精品解析：2026-2027学年下学期北京市人大附中八年级数学期末试题

2025~2026学年度第二学期初二年级期末练习 数学 说明：本试卷共三道大题26道小题，共8页；满分100分，练习时长90分钟； 学生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 若一个十边形的每个内角都是，则x的值是（ ） A. 120 B. 135 C. 144 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为的性质，结合内角与相邻外角互补的关系即可求解． 【详解】解：∵十边形每个内角相等， ∴正十边形每个外角也相等， ∵任意多边形的外角和为， ∴正十边形每个外角的度数为， ∵内角与相邻外角的和为， ∴每个内角，即． 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，6，9 C. 3，3，3 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵，∴1，2，3不能构成三角形，∴不能组成直角三角形； 选项B：∵，∴3，6，9不能构成三角形，∴不能组成直角三角形； 选项C：∵，，，∴不能组成直角三角形； 选项D：∵，，∴，能组成直角三角形． 3. 下列各式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的结果一定是非负的，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，， A错误； B选项，算术平方根的结果为非负数，， B错误； C选项，，当时，， C错误； D选项，， D正确． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 5. 某科目的期末综评成绩由平时成绩和期末考核两部分构成，乐乐同学平时成绩为85分，期末考核成绩为91分，最终的综评成绩为88.6分．则平时成绩和期末考核中权重较大的是（ ） A. 平时成绩 B. 期末考核 C. 权重一样大 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设出平时成绩的权重，根据综评成绩列一元一次方程求出权重，再比较大小即可． 【详解】解：设平时成绩的权重为，则期末考核成绩的权重为， ∵综评成绩为分， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴期末考核成绩的权重为， ∵ ∴权重较大的是期末考核． 6. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，此后只出水不进水直到容器水出完，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 进水的速度为每分钟 B. 出水的速度为每分钟 C. 时间为8分钟时容器水量为 D. 从开始进水到出水结束总共经历了 【答案】B 【解析】 【分析】根据第一段图象可计算进水速度，根据第二段图象可计算净进水速度从而求出出水速度，进而验证各选项． 【详解】解：A．由图象可知， 内只进水，水量由 增至，进水速度，故选项说法正确，不符合题意； B．内既进水又出水，水量由增至，用时，该阶段水量增加速度，水量增加速度进水速度出水速度，出水速度，故选项说法错误，符合题意； C．当时，处于第二阶段，水量，故选项说法正确，不符合题意； D．后只出水，此时水量为，出水速度为，出水所需时间，从开始到结束总时间，故选项说法正确，不符合题意． 8. 如图，已知正方形，E，F分别为射线，射线上的动点（均不与正方形顶点重合），，射线，射线分别交直线于M，N． 下面结论中， ①； ②； ③当时，； ④当E为边中点时，F同时为边中点． 所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】分E，F分别在线段，线段上和线段，线段的延长线上，两种情况解答，利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，解答即可； 【详解】解：当E，F分别在线段，线段上时，如图， 延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当E，F分别在线段，线段的延长线上时，如图， 作，交于点G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①错误； 当E，F分别在线段，线段上时，如图， 作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是正方形的对角线， ， ， ， ， 根据勾股定理，得 ∴； 当E，F分别在线段，线段的延长线上时，如图， 作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 是正方形的对角线， ， ， ， ， 根据勾股定理，得 ∴； 故②正确； 当E，F分别在线段，线段上时，如图， 延长到P，使得，连接，， 根据前面的证明，易得， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当E，F分别在线段，线段的延长线上时，不能满足，此情况不存在， 故③正确 当E为边中点时，无法证明F为边中点． 故④错误； 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 将直线向上平移1个单位后得到的直线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，即可求解． 【详解】解：直线向上平移个单位， ∴平移后直线的表达式为：． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 11. 若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 12. 如图，菱形中，，交于点O，若E是边的中点，，则的长为________，的度数为________． 【答案】 ①. 5 ②. ##28度 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，由三角形中位线定理得出的长及，根据平行线的性质得出的度数，再根据菱形对角线平分对角的性质求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，平分． 是边的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ． 13. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 14. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点A，B分别在和上滑动（点A，B均可与O重合），连接（图中各点均在同一平面内），若，，则在木板滑动的过程中，线段长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点Q，连接，根据，求最大值，观察求最小值即可； 【详解】解：取的中点Q，连接， 矩形木板，， ，， 根据勾股定理，得， ， ， ， 三点共线时，取得最大值，此时； 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时， 故线段长度的取值范围是． 15. A组数据为，，…，，B组数据为，，…，．分别计算这两组数据的统计量：①平均数、②中位数、③众数、④离差平方和、⑤方差、⑥下四分位数，A组和B组结果一样的统计量序号为________． 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】本题考查数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，位置统计量（平均数，中位数，众数，分位数）会随数据增加同一个常数，衡量离散程度的离差平方和与方差不受常数平移影响，由此逐一判断各统计量即可. 【详解】解：设A组数据的平均数为，则， B组数据的平均数为：，因此①平均数结果不同； ②中位数：将A组数据从小到大排序后，中位数为，B组每个数据同时加，数据排序顺序不变，中位数，因此中位数结果不同； ③众数：A组数据的众数为，B组每个数据同时加，众数，因此众数结果不同； ④离差平方和：A组离差平方和，对B组有 因此；因此离差平方和结果相同； ⑤方差：根据方差公式，两组数据个数相同，且，因此，方差结果相同； ⑥下四分位数：下四分位数属于位置分位数，每个数据加，下四分位数，因此下四分位数结果不同. 16. 在数轴上，我们称一个动点到所有定点的距离平方和最小时所在的点，为所有定点的“最佳幂和点”． （1）若点A，B对应的数分别为和4，点P是动点，则点A与点B的“最佳幂和点”即取最小值时的点P所对应的数x是________； （2）当数轴上有n个定点（对应数分别为），它们的“最佳幂和点”所对应的数是________（用含的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）通过平方，得，利用非负数性质求解即可； （2）仿照（1）的解题思路，解答即可． 【详解】（1）解：设点P所对应的数是，根据题意，得 ， ， ，且当时，取得最小值， 故时，取得最小值； （2）解：数轴上有n个定点（对应数分别为），它们的“最佳幂和点”所对应的数是， 根据题意，得 ， ， 故当时，取得最小值， 故时，取得最小值； 三、解答题：（第17题8分，第18题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-23题5分，第24题6分，第25-26题，每题7分，共60分） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 对原方程移项整理得， 因式分解得， 可得或， 解得． 18. 在学习了《四边形》的内容后，思思同学利用菱形的知识对已知角的角平分线的尺规作图法进行了新的探索： 如图，已知． 求作：射线，使射线平分． 作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O） ③作射线，则即为所求射线． （1）使用直尺和圆规，依思思的作法补全图形（保留作图痕迹） （2）思思的作法主要运用了菱形的哪些知识？ 菱形的判定：________________________； 菱形的性质：________________________； （3）若，，则线段的长为________． 【答案】（1）作图如下， （2）四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干提示方法作图即可； （2）根据作图，结合菱形的性质求解即可； （3）根据菱形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据作图得到，， ∴四边形是菱形， ∴菱形的判定方法为：四条边都相等的四边形是菱形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴运用了菱形的性质为：对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，设对角线交于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； （2）当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）， 二次函数图象如下， （2）当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； 【小问2详解】 解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 20. 近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众的距离，又推动文化产业发展与消费升级．某景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长增加5米，宽增加3米，则扩建后展销区的面积为原来的4倍，求原矩形文创展销区的长和宽． 【答案】原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米 【解析】 【分析】设扩建前展销区的宽为x米，则可表示出扩建前展销区的长，再根据“扩建后展销区的面积为原来的4倍”列式求解即可． 【详解】解：设扩建前展销区的宽为x米， ∵该展销区的长比宽多2米， ∴扩建前展销区的长为米， ∴扩建前的面积为平方米， ∵将该展销区的长增加5米，宽增加3米， 则扩建后的长为米，宽为米， ∴扩建后的面积为平方米， ∵扩建后展销区的面积为原来的4倍， ∴，即， 解得（负值舍）， 即长为5米，宽为3米， 经检验，原面积为平方米， 扩建后面积为平方米， 扩建后展销区的面积为原来的4倍，成立 故原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1500 8 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ （3）厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠a万元．请根据促销活动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）． 【答案】（1）（为正整数，） （2）购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元 （3）当时，购买甲型机器人5台；当时，购买甲种型号机器人台或台或台或台或台，台；当时，购买甲型机器人10台 【解析】 【分析】（1）设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，根据费用=单价×数量，列式求解即可； （2）根据题意，得，确定x的取值范围，再利用一次函数的性质，求解即可； （3）设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，根据题意，得，分，，三种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，得， 每种型号都要买，且机器台数是正整数， 故； 故且x为正整数； 【小问2详解】 解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台， 根据题意，所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． ， 解得， ， ，， 故y随x的增大而增大， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元； 【小问3详解】 解：设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，总费用为y万元， 根据题意，得， ， 当时，， 故时，y取得最小值，且为， 故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元； 当时，，与x的值无关， 故购买甲种型号机器人台或台或台或台或台或台； 当时，， 故y随x的增大而减小， 故时，y取得最小值， 故购买甲种型号机器人10台，费用最低； 22. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，点D是线段的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是 矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，，证明，结合题意，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求解； （2）设，则，运用勾股定理得到，，结合矩形的性质得到，由此得到，再根据面积的计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵，点D是的中点， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴． 23. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 【答案】（1）175，74.2 （2）乙，乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强 （3）乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的概念求解m和p的值即可； （2）根据甲乙的方差，即方差越小，波动越小，稳定性越好判断即可； （3）根据甲、乙、丙、丁四位同学的平均数与四分位距比较即可． 【小问1详解】 解：甲同学的10次测试成绩：160，175，180，175，164，175，190，170，186，175， 则甲同学的平均数为， 故， 则方差为， 故； 【小问2详解】 解：∵甲的方差为74.2，乙的方差为40.5，其中， ∴同学甲和乙中，稳定性更好的是乙， 理由是：乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强； 【小问3详解】 解：甲，乙，丙平均数均为175，丁只有170，先淘汰丁； ∵四分位距上四分位数下四分位数， ∴箱线图箱体宽度就是四分位距，箱体越窄四分位距越小， 由箱线图可知，乙的箱体宽度最小，也就是乙的四分位距最小，选乙， 故代表班级进行跳绳比赛的同学是乙． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． （1）若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； （2）若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）①②最大值为，； （2）或 【解析】 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【小问1详解】 ①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． 【小问2详解】 解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 25. 在等腰中，，，点D在边上，点E在边的延长线上，且满足，连接交于点G． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设，作点C关于的对称点H，连接，与交于点I，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） （3）在（2）的条件下，延长交于点K，若，，直接写出的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点D作交于点M， 、 ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即点G是的中点， ∴， 在中，， ∴． （2）根据题意作图如下， ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，过点D作交于点M，可证，，即点G是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解； （2）过点D作交于点，交于点，连接，证明，从而得到，再由（1）知，利用等腰三角形的性质求解即可； （3）过点作，且，连接，证得是等腰直角三角形，求得，再根据条件证明，由预备知识可知． 【小问1详解】 证明：见答案 【小问2详解】 解：过点D作交于点，交于点，连接， ， 由对称的性质知：， ， ∴，则， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：预备知识：如图，若，则可得，理由如下： 取中点，过作交于， 则，，， ∴， ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，且，连接， ∴， 设， 由（2）知， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， 由（2）知，且，， 由预备知识可知． 26. 在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． （1）①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； （2）已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①，② （2）①②或． 【解析】 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可；②根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再根据平移后的图像是关于轴对称，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解；②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∴与关于x轴对称， 如图所示，向下平移个单位得到，向上平移个单位得到， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：①已知，，，，如图所示， ， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， ， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ② 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， ， 图像经过点，图像如图1所示， ， 即，解得， 图像经过点，图像如图2所示， ， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期初二年级期末练习 数学 说明：本试卷共三道大题26道小题，共8页；满分100分，练习时长90分钟； 学生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 若一个十边形的每个内角都是，则x的值是（ ） A. 120 B. 135 C. 144 D. 150 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，6，9 C. 3，3，3 D. 1，，2 3. 下列各式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某科目的期末综评成绩由平时成绩和期末考核两部分构成，乐乐同学平时成绩为85分，期末考核成绩为91分，最终的综评成绩为88.6分．则平时成绩和期末考核中权重较大的是（ ） A. 平时成绩 B. 期末考核 C. 权重一样大 D. 不能确定 6. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，此后只出水不进水直到容器水出完，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 进水的速度为每分钟 B. 出水的速度为每分钟 C. 时间为8分钟时容器水量为 D. 从开始进水到出水结束总共经历了 8. 如图，已知正方形，E，F分别为射线，射线上的动点（均不与正方形顶点重合），，射线，射线分别交直线于M，N． 下面结论中， ①； ②； ③当时，； ④当E为边中点时，F同时为边中点． 所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 将直线向上平移1个单位后得到的直线的表达式为________． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 11. 若，是方程的两根，则的值为________． 12. 如图，菱形中，，交于点O，若E是边的中点，，则的长为________，的度数为________． 13. 已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 14. 如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点A，B分别在和上滑动（点A，B均可与O重合），连接（图中各点均在同一平面内），若，，则在木板滑动的过程中，线段长度的取值范围是________． 15. A组数据为，，…，，B组数据为，，…，．分别计算这两组数据的统计量：①平均数、②中位数、③众数、④离差平方和、⑤方差、⑥下四分位数，A组和B组结果一样的统计量序号为________． 16. 在数轴上，我们称一个动点到所有定点的距离平方和最小时所在的点，为所有定点的“最佳幂和点”． （1）若点A，B对应的数分别为和4，点P是动点，则点A与点B的“最佳幂和点”即取最小值时的点P所对应的数x是________； （2）当数轴上有n个定点（对应数分别为），它们的“最佳幂和点”所对应的数是________（用含的式子表示）． 三、解答题：（第17题8分，第18题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-23题5分，第24题6分，第25-26题，每题7分，共60分） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在学习了《四边形》的内容后，思思同学利用菱形的知识对已知角的角平分线的尺规作图法进行了新的探索： 如图，已知． 求作：射线，使射线平分． 作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O） ③作射线，则即为所求射线． （1）使用直尺和圆规，依思思的作法补全图形（保留作图痕迹） （2）思思的作法主要运用了菱形的哪些知识？ 菱形的判定：________________________； 菱形的性质：________________________； （3）若，，则线段的长为________． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； （2）当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 20. 近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众的距离，又推动文化产业发展与消费升级．某景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长增加5米，宽增加3米，则扩建后展销区的面积为原来的4倍，求原矩形文创展销区的长和宽． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1500 8 乙 900 5 这个公司计划购买这两种型号的机器人共20台（每种型号都要买），所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这20台机器人所花的总费用为y万元，求y关于x的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ （3）厂家推出促销活动：若购买甲型机器人超过5台，则超出部分每台优惠a万元．请根据促销活动写出购买总费用最低的购买方案（写出甲型机器人的购买数量即可）． 22. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 23. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． （1）若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； （2）若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 25. 在等腰中，，，点D在边上，点E在边的延长线上，且满足，连接交于点G． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，在上截取，连接，设，作点C关于的对称点H，连接，与交于点I，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） （3）在（2）的条件下，延长交于点K，若，，直接写出的长度． 26. 在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． （1）①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； （2）已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $