精品解析：北京市十一学校2025-2026学年八年级（下）期末数学试卷（Ⅲ）

2025-2026学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷（Ⅲ） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 2. 方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（ ） A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 13米 3. 今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，，为等边三角形，点E，F分别在、上滑动，且E，F不与B、C，D重合，则四边形的面积是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5. 把数据2，6，12，4，8按从小到大排列后，分成两组，能使“组内离差平方和”最小的是（ ） A. 第一组：2；第二组：4，6，8，12 B. 第一组：2，4；第二组：6，8，12 C. 第一组：2，4，6；第二组：8，12 D. 第一组：2，4，6，8；第二组：12 6. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如，都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点A和C，已知点的坐标为，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 10. 如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____．     11. 如图，杆秤是我国古代发明的利用杠杆原理来称物品重量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 12. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 13. 若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 14. 已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 15. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 16. 如图，中，，，，平面上有一点P且满足，取的中点G，连接，的最大值是_____． 17. 已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 18. 某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 三、解答题（共64分，其中第19题8分，第20题5分，第21题8分，第22、23题各6分，第24题8分，第25题5分，第26、27、28题各6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 21. 已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； （2）表格中空白处的值 ， ； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； （4）当时，，则t的取值范围为 ． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 为提升全体学生的国家安全素养，普及国家安全相关知识，年级在4月15日全民国家安全教育日来临之际，相关资料如下： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，87，62，70，100，81，93，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 25. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； （3）当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 26. 已知二次函数（）经过两点． （1）对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； （2）一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； （3）过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 27. 在中，，，线段的垂直平分线分别交线段、于点，． （1）如图1，用等式表示和之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转交线段于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，记为． 已知：正方形，其中． （1）已知点， ①若，则d（点P，正方形）= ； ②若d（点P，正方形），则 ． （2）已知点，若（线段EF，正方形），直接写出m的取值范围． （3）一次函数的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，直接写出d（线段，正方形），以及此时k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷（Ⅲ） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照先算除法，以及化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解： ． 2. 方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（ ） A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 13米 【答案】A 【解析】 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 3. 今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月增长率依次推导得到五月份订单量的表达式，结合已知五月份订单量即可列出方程． 【详解】解：∵三月份订单量为万辆，平均月增长率为， ∴四月份订单量为万辆， ∴五月份订单量为万辆， 又∵预计五月份订单量为万辆， ∴可列方程为． 4. 如图，在菱形中，，，为等边三角形，点E，F分别在、上滑动，且E，F不与B、C，D重合，则四边形的面积是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点A作于点G，通过菱形的性质得出为等边三角形，进而可证，从而有，则可以得出四边形的面积，然后利用含30度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长度，利用求面积即可． 【详解】解：连接，过点A作于点G， ∵四边形是菱形， ， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ，， ， ， 在和中, ， ， ∴四边形的面积， ，， ， ， ， ， ∴四边形的面积是． 5. 把数据2，6，12，4，8按从小到大排列后，分成两组，能使“组内离差平方和”最小的是（ ） A. 第一组：2；第二组：4，6，8，12 B. 第一组：2，4；第二组：6，8，12 C. 第一组：2，4，6；第二组：8，12 D. 第一组：2，4，6，8；第二组：12 【答案】C 【解析】 【分析】先将给定数据从小到大排序，再根据组内离差平方和的定义（各组内每个数据与本组平均数的差的平方和），分别计算每个选项的总离差平方和，比较大小得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列得 ， A、第一组的离差平方和为；第二组的平均数为，离差平方和为，总离差平方和：； B、第一组的平均数为，离差平方和为；第二组的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C、第一组的平均数为，离差平方和为；第二组的平均数为，离差平方和为，总离差平方和： D、第一组的平均数为，离差平方和为；第二组的离差平方和为，总离差平方和：； ∵， 选项C的离差平方和最小． 6. 定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如，都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“平衡点”的定义，可得平衡点满足，将代入直线方程得到与的关系，再结合的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：∵“平衡点”满足，且“平衡点”在直线上， 将代入直线方程得：， 整理得 ∵， ∴ ∴ 因此的取值范围是． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点A和C，已知点的坐标为，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，过C作轴于点，如图，先根据正方形的性质得到，，再利用等角的余角相等得到，则可判断，所以，，则，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【详解】解：过点作轴于点，过C作轴于点，如图， 点的坐标为， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 把，分别代入得 ， 解得， k的值为3． 8. 已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数配方确定对称轴与开口方向，结合二次函数增减性与对称性，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当或时，，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小，离对称轴越远，函数值越小． 对于选项A： ∵，∴，此区间在对称轴左侧，随增大而增大 ∴，A正确． 对于选项B： ∵，∴，由得 ∴， ∴， ∵开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，B正确． 对于选项C： ∵，∴，抛物线在该区间内的最小值为（在或处取得） ∴，C正确． 对于选项D： 对于的情况，我们通过举反例来说明该选项错误 当时，取，（满足），到对称轴距离为，到对称轴距离为 ∵，开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴，与“”矛盾，D错误． 故选：D． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____．     【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11. 如图，杆秤是我国古代发明的利用杠杆原理来称物品重量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为______． 0 1 2 8 【答案】7 【解析】 【分析】由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式，再令，列方程求解即可． 【详解】解：秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 12. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据中位数，平均数和方差的意义，逐一判断即可． 【详解】解：由于乙班学生每分钟输入汉字的中位数为151，说明有一半以上的学生都达到每分钟150个及以上，而甲班学生的中位数为149，说明不到一半的学生达到150个及以上，说明乙班优秀人数比甲班优秀人数多，故②正确；由平均数和方差的意义可知①③也正确． 故答案是：①②③． 【点睛】本题主要考查中位数，平均数和方差，掌握中位数和方差的意义，是解题的关键． 13. 若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 14. 已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 【答案】或##或 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合判别式大于得到的取值范围，再根据已知条件分和两种情况求解，验证后得到符合题意的的值． 【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵方程有两个不等实数根， ∴判别式，解得， ， ∴将代入等式得：，分两种情况讨论： 当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意； 当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意． 综上，k的值为或． 15. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 16. 如图，中，，，，平面上有一点P且满足，取的中点G，连接，的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点H，连接，，根据勾股定理求出，由，可知当，H，三点共线且H在，之间时，取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，， ∵，，， ∴， ∴． ∵点G为中点，点H为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， 当，H，三点共线且H在，之间时，取得最大值， 如图， 最大值为． 17. 已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 18. 某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 三、解答题（共64分，其中第19题8分，第20题5分，第21题8分，第22、23题各6分，第24题8分，第25题5分，第26、27、28题各6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无实数根 （2）， 【解析】 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）整数的值为或或 【解析】 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 21. 已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； （2）表格中空白处的值 ， ； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； （4）当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】（1） （2）8；0 （3）图象如图所示： ； （4） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； 【小问3详解】 解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． 【小问4详解】 解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线和平行线证得，结合推出，根据一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，再利用一组邻边相等证明该平行四边形是菱形； （2）根据菱形对角线互相垂直平分求出，在中用勾股定理算出，由直角三角形斜边中线性质，结合是中点，得到，进而求出长度． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ∴，，是中点， 在中，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）由（1）知，，当时，有，当时，有，根据题意，当正比例函数和都随x的增大而增大，同时当时的函数值都大于或等于时满足题意，进而列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象过点和， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，有，显然当时，成立； 当时，有，显然当时，成立； 当，，时， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴，整理，得， ∴且， 综上，满足条件的m的取值范围为且． 24. 为提升全体学生的国家安全素养，普及国家安全相关知识，年级在4月15日全民国家安全教育日来临之际，相关资料如下： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，87，62，70，100，81，93，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1） （2）， （3）乙组竞赛成绩更好； 理由：乙组成绩的平均数（86.3分）、中位数（90分）都高于甲组，且方差（73.41）远小于甲组， 说明乙组的平均成绩更高，整体成绩水平更好，且成绩更稳定， 因此乙组竞赛成绩更好． 【解析】 【分析】（1）结合中位数的定义，众数的定义进行作答即可； （2）根据求四分位数的方法进行作答，最后补全甲组竞赛成绩的箱线图即可； （3）结合平均数，中位数，方差进行比较分析，即可作答． 【小问1详解】 解：将甲组的成绩从小到大排序得：62，70，70，81，87，91，93，96，98，100，共个数据 ， 中位数为第个数据，因此； 乙组成绩中，出现次数最多（共次）， 因此众数． 【小问2详解】 解：将甲组的成绩从小到大排序得：62，70，70，81，87，91，93，96，98，100，共个数据 ， 中位数，即第二四分位数为， 方法一： 故向上取整数，为3， 第3个数为70， 即第一四分位数； 故向上取整数，为8， 第8个数为 即第三四分位数； 方法二：∵第二四分位数为， ∴第二四分位数左侧数据是62，70，70，81，87， ∴第一四分位数； 则第二四分位数右侧数据是91，93，96，98，100 ∴第三四分位数； 箱线图：略 【小问3详解】 略 25. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； （3）当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1），（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； （2）C； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【小问1详解】 解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象：略 【小问2详解】 解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【小问3详解】 解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 26. 已知二次函数（）经过两点． （1）对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； （2）一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； （3）过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求出结果； （2）的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，要使一次函数与有且只有3个公共点，当经过时，；当一次函数与在点之间的图象只有一个交点时，； （3）令，经过原点，关于直线对称，由当时，，可得，从而确定；当时，此时当时，取最大值为，得出；当时，此时当时，取最大值为，得出． 【小问1详解】 解：将代入得： ，解得：， ∴对称轴方程为（）， 综上：对称轴为，． 【小问2详解】 解：一次函数的图象为一条直线， ∵，， ∴， ∴， ∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方， ∴在轴下方没有图象， ∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则， ∴， 如图所示，当经过时， ∴，解得：； 如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点， 在点之间的图象解析式为， 令，整理得：， ，解得：或（舍去）， 综上：或． 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， 令，当时，， ∴经过原点，关于直线对称， 当时，；当时，；当时，； ∵当时，， ∴且， ∴， ∴， 当时，解得：，如图所示： ∴此时，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，解得：，如图所示： ∴此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， 综上：． 27. 在中，，，线段的垂直平分线分别交线段、于点，． （1）如图1，用等式表示和之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转交线段于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析 （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出，点是线段的中点，再根据平行公理，得出，进而得出是的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案； （2）①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交线段于点，交线段于点，再以点为圆心，以相等长为半径画弧，交线段于点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于一点，再以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接，并延长交于点； ②设旋转后点的对应点在上为点，连接，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，连接，根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据角相等，得出，进而得出三点共线，再根据题意，得出是的中位线，再根据中位线的性质，得出，进而得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，进而得出，再根据对顶角相等，得出，再根据等量代换，得出，再根据等角对等边，得出，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出． 【小问1详解】 解：，证明如下： 连接 ∵是线段的垂直平分线， ∴，点是线段的中点， ∴， 则 ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②； 设旋转后点的对应点在上为点，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， 又∵是线段的垂直平分线， ∴，是的中点 ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，记为． 已知：正方形，其中． （1）已知点， ①若，则d（点P，正方形）= ； ②若d（点P，正方形），则 ． （2）已知点，若（线段EF，正方形），直接写出m的取值范围． （3）一次函数的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，直接写出d（线段，正方形），以及此时k的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）或 （3）线段，正方形，此时，且；或线段，正方形，此时或． 【解析】 【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可． ②分两种情形，利用勾股定理求解即可． （2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题． （3）先推导出，，，得到一次函数恒过点，求出到正方形顶点距离，最大为， 到正方形最大距离为，令， 解得，分类讨论：①当，且时，②当时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：① ∵ ∴点P，正方形； ② ∵在轴上，正方形关于轴对称， ∴，， 第一种情况：当时，，最大距离为， ∵ ∴， 解得（负值已舍去） 第二种情况：当时，，最大距离为， ∵， ∴， （正值已舍去）， 综上或； 【小问2详解】 解：①如图2中，当在轴的右侧时， 若时，， 解得，或（舍弃）， 若时，， 解得，或（舍去）， 观察图象可知，满足条件的的值为． ②如图3中，当在轴的左侧时， 若，则有，， 解得，或4（舍弃）， 若时，， 解得，或7（舍去）， 观察图象可知，满足条件的的值为． 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵一次函数， ∴， 令，得 ，解得， ， 即一次函数恒过点， 令，得， ∴， ∴到正方形顶点距离，最大为， 到正方形最大距离为， 令， 解得， ①当，且时，如图 的最大距离不超过 ∴线段，正方形，此时，且； ②当时， 如图 的最大距离更大， ∴线段，正方形，此时或． 综上所述，线段，正方形，此时，且，或线段，正方形，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $