，三角形的面积，解直角三角形，过C作于H，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，由，得到，求出的面积，扇形的面积，即可得到阴影部分的面积． 解：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵扇形的面积， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： （1）求的长， （2）弦与劣弧所围成的面积 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出； （2）首先解直角三角形求出，然后得到，然后根据弦与劣弧所围成的面积代数求解即可． 解：（1）解：连接， ∵的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴弦与劣弧所围成的面积． 【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解直角三角形，求弓形面积，熟练掌握垂径定理的内容是解本题的关键． 【题型 6】求不规则图形面积 【例题6】（2026·河南三门峡·三模）如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解k值即可； （2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得，由求解即可． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接． ． 为的直径， ， ， ． 【变式1】（2026·山西运城·三模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可． 解：记的中点为点O， 连接和， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为， 过O点作于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴扇形的面积， ∴【变式2】（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【答案】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·河南商丘·二模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交于点，与相切于点，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，得出，从而得到，结合为半圆的相切，可得，进而求出的度数． （2）由为等边三角形，得，在中，用三角函数分析求出，再分别求出，，进而求出阴影部分面积. 解：（1）解：， ． ， ． ． ． 与半圆相切， ． ． ． （2）解：，， 为等边三角形． ． ， ． 在中，， ． ． ， 阴影部分面积． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 解：由题意可得，弧的长为． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 3．（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 解：∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 5．（2026·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 解：如图： ； ； 则． 故选：D． 6．（2025·四川广安·二模）如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 8．（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． （二）填空题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 9．（25-26六年级下·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长， 根据弧长公式得，解得． 根据扇形面积公式． 11．（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 解：∵扇形的圆心角为，其半径为， ∴． 13．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 14．（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 解：根据图2可知，图形是由2个完全相同的扇形重叠在一起得到的， ∴阴影部分的面积2个扇形面积正方形的面积， ∵正方形的边长为4cm， ∴扇形的半径为4cm， ∴阴影部分的面积（）． 15．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． （三）解答题（本大题共4个小题,每小题9分,共36分） 17．（第27章圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））如图，在半径为的中，弦的长为，求点到弦的距离及弧的长度． 【答案】点到弦的距离为，弧的长度为 【分析】本题主要考查解直角三角形，弧长公式等知识；过点作于点，根据题意得到是等边三角形，根据和弧长公式计算求解即可， 解：过点作于点，如图所示： ， 是等边三角形， ， ， 的长度； 即点到弦的距离为，弧的长度为． 18．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． （1）求α； （2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算． 解：（1）解：设∠AOB＝n°， 根据题意得， 解得n＝120， α为120°； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图， ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝60°， ∴ODOC＝2， ∴CDOD， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC ． 【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 19．（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； （3）解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点拨】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 20．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，是直径，，． （1）连接，求证：四边形是菱形； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质求出，利用圆周角定理可得，，证明和是等边三角形，易得四边形是菱形； （2）设与交于点E，证明是等边三角形，求出的半径，然后利用菱形的性质和勾股定理求出、，再根据列式计算即可． 解：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∴ ． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理进行推理计算是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $