2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第5讲）——二次函数与方程不等式（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第5讲）——二次函数与方程不等式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【核心知识点】 1 【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1 【题型2】已知函数值，求自变量的值 4 【题型3】 判断抛物线与坐标轴交点个数 6 【题型4】求抛物线在x轴上的截线长（交点线段长度） 11 【题型5】图象法解一元二次不等式 14 【题型6】根据函数交点确定不等式解集 18 二.同步自测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 学习方法：先读概念→学例题→练变式→同步自测 适用章节：二次函数数形结合核心（九年级期末、中考选择填空+大题高频考点） 一.教材知识梳理 【核心知识点】 设二次函数解析式： 1. 抛物线与 轴交点横坐标即为一元二次方程 的根 2. 抛物线在 轴上下位置即为一元二次不等式解集 3. 判别式 ：决定交点个数、根的个数、解集的情况。 【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1. 核心知识点：（1） 轴上的点：；（2） 轴上的点： 2. 解题方法：① 求与y轴交点：令 ，得 ，交点为 ；② 求与x轴交点：令 ，解方程 ，根为 ，交点为 。 【例题1】（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】把代入求出，，得出，再求出顶点，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 解：把代入得：， 解得：，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴． 【变式3】（23-24九年级下·甘肃武威·开学考试）已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标． 【答案】 抛物线表达式为，点的坐标为 解：将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为． 【题型2】已知函数值，求自变量的值 1. 核心原理：已知 ，本质：解方程 2. 解题方法：① 代入：把 代入解析式；② 整理：化为标准一元二次方程 ；③ 求解：因式分解或配方法/公式法求 。 【例题2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 （1）当时，y的值是多少？ （2）当x为何值时，y的值为0？ 【答案】（1）；（2）或 解：（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当该二次函数的函数值为时，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为或． 【分析】本题考查的是二次函数的表达式求解及函数值对应的自变量计算，解题关键是利用顶点式设出二次函数表达式，代入已知点求出参数，再代入函数值求解自变量． （1）设二次函数的顶点式，代入点求出，得到表达式． （2）将代入已求的二次函数表达式，解方程得的值． 解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 图象过点， ， 解得， 二次函数表达式为． （2）令，代入表达式得， 整理得 解得或 的值为或． 【题型3】 判断抛物线与坐标轴交点个数 抛物线与坐标轴交点个数与根的情况（与判别式联动） ① ：抛物线与x轴有两个不同交点，对应方程有两个不相等的实数根； ② ：抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点在x轴上），对应方程有两个相等的实数根； ③ ：抛物线与x轴无交点，对应方程无实数根。 【题型 3.1】求抛物线与坐标轴交点个数 【例题3】（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）抛物线与轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．有且只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．把二次函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据的取值情况来进行判断． 解：∵， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是______． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点，与一元二次方程解的联系即可解答． 解：关于x的一元二次方程没有实数根， 二次函数的图象与x轴没有交点， 即交点个数是0． 故答案为：0． 【变式3】（24-25九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数 （1）该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； （2）画出该二次函数的图象． 【答案】（1） ； ；；（2）见分析 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令求出y的值，令求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）根据（1）中抛物线与y轴的交点及对称轴，由函数图象可得出结论． 解：（1）解：， 顶点坐标为， 对称轴为：直线， 当时，， 解得：或， 它与x轴的交点坐标为和； 当时，， 它与y轴的交点坐标为； （2）解：函数图象，如图所示： 【题型 3.2】已知抛物线与坐标轴交点个数求参数 【例题4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与x轴有两个交点，把该抛物线向下平移m个单位长度得到新抛物线与x轴没有交点，则m的值可以是___________．（只填一个符合题意的值即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】先根据抛物线与x轴有两个交点，得出，然后写出平移后的抛物线解析式为，根据新抛物线与x轴没有交点，得出，再求解即可． 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴抛物线开口向下，即， ∴抛物线向下平移m个单位长度后，新抛物线解析式为， ∵新抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴， 取符合题意的m的值为2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一） 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的最值、抛物线与x轴的交点等知识． 【变式1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 【变式2】（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 【变式3】（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，一段抛物线：，记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，…，，则点的坐标为____________；若点M（，m）在第3段抛物线上，则m＝___________． 【答案】 ， 【分析】根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案． 解：∵c1为=-x（x-1）=-（x-）2+（0≤x≤1）， ∴则P1的纵坐标为，x1=0，x2=1， ∵OA1=1，OA2=2， ∴P2（，-），即P2， 同理：P3（，），即P3， ∴C3为y=-（x-）2+， 当x=时，m= -（-）2+=， 故答案为，． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键． 【题型4】求抛物线在x轴上的截线长（交点线段长度） 1. 核心公式（必考速算）设抛物线交x轴于 则：截线长： 推导：（韦达定理） 2. 两种解法：方法一：解方程求出两根，直接做差取绝对值；方法二：不解方程，直接用 进行运算。 【例题5】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·阶段检测）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【答案】4 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点拨】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 【题型5】图象法解一元二次不等式 1. 核心方法： （1） ：取x轴上方图象对应的x范围；（2）- ：取x轴下方图象对应的x范围 2. 分开口总结：设方程两根 ① 开口向上（a>0）： 或 ； ② 开口向下（a<0）：； 或 3. 解题步骤：求根 → 看开口 → 看上下位置 → 写解集 【例题6】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： （2）当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． （3）当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，根据题意利用数形结合的方法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 解：（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式3】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标为______． （2）对称轴为______． （3）当______时，y有最大值是______． （4）当______时，随着的增大而增大． （5）当______时，． （6）关于的方程的解为______． 【答案】（1）；（2）直线；（3），；（4）；（5）；（6），． 【分析】本题考查了二次函数图象性质的基础应用，熟练掌握二次函数的顶点、对称轴、单调性、函数与方程的关系是解题的关键． 从图象中可直接观察到顶点的横、纵坐标； 二次函数的对称轴是过顶点且垂直于轴的直线，其方程为的顶点的横坐标，所以由顶点横坐标可直接得到对称轴； 因为抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降，所以顶点是最高点． 抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，即可得出随增大而增大的区间； 根据图象即可求解； 方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． 解：（1）解：抛物线与轴交点的坐标分别是和， 对称轴是：直线， 抛物线的顶点是图象的最高点，从图中可直接看出顶点坐标为； 故答案为：； （2）解：抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线； （3）解：抛物线开口向下图象从顶点向两侧下降， 顶点是最高点，即当时，有最大值； 故答案为：，； （4）解：抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大； 故答案为：； （5）解：当时，即抛物线在轴上方的部分， 由图可知当时，， 故答案为：； （6）解：方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标， 即，； 故答案为：，． 【题型6】根据函数交点确定不等式解集 1. 核心考点（压轴常考） （1）对比 、 两个函数 （2）交点横坐标为临界值：左右区间谁在上、谁在下，直接判定解集 2. 解题步骤 ① 求出抛物线与直线的交点横坐标 ② 分区间观察：谁的图象在上方，谁的函数值更大 ③ 直接写出 或 的解集 3. 关键技巧 无需复杂计算！交点是分界，图象高低定大小 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式和另一交点的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 解：（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 解：由图象得当时，， 故选：D． 【变式2】（2024九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据图象，写出满足不等式的解集：________； （3）当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围． （1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标； （2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集； （3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 解：（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的对称轴为， 点与点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 （2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 故不等式的解集为． 故答案为：． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 解：由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 6．（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 7．（2026九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 10．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 12．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点拨】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 13．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 17．（2024九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点，的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于，， 函数关于y轴对称，且，， ，， 化简为， 根据函数图像，可知当时，二次函数的图像在一次函数的图像上方， ∴不等式的解集为． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线的对称轴． 【答案】（1）；（2）抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 解：（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 解：（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 22．（本小题满分10分）（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． （1）求的解析式； （2）直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点和代入抛物线，求解二元一次方程组即可； （2）根据函数图象的平移规律求得，联立，，求得交点坐标，然后结合函数图象，确定的部分． 解：（1）解：将点和代入抛物线可得 ，解得， 则； （2）解：将抛物线向右平移一个单位可得， 联立，可得，， 化简可得， 解得， 结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为． 23．（本小题满分10分）（2023·江苏淮安·模拟预测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式和点、点坐标； （2）若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路． （1）根据点的坐标，，求出点，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据抛物线与的交点，则，解出，即可； （2）根据平行四边形的性质，分类讨论当，为边时，即四边形是平行四边形，当，为对角线，即四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，进行解答，即可． 解：（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点，， ∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， 解得：，， ∴点． （2）解：存在，理由如下： 设点， 当，为边时，即四边形是平行四边形， ∴轴， ∴， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，不能构成平行四边形，舍去， ∴点； 当，为对角线，即四边形是平行四边形， ∵点，在轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点或， 综上所述，点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·四川乐山·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，M为抛物线的顶点． （1）求点A、点B的坐标和这个二次函数的解析式； （2）若将该二次函数图象向上平移（）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包含边界），求m的取值范围； （3）点P是抛物线上一动点，交x轴于点Q，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 【答案】（1），，；（2）；（3）或或 【分析】（1）令，求出点A个点B的坐标，再根据，求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）先求出点M的坐标，在求出的解析式，把代入的解析式，求出，再根据平移的性质得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点落在的内部，得出关于m的不等式组求解即可得出答案． （3）分两种情况当点P在点Q的上方和当点P在点Q的下方时，利用平行四边形的性质求解即可． 解：（1）解：令，则， ， 或3， ，， ， ， 把的坐标代入，得：， ∴抛物线的解析式为；· （2）解：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：，， ∴直线的解析式为． 把代入得， 由题意知，平移后的抛物线的顶点坐标为，又平移后的抛物线的顶点落在的内部， ， 解得∶； （3）解：当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，当点P的坐标为或或时， 以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——二次函数与方程不等式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【核心知识点】 1 【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1 【题型2】已知函数值，求自变量的值 2 【题型3】 判断抛物线与坐标轴交点个数 3 【题型4】求抛物线在x轴上的截线长（交点线段长度） 4 【题型5】图象法解一元二次不等式 5 【题型6】根据函数交点确定不等式解集 7 二.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 学习方法：先读概念→学例题→练变式→同步自测 适用章节：二次函数数形结合核心（九年级期末、中考选择填空+大题高频考点） 一.教材知识梳理 【核心知识点】 设二次函数解析式： 1. 抛物线与 轴交点横坐标即为一元二次方程 的根 2. 抛物线在 轴上下位置即为一元二次不等式解集 3. 判别式 ：决定交点个数、根的个数、解集的情况。 【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标 1. 核心知识点：（1） 轴上的点：；（2） 轴上的点： 2. 解题方法：① 求与y轴交点：令 ，得 ，交点为 ；② 求与x轴交点：令 ，解方程 ，根为 ，交点为 。 【例题1】（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 【变式3】（23-24九年级下·甘肃武威·开学考试）已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标． 【题型2】已知函数值，求自变量的值 1. 核心原理：已知 ，本质：解方程 2. 解题方法：① 代入：把 代入解析式；② 整理：化为标准一元二次方程 ；③ 求解：因式分解或配方法/公式法求 。 【例题2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知二次函数 （1）当时，y的值是多少？ （2）当x为何值时，y的值为0？ 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当该二次函数的函数值为时，求的值． 【题型3】 判断抛物线与坐标轴交点个数 抛物线与坐标轴交点个数与根的情况（与判别式联动） ① ：抛物线与x轴有两个不同交点，对应方程有两个不相等的实数根； ② ：抛物线与x轴有唯一一个交点（顶点在x轴上），对应方程有两个相等的实数根； ③ ：抛物线与x轴无交点，对应方程无实数根。 【题型 3.1】求抛物线与坐标轴交点个数 【例题3】（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为_____________个． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段检测）抛物线与轴的交点个数是（    ） A．无交点 B．有且只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级下·全国·单元测试）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是______． 【变式3】（24-25九年级上·北京大兴·期末）已知二次函数 （1）该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； （2）画出该二次函数的图象． 【题型 3.2】已知抛物线与坐标轴交点个数求参数 【例题4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线与x轴有两个交点，把该抛物线向下平移m个单位长度得到新抛物线与x轴没有交点，则m的值可以是___________．（只填一个符合题意的值即可） 【变式1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，一段抛物线：，记为C1，它与x轴的两个交点分别为O，A1，顶点为P1；将C1绕点A1旋转180°得C2，它与x轴的另一交点记为A2，顶点为P2；将C2绕点A2旋转180°得C3，它与x轴的另一交点记为A3，顶点为P3，…，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，…，，则点的坐标为____________；若点M（，m）在第3段抛物线上，则m＝___________． 【题型4】求抛物线在x轴上的截线长（交点线段长度） 1. 核心公式（必考速算）设抛物线交x轴于 则：截线长： 推导：（韦达定理） 2. 两种解法：方法一：解方程求出两根，直接做差取绝对值；方法二：不解方程，直接用 进行运算。 【例题5】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·阶段检测）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【题型5】图象法解一元二次不等式 1. 核心方法： （1） ：取x轴上方图象对应的x范围；（2）- ：取x轴下方图象对应的x范围 2. 分开口总结：设方程两根 ① 开口向上（a>0）： 或 ； ② 开口向下（a<0）：； 或 3. 解题步骤：求根 → 看开口 → 看上下位置 → 写解集 【例题6】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： （2）当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． （3）当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式3】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标为______． （2）对称轴为______． （3）当______时，y有最大值是______． （4）当______时，随着的增大而增大． （5）当______时，． （6）关于的方程的解为______． 【题型6】根据函数交点确定不等式解集 1. 核心考点（压轴常考） （1）对比 、 两个函数 （2）交点横坐标为临界值：左右区间谁在上、谁在下，直接判定解集 2. 解题步骤 ① 求出抛物线与直线的交点横坐标 ② 分区间观察：谁的图象在上方，谁的函数值更大 ③ 直接写出 或 的解集 3. 关键技巧 无需复杂计算！交点是分界，图象高低定大小 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． （1）求二次函数的解析式和另一交点的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级·浙江杭州·竞赛）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据图象，写出满足不等式的解集：________； （3）当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 6．（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2026九年级下·内蒙古呼和浩特·专题练习）对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 10．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 12．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 13．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 14．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 17．（2024九年级·江苏无锡·竞赛）如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）直接写出抛物线的对称轴． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则_________； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） （1）当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； （2）求证：抛物线与轴必有两个交点． 22．（本小题满分10分）（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和． （1）求的解析式； （2）直接写出：抛物线向右平移一个单位，当时，自变量的取值范围为______． 23．（本小题满分10分）（2024·江苏淮安·模拟预测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式和点、点坐标； （2）若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·四川乐山·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，M为抛物线的顶点． （1）求点A、点B的坐标和这个二次函数的解析式； （2）若将该二次函数图象向上平移（）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包含边界），求m的取值范围； （3）点P是抛物线上一动点，交x轴于点Q，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $