30.1直线与圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册（十题型）

30.1直线与圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（十题型） 知识归纳： 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 2.切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 题型突破： 题型一：已知距离及半径判断直线与圆的位置关系 1.中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 2.如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【答案】A 3.的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 4.在中，，，．那么以为圆心， 为半径的与相切． 【答案】/2.4/ 5.如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是 ．    【答案】相交 题型二：已知直线与圆的位置关系确定取值范围 1.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 2.如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】或 5.如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 题型三：根据直线与圆的位置关系确定交点个数 1.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】A． 2.直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】B． 3.一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 【答案】C． 4．在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 【答案】D． 5.已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 【答案】3 题型四：利用直线与圆的位置关系求最值 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B． 2.如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A． 3.点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 ． 【答案】． 4.如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为　 　； （2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为　　． 【答案】解：（1）如图1，∵l⊥PA， ∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大， 最大值为AO+AP＝5+2＝7； （2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时， 线段MN是⊙O的直径， ∵l⊥PA， ∴∠APO＝90°， ∵AP＝2，OA＝5， ∴OP， 故答案为：7，． 题型五：定义法判断切线 1.下列直线中，一定是圆的切线的是（　　） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【答案】B． 2.下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C． 3.下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A． 4.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 【答案】D． 题型六：切线的判定（连半径证垂直） 1.如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 【答案】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 2．如图，点C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC是⊙O的切线． 【答案】证明：连接OC， ∵⊙O的半径为3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5， ∵PC＝4， ∴OC2+PC2＝OP2， ∴△OCP是直角三角形， ∴OC⊥PC， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． 3.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是⊙O的切线； 【答案】证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠B＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4， ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△OCD≌△OCB， ∴∠ODC＝90°，又∵CD过半径OD的外端点D， ∴DC是⊙O的切线； 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线． 【答案】证明：连接0C， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠EAB， ∴∠EAC＝∠OAC， 则∠OCA＝∠EAC， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DE， ∴OC⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 5.如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线. 【答案】 【详解】证明: 如图, 连接 . ∵是的直径, ， ， ， ， ， ， ∴, ∴为的切线. 题型七： 切线的判定（作垂直证半径） 1.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　） A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆 【答案】D． 2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【答案】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 题型八：利用切线的性质求线段长度 1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 【答案】D． 2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 　 ． 【答案】4． 3.如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ． 【答案】2 4.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 【答案】解：∵AB为切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， 在Rt△OAB中，OA5， ∵OH⊥AC， ∴AH＝CH， 在Rt△OAH中，AH4， ∴AC＝2AH＝8， 答：⊙O的半径为5，AC的长为8． 题型九：利用切线的性质求角度 1.如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（　　） A．16° B．18° C．26.5° D．37.5° 【答案】A． 3．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【答案】B． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】A． 5.如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 6．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 　 　． 【答案】38°． 题型十：利用切线的判定与性质的综合运用 1.如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（    ） A．9 B．4 C．12或4 D．12或9 【答案】C 2.如图，已知等腰，，以点O为圆心作交边，于C，D两点，点C恰好为的中点，延长交于点E，连．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，过点O作交于点F，    ∵等腰， ∴ ∵ ∴ ∵点C恰好为的中点 ∴ ∴ ∵是的半径 ∴是的切线； （2）如图所示，过点A作交的延长线于点G，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 3.如图，是⊙的直径，、都是⊙上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明如下： 连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线．    （2）连接，交于点， ∵是⊙的直径， ∴， ∴， ∵，，   ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．    4.如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB ∴AB=OA=OB ∴△AOB为等边三角形 ∴∠OAB=60°，∠OBA=60° ∵BC=OB ∴BC=AB ∴∠C=∠CAB 又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB ∴∠C=∠CAB=30° ∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90° ∴AC是⊙O的切线； （2）∵OA=4 ∴OB=AB=BC=4 ∴OC=8 ∴AC=== ∵D、E分别为AC、OA的中点， ∴OE//BC，DC= 过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N 则四边形OMDN为矩形 ∴DN=OM 在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC= ∴OM= 连接OG，∵OM⊥GF ∴GF=2MG=2==2 5.如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． (1) 解：连接AE， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AE是的半径， ∴与相切； (2) 连接EF，作EG⊥AC， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∴，   在中， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1直线与圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（十题型） 知识归纳： 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 2.切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 题型突破： 题型一：已知距离及半径判断直线与圆的位置关系 1.中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2.如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 3.的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是 ． 4.在中，，，．那么以为圆心， 为半径的与相切． 5.如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是 ．    题型二：已知直线与圆的位置关系确定取值范围 1.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 2.如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ． 5.如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为 ． 题型三：根据直线与圆的位置关系确定交点个数 1.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2.直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 3.一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 4．在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 5.已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个． 题型四：利用直线与圆的位置关系求最值 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2.如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 3.点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 ． 4.如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为　 　； （2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为　　． 题型五：定义法判断切线 1.下列直线中，一定是圆的切线的是（　　） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 2.下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 3.下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 题型六：切线的判定（连半径证垂直） 1.如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 2．如图，点C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC是⊙O的切线． 3.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是⊙O的切线； 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线． 5.如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线. 题型七： 切线的判定（作垂直证半径） 1.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　） A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆 2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 题型八：利用切线的性质求线段长度 1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（　　） A．4 B．2 C．8 D．4 2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 　 ． 3.如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ． 4.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 题型九：利用切线的性质求角度 1.如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（　　） A．16° B．18° C．26.5° D．37.5° 3．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．50° 5.如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 6．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 　 　． 题型十：利用切线的判定与性质的综合运用 1.如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（    ） A．9 B．4 C．12或4 D．12或9 2.如图，已知等腰，，以点O为圆心作交边，于C，D两点，点C恰好为的中点，延长交于点E，连．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 3.如图，是⊙的直径，、都是⊙上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的值． 4.如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 5.如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $