2026年人教版八升九数学暑期预习讲义（第11讲）——圆周角（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第11讲）——圆周角（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念——圆周角 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理四大核心推论（必考） 2 【知识点四】圆内接四边形 2 【知识点五】易错知识点总结 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】圆周角辨析 3 【题型 2】利用圆周角定理求值（基础计算） 5 【题型 3】直径所对圆周角模型（直角模型） 8 【题型 4】同弧或等弧所对圆周角相等的证明与求值 12 【题型 5】利用圆内接四边形定理证明与求值 14 三.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 6】圆周角定理与垂径定理综合 17 【题型 7】圆周角定理与圆内接四边形综合 21 【题型 8】圆周角定理与垂直径定综合压轴题 25 四.同步自测 31 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 31 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 37 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念——圆周角 圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 核心三要素：①顶点在圆上；②角的两边与圆各有一个交点；③两边为圆的弦。如图、、就是圆周角 【知识点二】圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 定理 图示 几何语言 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 在中, 【知识点三】圆周角定理四大核心推论（必考） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（常用于角度等量代换） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。（判定直径的重要方法） 推论4：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点四】圆内接四边形 类型 定义 图示 要点说明 圆内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形. 如图,四边形ABCD是⊙o内接四边形,⊙O四边形ABCD的外接圆. 定理 圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角 【知识点五】易错知识点总结 1. 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； 2. 圆周角的度数只与所对弧的度数有关，与顶点在圆上的位置无关； 3. 优弧、劣弧对应的圆周角不同，解题需注意区分弧的类型； 4. 无“同圆或等圆”前提，不可直接判定弧、弦、角相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆周角辨析 【例题1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见分析，（c）图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 解： （a）∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； （b）∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； （c）图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． （d）∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； （e）∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点拨】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·全国·课前预习）如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点拨】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型 2】利用圆周角定理求值（基础计算） 【例题2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 解：，， ， ， ， ． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考了圆周角定理∶在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半∶半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了等腰三角形的性质． （1）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形三线合一即可得到； （2）先利用勾股定理计算出，再由等腰三角形和圆周角定理证明，所以． 解：（1）证明：是的直径， ． 即， ， ． （2）解：在中， ，， ． ． ， ． ， ． ． 【题型 3】直径所对圆周角模型（直角模型） 【例题3】（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． （1）尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·北京西城·三模）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，、的延长线相交于点E，且． （1）求证：； （2）若的半径为9，，求的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）6 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度得出，进而可得出，利用证明，从而证明． （2）连接，在中利用勾股定理求出，求出，利用全等三角形的性质得到，从而得到，设，则，在中利用勾股定理列关于x的方程并求解即可． 解：（1）证明∶如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：连接，如图： ∵的半径为9， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中利用勾股定理，得， 即， 解得：， ∴． 【点拨】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定定理以及性质，勾股定理等知识，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理是解题的关键． 【题型 4】同弧或等弧所对圆周角相等的证明与求值 【例题4】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；利用即可证明． 解：证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 【变式1】（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 【答案】/30度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论． （2）若，求圆的半径． 【答案】（1）是等边三角形．证明见分析；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 解：（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点拨】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 【题型 5】利用圆内接四边形定理证明与求值 【例题5】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 解：（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 【变式1】（2026·重庆巴南·模拟预测）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 【变式3】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，再根据等腰三角形的判定定理即可求证，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：证明：∵平分， ∴， ∵四点共圆， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】圆周角定理与垂径定理综合 【例题6】（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴； （2） 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由垂径定理得到，由得到，故． 解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，设与的交点为，由垂径定理可得，结合圆周角定理可得，最后由“直角三角形两锐角互余”求出． 解：如图，连接，设与的交点为， ∵直径， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，弦于点M，连接、，过点C作的垂线交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）由题意可得，，推出，再根据垂线的定义可得，利用直角三角形的性质可得，得到，即可证明结论； （2）连接，设的半径为，则，，求出，再根据（1）中，结合，可得，进而求出，由垂径定理得到，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则，， ∴， 由（1）知， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，，是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【题型 7】圆周角定理与圆内接四边形综合 【例题7】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 解：（1）证明：连接，，如图① ∵，， ∴． （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 【变式1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 过点作，交的延长线于点，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度． 解：如图，过点作，交的延长线于点E， ， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当，时，求的度数． （2）若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补，外角等于内对角是解题的关键； （1）根据外角的性质可得，再根据圆内接四边形的性质即可得解； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，进而可得． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 8】圆周角定理与垂直径定综合压轴题 【例题8】（2026·安徽合肥·二模）如图1，四边形内接于，对角线经过点O，点E在上，连接，，且，． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）的半径为 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补结合已知条件得出，进而证明； （2）过点O作于点F，根据得出，在中求得，设，则求得，进而在中，勾股定理，即可求解． 解：（1）证明：四边形内接于， ． ，， ． 又，， ． （2）解：过点O作于点F， 由（1）得，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ，， ． ， ， 在中，， ， ， 设，则， ，． ， ， ， ， ． 在中，， 即的半径为． 【变式1】（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作圆，圆心为，交于点，连接，根据直径定理以及含角的直角三角形的性质得出圆的半径长度，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解． 解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点 连接， ∵， ∴为直径， ∴点共线， 此时，， ∴， ∴的半径为2， 过点作于点，连接，连接交于点， 此时，的值最小， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即线段的最小值为． 【变式2】（2026·山东淄博·二模）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据垂径定理得出,，，进而证明得出，根据半径为，得出，然后根据直径所对的圆周角是直角，得出是直角三角形，勾股定理即可求解． 解：如图所示，连接，交于点，    ∵是的中点， ∴,，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 【答案】（1）5；（2）见分析 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 解：（1）解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． （2）证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（【冀教版】九年级上册第二十八章圆28.3圆心角和圆周角第二课时圆周角（一））下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案． 解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键． 2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 解：． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及分类讨论点的位置是解题的关键． 先利用“直角三角形的斜边为外接圆直径”确定是的直径，再结合已知条件求出的度数．接着分点在上方和下方两种情况，根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形对角互补”分别计算的度数． 解：∵在中，，， ∴， 当点在下方时， ∵弧所对的圆周角与相等， ∴ 当点在上方时， ∵四边形为圆内接四边形 ∴ ∴ 综上，的度数为或 故选：． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得，则，然后由平行线的性质即可求解． 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 6．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，进而根据以及三角形内角和定理，即可求解． 解：∵点、、、在上，， ∴， ∵， ∴． 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 8．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 9．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 10．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 12．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 【答案】/25度 【分析】由直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，计算即可得出结果． 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案． 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，过点B作交外接圆于点D，连接，则_________． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得的度数，再由平行线的性质可得到的度数，从而得到的度数，再由圆内接四边形的性质，可得的度数，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆O的圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30 16．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 17．（2026·山东青岛·一模）如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】/54度 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 18．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． 【答案】/34度 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理求出，进而求出，得到答案． 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答． 解：证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 是的垂直平分线， ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角．连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可证结论成立． 解：略 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等，首先利用等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理求得然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 解：∵ ∴ 在中 ∵， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴． 22．（本小题满分10分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 以对角线为直径作， ， ， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形 【分析】证明，可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据直径所对圆周角为直角，可得四边形为矩形． 解：略 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． （1）连接，求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角推出，根据，得到，最后结合勾股定理即可求解． 解：（1）证明：点在上且平分． ， ， 平分； （2）解：是直径， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的两条弦，且，点D是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）72 【分析】（1）先证明（），可得，再证明（），可得； （2）先利用圆内接四边形的性质得出，从而可得，于是有，再利用勾股定理求得，从而可求得，设，然后利用勾股定理得到关于的方程求得，再求出，结合，可求得． 解：（1）证明：连接， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）解：∵即， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 解得 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——圆周角（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】基本概念——圆周角 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理四大核心推论（必考） 2 【知识点四】圆内接四边形 2 【知识点五】易错知识点总结 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】圆周角辨析 3 【题型 2】利用圆周角定理求值（基础计算） 4 【题型 3】直径所对圆周角模型（直角模型） 5 【题型 4】同弧或等弧所对圆周角相等的证明与求值 6 【题型 5】利用圆内接四边形定理证明与求值 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 6】圆周角定理与垂径定理综合 8 【题型 7】圆周角定理与圆内接四边形综合 9 【题型 8】圆周角定理与垂直径定综合压轴题 10 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 【知识点一】基本概念——圆周角 圆周角 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 核心三要素：①顶点在圆上；②角的两边与圆各有一个交点；③两边为圆的弦。如图、、就是圆周角 【知识点二】圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 定理 图示 几何语言 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 在中, 【知识点三】圆周角定理四大核心推论（必考） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（常用于角度等量代换） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。（判定直径的重要方法） 推论4：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 【知识点四】圆内接四边形 类型 定义 图示 要点说明 圆内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形. 如图,四边形ABCD是⊙o内接四边形,⊙O四边形ABCD的外接圆. 定理 圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角 【知识点五】易错知识点总结 1. 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； 2. 圆周角的度数只与所对弧的度数有关，与顶点在圆上的位置无关； 3. 优弧、劣弧对应的圆周角不同，解题需注意区分弧的类型； 4. 无“同圆或等圆”前提，不可直接判定弧、弦、角相等。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆周角辨析 【例题1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·全国·课前预习）如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【题型 2】利用圆周角定理求值（基础计算） 【例题2】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，中，，以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连结，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 3】直径所对圆周角模型（直角模型） 【例题3】（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． （1）尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【变式1】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京西城·三模）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，、的延长线相交于点E，且． （1）求证：； （2）若的半径为9，，求的长． 【题型 4】同弧或等弧所对圆周角相等的证明与求值 【例题4】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 【变式1】（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论． （2）若，求圆的半径． 【题型 5】利用圆内接四边形定理证明与求值 【例题5】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【变式1】（2026·重庆巴南·模拟预测）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【变式3】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知：如图，是外角的平分线，与的外接圆交于点．求证：． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】圆周角定理与垂径定理综合 【例题6】（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接、，，则的度数是________． 【变式3】（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，弦于点M，连接、，过点C作的垂线交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 7】圆周角定理与圆内接四边形综合 【例题7】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． （1）完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； （2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【变式1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． （1）当，时，求的度数． （2）若，，且．请用含有，的代数式表示的大小． 【题型 8】圆周角定理与垂直径定综合压轴题 【例题8】（2026·安徽合肥·二模）如图1，四边形内接于，对角线经过点O，点E在上，连接，，且，． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，且，求的半径． 【变式1】（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2026·山东淄博·二模）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为________． 【变式3】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（【冀教版】九年级上册第二十八章圆28.3圆心角和圆周角第二课时圆周角（一））下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 6．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 8．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 12．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 13．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 14．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，过点B作交外接圆于点D，连接，则_________． 16．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 17．（2026·山东青岛·一模）如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 18．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，且交于点，若，求的度数是_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． （1）连接，求证：平分； （2）若，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的两条弦，且，点D是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点E、F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $