13.2.1三角形的边（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形三边关系及稳定性，通过“哪吒选最短路径”情境导入，以“两点之间线段最短”为支架，引导学生观察、归纳出“任意两边之和大于第三边”，进而推导“两边之差小于第三边”，构建从生活到数学原理的认知脉络。 其亮点在于融合数学眼光（观察猜想）、数学思维（分类讨论）与数学语言（生活实例），通过扭动木架动手操作、小组合作探究稳定性，典例分析等腰三角形周长等问题渗透严谨验证习惯。知识梳理清晰，方法总结实用，助力学生提升逻辑推理与实践能力，为教师提供系统教学资源与规范解题示范。

13.2.1三角形的边 第十三章 三角形 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。 2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。 3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。 4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。 1、经历观察、猜想、验证、归纳的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 2、通过动手操作（扭动三角形/四边形木架）、小组合作探究，提升动手实践能力与合作交流能力。 3、在解决含参数的三角形边长、等腰三角形问题中，渗透分类讨论思想和方程思想，发展逻辑推理能力。 1、感受数学知识与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。 2、在探究活动中体会数学的严谨性，养成解题时主动验证“能否构成三角形”的习惯，培养科学严谨的学习态度。 教学重难点 重点 难点 三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。 灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。 情景导入 今日哪吒准备从家出发前往太乙真人洞府拜师学艺，哪吒有三条路可走，请问哪条路最短？ √ 理由：两点之间线段最短 C B A √ C B A 由上问题我们易得： ， 同理 ， . 归纳总结： 三角形任意两边之和大于第三边 新知探究 新知探究 由不等式性质对下列式子变形得 归纳总结：三角形任意两边之差小于第三边 C B A / / / 上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 新知应用 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，3，6 （2）2，5，6 （3）15，16，2 （4）3，8，20 解：(1)∵3+3=6， ∴这三条线段不能组成一个三角形. (2)∵2+5>6， ∴这三条线段能组成一个三角形. (3)∵15+2>16， ∴这三条线段能组成一个三角形. (4)∵3+8<20， ∴这三条线段不能组成一个三角形. 注意：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 新知应用 2.三条线段分别满足下列条件，其中能构成三角形的是( ) A. B. C. D. 3.从长为的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以 选 _________________________ (写出所有的方案) 4.若三角形的两边分别为和，则第三条边长的取值范围为___________ C 或或 方法总结:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。 新知再探 问1：用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会 问2：用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 会 新知再探 问3：在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会 三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 针对训练 1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　) A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角是直角 C 针对训练 2.下列不是利用三角形的稳定性的是（ ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房梁 C.四边形活动挂架 D.长方形门框的斜拉条 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是__________________ C 三角形具有稳定性 针对训练 4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？ (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 解(1)1，4，6具有稳定性 2，3，5不具有稳定 (2)如图所示 ★怎样判断一个图形是否具有稳定性 从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性 典例分析 例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边边等于8，则它的周长为__________ (2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为________ (3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_________ 22 22或23 19 易错提醒：必须验证是否能够构成三角形 典例分析 例2.如果是△ABC的三边，满足 (1)求的取值范围； 解(1)由题意可得：解得： 将代入可得： ∵ ∴ 典例分析 例2.如果是△ABC的三边，满足 (2)若a为偶数，求三角形的周长. (2)∵为偶数 ∴或或 当时，三角形的周长为：13 当时，三角形的周长为：15 当时，三角形的周长为：17 综上所述：三角形的周长为13，15或17. 典例分析 例3.已知的三边长分别为,,10,求的取值范围． 解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ C B A 解（1）：设等腰三角形底边长为,则腰长为 ∴ 解得 ∴此时各边的长为，， 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ C B A 解(2) 能围成，理由如下： 当为腰长时：底边长为： ∵ ∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm. 当为底边时：腰长为： ∵ ∴能围成底边长的等腰三角形 综上所述：能围成底边长的等腰三角形。 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？ C B A 解(3) 不能围成一边长是9cm的等腰三角形，理由如下： 分两种情况讨论，如下： ①当长为的边为腰时，设底边长为,根据题意， 得，解得， 所以腰长为时，不能围成等腰三角形； ②当长为的边为底边时，设腰长为,根据题意， 得，解得, 由，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以为底边长不能组成三角形. 故不能围成一边长是9cm的等腰三角形； 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （4）假设等腰三角形的腰长为,求的取值范围？ C B A 解（4）由题意可知三边长为,, 当腰为短边时：解得 当腰为长边：解得 ∴取值范围为 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （5）假设等腰三角形的底边长为,求的取值范围？ C B A 解（5）由题意可知三边长为,,, 则有 解得： ∴取值范围为 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （6）假设等腰三角形的最长边为,求的取值范围？ 解（6）由题意可知 解得： ∴取值范围为 典例分析 例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形， （7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长 解（7）设等腰三角形的腰长为,则等腰三角形的底边长为, 由题意得：解得： , ∵取整数，∴或, 当时，;当时，; 当时，;当时，; ∴最多可以围出个满足条件的等腰三角形，等腰三角形的边长分别为或或或. 变式训练 1.已知三角形的三边长分别为3,,4，求的取值范围 解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 则：即 2.已知三角形三条边的长分别为，，，求的取值范围 解：由题意可得∴ 变式训练 3.若是△ABC的三边，化简： 解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴,, ∴原式= 变式训练 4.若等腰三角形的三边长分别为，，，求三角形的周长. 解 ①当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，不符合三角形三边关系； ②当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，，，符合三角形三边关系； ③当底边长为时，，解得， 此时三边长分别为，不符合三角形三边关系. ∴三角形的周长为. 变式训练 5.如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数) 解:当连接时,在中: 在中： 即 当连接时,在中: 在中： 即 综上所述：所需的木条长度至少要 知 识 梳 理 课堂小结 1.三角形的三边关系（核心考点） (1)任意两边之和大于第三边：,, (2)任意两边之差小于第三边：,, 2.判断三条线段能否围成三角形 最快方法：最短两边之和最长边​只要这一条成立，其余自动成立。 3.已知两边，求第三边的取值范围 设已知两边为 ，第三边为，则： 如果是整数边，再在这个范围内数整数解即可 课堂练习 1．下列图形中，不具有稳定性的是(　　) A　 　B　 　C　 　D 2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条(　　) A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 B B 变式训练 3.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是( ) A.1 B. 2 C.5 D.6 4.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 5.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为________ 6.在三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长_______________。 B C 15或17或19 布置作业 必做题：教材P7练习1、2； 选做题：用一根长为14厘米的细铁丝围成一个等腰三角形。 (1)如果腰长是底边的3倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为2厘米的等腰三角形吗？为什么？ (3)如果最长边为则，求的取值范围？ 实践题：观察生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，拍一张照片，下节课分享 谢谢聆听 类型之一　三角形的稳定性及四边形的不稳定性的应用 如图11­1­18所示，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(　　) 图11­1­18 类型之二　判断图形是否具有稳定性 (1)在如图11­1­20所示的图形中，哪些具有稳定性？ 　 　 　 (1)　　　　 　(2)　　　 　　　(3) (4)　　　 　 　(5)　　　　 　(6) 图11­1­20 (2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 8．如图11­1­28，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB＝80 cm，BC＝60 cm，CD＝40 cm，AD＝50 cm，试问所需的木条长度至少要多长(结果保留整厘米数)? 图11­1­28 $