2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第4讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测）-

暑期预习讲义（第4讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】二次函数的概念（基础必考） 2 【题型 1】 二次函数的识别及参数的取值 2 【知识点二】最简单二次函数 的图象与性质 3 【题型 2】 二次函数 的图象与性质 3 【知识点三】顶点式 图象与核心性质（重点） 4 【题型 3】 二次函数 的图象与性质（基础夯实） 4 【题型 4】 二次函数 的图象与性质（综合提高） 5 【知识点四】抛物线平移规律（必考易错） 5 【题型 5】抛物线平移规律（基础夯实） 6 【知识点五】一般式 核心公式（计算核心） 6 【题型 6】 二次函数 对称轴、顶点坐标、最值、增减性（基础夯实） 7 【题型 7】 二次函数 图象与性质（综合提升） 7 【知识点六】抛物线与坐标轴交点性质 9 【题型 8】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（基础夯实） 9 【题型 9】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（综合提升） 10 【知识点七】二次函数高频易错点汇总 11 【题型 10】 二次函数图象与性质（综合提升） 11 【知识点八】解题通用思路 12 【题型 11】 二次函数图象与性质（压轴） 12 二.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 适用章节：二次函数入门核心（九年级重难点、中考压轴必考模块） 一.教材知识梳理 【知识点一】二次函数的概念（基础必考） 1. 定义：一般地，形如 （ 是常数，）的函数，叫做二次函数。 2. 核心三要素 ① 自变量最高次数为2； ② 解析式为整式形式，分母、根号内不含自变量； ③ 二次项系数 ， 可以为0。 3. 二次函数三种常见形式 ① 一般式：（通用形式，用于求系数、常规计算）； ② 顶点式：（直接体现顶点、对称轴，用于最值、平移问题）； ③ 交点式：（仅抛物线与x轴有两个交点时可用， 为交点横坐标）。 4. 概念判断口诀：整式二次a非零，一次常数可归零 【题型 1】 二次函数的识别及参数的取值 【例题1】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【知识点二】最简单二次函数 的图象与性质 1. 图象形状：所有二次函数图象都是抛物线，轴对称曲线，有且只有一条对称轴。 2. 核心性质分类 ① 当 时：抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值；对称轴为y轴（），顶点坐标 ； ② 当 时：抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值；对称轴为y轴（），顶点坐标 。 3. 增减性规律 ① ： 时，y随x增大而减小； 时，y随x增大而增大； ② ： 时，y随x增大而增大； 时，y随x增大而减小。 4. 开口大小规律： 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 基础抛物线口诀：a正开口上，a负开口下，绝对值越大口越狭 【题型 2】 二次函数 的图象与性质 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【知识点三】顶点式 图象与核心性质（重点） 1. 顶点坐标：，对称轴：直线 2. 最值规律 ① ：当 时，； ② ：当 时，。 3. 增减性规律 ① ：对称轴左侧（）递减，右侧（）递增； ② ：对称轴左侧（）递增，右侧（）递减。 顶点式口诀：h定对称轴，k定最值端，左减右增看a正负 【题型 3】 二次函数 的图象与性质（基础夯实） 【例题3】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式1】（24-25九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【题型 4】 二次函数 的图象与性质（综合提高） 【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线 （1）求这个二次函数的顶点坐标； （2）点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 【变式1】（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点在抛物线上，且点P在第一象限内． （1）求m的值； （2）过点P作轴交抛物线于点Q，若，试求点P，Q与原点O围成的三角形的面积． 【知识点四】抛物线平移规律（必考易错） 1. 平移本质：仅改变顶点位置，不改变开口大小和方向（ 值不变）。 2. 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 3. 具体规则 ① 左右平移：针对x变化，向左平移m个单位，x变为；向右平移m个单位，x变为； ② 上下平移：针对整体函数，向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n。 【题型 5】抛物线平移规律（基础夯实） 【例题5】（25-26九年级下·全国·课后作业）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 【知识点五】一般式 核心公式（计算核心） 1. 对称轴公式：直线 2. 顶点纵坐标（最值）公式： 3. 顶点坐标： 4. 系数图象意义 ①：决定开口方向与开口大小； ② ：结合a决定对称轴位置， 同号对称轴在y轴左侧， 异号对称轴在y轴右侧， 对称轴为y轴； ③ ：决定抛物线与y轴交点，交点坐标为 。 系数判断口诀：a看开口b看轴，c看y轴交点留，左同右异b符号 【题型 6】 二次函数 对称轴、顶点坐标、最值、增减性（基础夯实） 【例题6】（24-25九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________ 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 【题型 7】 二次函数 图象与性质（综合提升） 【例题7】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【知识点六】抛物线与坐标轴交点性质 1. 与y轴交点：恒为 ，所有二次函数均有且只有一个y轴交点。 2. 与x轴交点个数（结合判别式） ① ：抛物线与x轴有两个不相同的交点； ② ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ③ ：抛物线与x轴无交点。 【题型 8】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（基础夯实） 【例题8】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【题型 9】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（综合提升） 【例题9】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？ 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 【变式3】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求该二次函数的图像与轴的交点坐标； （2）求的面积． 【知识点七】二次函数高频易错点汇总 1. 判断二次函数必须紧盯，题目含参数时切勿忽略该条件； 2. 平移问题极易混淆：左右平移只变x，遵循左加右减，不是整体加减； 3. 增减性必须结合对称轴，不能笼统描述，区间以对称轴为分界； 4. 最值问题：未限定自变量范围时，最值即为顶点纵坐标；限定范围时需结合区间判断； 5. 对称轴公式符号易错：固定为 ，切勿遗漏负号。 【题型 10】 二次函数图象与性质（综合提升） 【例题10】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数相交于点，点在线段上（不与点，重合），的顶点，分别在线段，上．设点的横坐标为． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）求面积的最大值． 【知识点八】解题通用思路 1. 判图象：通过a、b、c正负，快速判断开口、对称轴、交点位置； 2. 找关键：优先确定对称轴、顶点、最值、增减区间； 3. 用平移：顶点式优先用于平移、最值问题，计算更简便； 4. 定范围：涉及取值、最值计算，务必关注自变量取值范围； 5. 验参数：含参题型，全程保证 ，规避概念性错误。 【题型 11】 二次函数图象与性质（压轴） 【例题11】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． （1）求抛物线表达式； （2）已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（2026·安徽·二模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【变式3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·陕西咸阳·一模）若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 10．（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的对称轴为直线________． 14．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 15．（25-26九年级上·吉林长春·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 16．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 17．（2022九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 18．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求的值； （2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 21．（本小题满分10分）（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． （1）作出抛物线关于轴对称的图象． （2）新图象的函数表达式为______． （3）设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． （1）将配方成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （3）当时，求的取值范围． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． （1）求的值及二次函数图象的对称轴； （2）过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——二次函数的图象与性质（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】二次函数的概念（基础必考） 2 【题型 1】 二次函数的识别及参数的取值 2 【知识点二】最简单二次函数 的图象与性质 4 【题型 2】 二次函数 的图象与性质 5 【知识点三】顶点式 图象与核心性质（重点） 8 【题型 3】 二次函数 的图象与性质（基础夯实） 8 【题型 4】 二次函数 的图象与性质（综合提高） 10 【知识点四】抛物线平移规律（必考易错） 13 【题型 5】抛物线平移规律（基础夯实） 13 【知识点五】一般式 核心公式（计算核心） 15 【题型 6】 二次函数 对称轴、顶点坐标、最值、增减性（基础夯实） 15 【题型 7】 二次函数 图象与性质（综合提升） 18 【知识点六】抛物线与坐标轴交点性质 23 【题型 8】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（基础夯实） 23 【题型 9】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（综合提升） 26 【知识点七】二次函数高频易错点汇总 29 【题型 10】 二次函数图象与性质（综合提升） 29 【知识点八】解题通用思路 34 【题型 11】 二次函数图象与性质（压轴） 34 二.同步自测 40 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 40 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 46 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 51 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 适用章节：二次函数入门核心（九年级重难点、中考压轴必考模块） 一.教材知识梳理 【知识点一】二次函数的概念（基础必考） 1. 定义：一般地，形如 （ 是常数，）的函数，叫做二次函数。 2. 核心三要素 ① 自变量最高次数为2； ② 解析式为整式形式，分母、根号内不含自变量； ③ 二次项系数 ， 可以为0。 3. 二次函数三种常见形式 ① 一般式：（通用形式，用于求系数、常规计算）； ② 顶点式：（直接体现顶点、对称轴，用于最值、平移问题）； ③ 交点式：（仅抛物线与x轴有两个交点时可用， 为交点横坐标）。 4. 概念判断口诀：整式二次a非零，一次常数可归零 【题型 1】 二次函数的识别及参数的取值 【例题1】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】（1）；（2），纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 解：（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【变式2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 解：（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 【知识点二】最简单二次函数 的图象与性质 1. 图象形状：所有二次函数图象都是抛物线，轴对称曲线，有且只有一条对称轴。 2. 核心性质分类 ① 当 时：抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值；对称轴为y轴（），顶点坐标 ； ② 当 时：抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值；对称轴为y轴（），顶点坐标 。 3. 增减性规律 ① ： 时，y随x增大而减小； 时，y随x增大而增大； ② ： 时，y随x增大而增大； 时，y随x增大而减小。 4. 开口大小规律： 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 基础抛物线口诀：a正开口上，a负开口下，绝对值越大口越狭 【题型 2】 二次函数 的图象与性质 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 【变式2】（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 解：（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）1；（2），顶点坐标为，对称轴为y轴 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 解：（1）解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； （2）解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 【知识点三】顶点式 图象与核心性质（重点） 1. 顶点坐标：，对称轴：直线 2. 最值规律 ① ：当 时，； ② ：当 时，。 3. 增减性规律 ① ：对称轴左侧（）递减，右侧（）递增； ② ：对称轴左侧（）递增，右侧（）递减。 顶点式口诀：h定对称轴，k定最值端，左减右增看a正负 【题型 3】 二次函数 的图象与性质（基础夯实） 【例题3】（25-26九年级下·全国·课后作业）试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 解：对于二次函数， 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下； 该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口向上 直线 开口向下 解：略 【变式1】（24-25九年级下·宁夏银川·开学考试）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 解：（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 【题型 4】 二次函数 的图象与性质（综合提高） 【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线 （1）求这个二次函数的顶点坐标； （2）点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】（1）；（2）＜ 【分析】考查二次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的对称增减性质，是解题的关键 （1）把二次函数解析式化成顶点式即可得顶点坐标； （2）根据二次函数开口向下，在对称轴右侧随增大而减小即可比较与的大小． 解：（1）解：∵， ∴顶点． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点、均在此抛物线上，且， ∴， 故答案为：<． 【变式1】（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点在抛物线上，且点P在第一象限内． （1）求m的值； （2）过点P作轴交抛物线于点Q，若，试求点P，Q与原点O围成的三角形的面积． 【答案】（1）2；（2）3 【分析】本题考查了点与抛物线的关系，抛物线的对称性及三角形面积公式． （1）先代入点P的坐标到抛物线中，根据点P在第一象限内即可求得m的值； （2）先确定抛物线的解析式，再求出点P和点Q的坐标，得出的值，最后利用三角形面积公式即可求出其面积． 解：（1）解：∵点在抛物线上，且在第一象限， ∴， ∴可得，解得或， ∴． （2）解：∵， ∴，抛物线的解析式为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为3， 将代入，得， 解得或， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴． 【知识点四】抛物线平移规律（必考易错） 1. 平移本质：仅改变顶点位置，不改变开口大小和方向（ 值不变）。 2. 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 3. 具体规则 ① 左右平移：针对x变化，向左平移m个单位，x变为；向右平移m个单位，x变为； ② 上下平移：针对整体函数，向上平移n个单位，整体加n；向下平移n个单位，整体减n。 【题型 5】抛物线平移规律（基础夯实） 【例题5】（25-26九年级下·全国·课后作业）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标． 解：先将原抛物线配方化为顶点式： 抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下． 根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为． 平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线． 因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线；（2） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及函数平移的性质，掌握好一般式化顶点式的步骤和顶点式的平移规律是解题关键． （1）将一般式化成顶点式，根据顶点式得出顶点坐标和对称轴； （2）根据函数平移的规律，得出新函数的解析式． 解：（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知，新函数的解析式为． 【知识点五】一般式 核心公式（计算核心） 1. 对称轴公式：直线 2. 顶点纵坐标（最值）公式： 3. 顶点坐标： 4. 系数图象意义 ①：决定开口方向与开口大小； ② ：结合a决定对称轴位置， 同号对称轴在y轴左侧， 异号对称轴在y轴右侧， 对称轴为y轴； ③ ：决定抛物线与y轴交点，交点坐标为 。 系数判断口诀：a看开口b看轴，c看y轴交点留，左同右异b符号 【题型 6】 二次函数 对称轴、顶点坐标、最值、增减性（基础夯实） 【例题6】（24-25九年级上·全国·课前预习）当a＞0时，的开口方向________顶点坐标_________对称轴_________在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而________；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而_________，当x＝时，y有最小值y＝________ 【答案】 向上 （，） x＝ 减小 增大 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【答案】C 【分析】通过将二次函数化为顶点形式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值． 解： 将二次函数化为顶点式：， A、二次项系数，故抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为直线，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为，C正确，符合题意； D、开口向上， 函数有最小值，无最大值，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点拨】将二次函数化为顶点式是分析其性质的关键，可直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1）；（2）有最小值，最小值为1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 解：（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； （3）根据（2）得出C点坐标为，由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． 解：（1）解：∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为． 故答案为：． （2）将A点坐标代入函数解析式得， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． （3）解：将代入函数解析式得，， ∴C点坐标为， ∵，， ∴， ∴． 【题型 7】 二次函数 图象与性质（综合提升） 【例题7】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 【变式2】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． ①根据直线是对称轴，结合对称轴公式可得，进而即可判断；②求出当时的值，再结合图象判断即可；③求出两点距离函数对称轴的距离即可判断；④由图象可知抛物线与轴有两个交点，进而即可判断． 解：①∵二次函数对称轴为， ∴ ，故①正确． ②当时， ， 由图像可知，在到之间，且时，时，开口向下， ∴时， ∴ ，故②正确； ③由题意得，抛物线的对称轴为， ∴到的距离为，到的距离为， ∵抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， ∴，故③正确． ④由图象可得，抛物线与轴有两个交点， ∴判别式，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选D． 【知识点六】抛物线与坐标轴交点性质 1. 与y轴交点：恒为 ，所有二次函数均有且只有一个y轴交点。 2. 与x轴交点个数（结合判别式） ① ：抛物线与x轴有两个不相同的交点； ② ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ③ ：抛物线与x轴无交点。 【题型 8】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（基础夯实） 【例题8】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 解：（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 【题型 9】 二次函数 图象与坐标轴交点坐标（综合提升） 【例题9】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？ 【答案】（1）；（2）和；（3）先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（或先向下平移8个单位长度，再向右平移1个单位长度） 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答； （1）根据题意列出方程组，求得，即可求得二次函数的表达式； （2）将代入中，求得的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标； （3）确定函数图象的平移方式，需先将函数化为顶点式，根据顶点的变化“上加下减，左加右减”来确定平移方向和单位． 解：（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知，， 当时，，化简得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； （3）解：∵， ∴先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（或先向下平移8个单位长度，再向右平移1个单位长度）可得到抛物线． 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 解：A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】把代入求出，，得出，再求出顶点，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 解：把代入得：， 解得：，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求该二次函数的图像与轴的交点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）15 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令得到关于x的方程求得x的值，再结合点在点左侧即可解答； （2）先求得、，如图：过点D作轴于点E，则，再根据求解即可． 解：（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∵点在点左侧， ． （2）解：在中，令，则， ， ∵，点是抛物线的顶点 ， 如图：过点D作轴于点E，则， ． 【知识点七】二次函数高频易错点汇总 1. 判断二次函数必须紧盯，题目含参数时切勿忽略该条件； 2. 平移问题极易混淆：左右平移只变x，遵循左加右减，不是整体加减； 3. 增减性必须结合对称轴，不能笼统描述，区间以对称轴为分界； 4. 最值问题：未限定自变量范围时，最值即为顶点纵坐标；限定范围时需结合区间判断； 5. 对称轴公式符号易错：固定为 ，切勿遗漏负号。 【题型 10】 二次函数图象与性质（综合提升） 【例题10】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】（1）；；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数相交于点，点在线段上（不与点，重合），的顶点，分别在线段，上．设点的横坐标为． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出点、的坐标，根据平行四边形的性质得出，表示出的长即可； （2）过点作轴于，用表示出的面积，利用二次根式的性质求解即可． 解：（1）解：∵的顶点，分别在线段，上，点的横坐标为， ∴，，， ∴． （2）解：如图，过点作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴时，取最大值，最大值为． 【知识点八】解题通用思路 1. 判图象：通过a、b、c正负，快速判断开口、对称轴、交点位置； 2. 找关键：优先确定对称轴、顶点、最值、增减区间； 3. 用平移：顶点式优先用于平移、最值问题，计算更简便； 4. 定范围：涉及取值、最值计算，务必关注自变量取值范围； 5. 验参数：含参题型，全程保证 ，规避概念性错误。 【题型 11】 二次函数图象与性质（压轴） 【例题11】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． （1）求抛物线表达式； （2）已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）根据对称轴公式求出，再将代入求解即可； （2）①求出关于对称轴直线的对称点，根据二次函数的图象列不等式组求解即可； ②先求出最大时，，进而求出，求出时的值即可． 解：（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设关于对称轴直线的对称点为， ∴， 解得：， ∴关于对称轴直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对于，都有， ∴， 解得：； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在内，抛物线在取得最大值， 即最大时，， ∵的最大值为2， ∴最大时，， 解得：， 当时，解得（舍去）或． 即． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】联立与，联立与，可得，，得，，得． 解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键． 【变式2】（2026·安徽·二模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 /0.5 【分析】（1）由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式． （2）由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 解：（1）∵直线交轴于，交轴于， ∴令，得，令，得， 所以，， 抛物线过A、B： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵抛物线解析式为：， ∴抛物线对称轴：， ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴， 设在抛物线上，则 ， ∴ 代入： ， 令，则， ， ∴， 令，则， 将转化为关于u的二次函数， ∴， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ∴（舍去），， 此时 ， ∵， ∴当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 【变式3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案． 解：选项A：是正比例函数，不符合定义； 选项B：是二次函数，不符合定义； 选项C：符合 （）的形式，是反比例函数，符合要求； 选项D：是正比例函数，不符合定义． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 3．（2025·陕西咸阳·一模）若抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）只经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故选：D． 4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，可通过配方法求解． 解：∵， ∵ ∴当时，二次函数最小值为， 故选：D． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 6．（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 7．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 8．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法，根据绝对值的性质求出m、n的值，再根据判断出m、n的对应情况，再相加即可得解． 解：∵，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 则当时，的值随着n的增大而增大； 当时，；当时，； ∴当时，， 即． 只有D符合题意. 故选D． 9．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质进行判断． 解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 若，则， 选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D 10．（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，先根据函数图象得出当B、E重合时，F和C重合，此时，即，然后证明，求出，进而求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 解：由图2知：当时，， ∴当B、E重合时，F和C重合，此时， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 12．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 解：， 抛物线的对称轴为直线． 14．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 15．（25-26九年级上·吉林长春·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设关于的方程的两根为，，利用根与系数的关系得出，，结合两根之差为的条件，推导出关于的表达式，代入得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求的最大值即可． 解：设关于的方程的两根为，， 由根与系数的关系可得，， 由题意得， 两边平方得， ， ， 整理得， 将代入，得， 是关于的二次函数，二次项系数，开口向下，顶点处取得最大值， 当时，， 的最大值为． 17．（2022九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 18．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求的值； （2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 解：（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 解：（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 21．（本小题满分10分）（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． （1）作出抛物线关于轴对称的图象． （2）新图象的函数表达式为______． （3）设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）四边形为菱形．理由见分析 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据对称之后的图像特征求解析式即可； （3）先证明四边形为平行四边形，再根据证明菱形． 解：（1）解：抛物线关于轴对称的图象如图． （2）解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 22．（本小题满分10分）（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． （1）将配方成的形式； （2）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）开口向上，对称轴为直线；（3）当时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 解：（1）解： （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． （1）求的值及二次函数图象的对称轴； （2）过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 【答案】（1），对称轴为直线；（2）①；② 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，线段的中点，一次函数的图像与性质，绝对值的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由二次函数的图象经过点，得到， 即，则对称轴为直线，即可解答； （2）①先求出，，推导出，，由B为线段的中点，得到，求出（舍去）或，即可解答； ②先求出，，得到，当时，有最大值，最大值为，则，解得，即可解答． 解：（1）解：把原点代入，得 ， ∴二次函数， 二次函数的图象经过点， ， 即． 对称轴为直线． （2）解：①， ， 经过点且平行轴， ， 为线段的中点， ． 解得（舍去）或． ． ②，， ，． 又， 当时，有最大值，最大值为． ， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $