13.3 三角形的外角 讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形外角这一核心知识点，系统梳理外角的定义、性质（等于不相邻两内角和）及外角和360°，衔接三角形内角和知识，为复杂几何问题解决提供学习支架。 资料通过6类题型（如平行线、翻折、三角板应用等）设计，结合例题与变式，培养学生几何直观与推理意识，随堂检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师分层教学，提升学生应用数学解决实际问题的能力。

13.3 三角形的外角（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 题型 1··由三角形的外角性质求角的度数 1 题型 2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 2 题型3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 3 题型 4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 4 题型5·三角形的外角性质与角平分线的综合 5 题型 6·与三角形的外角性质有关的探究问题 6 知识点 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 题型 1··由三角形的外角性质求角的度数 【例1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 题型 2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 【例2】如图，交于G，交于，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】一副三角板按如图所示叠合在一起，若三角板的两斜边相互平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边平行，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（    ） A．78° B．73° C．69° D．61° 题型3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 【例3】如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【变式3-2】将沿翻折得到，点与点是对应点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则＝（    ） A． B． C． D． 题型 4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 【例4】如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型5·三角形的外角性质与角平分线的综合 【例5】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】如图，，点E为上方一点，分别为的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型 6·与三角形的外角性质有关的探究问题 【例6】探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： (1)已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 【变式6-1】综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【变式6-2】综合与探究 【问题情境】 在我们华东师大版义务教育教科书数学七下第86页曾经研究过三角形的外角性质问题．奋进小组想用学过的知识推出结论：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用此结论进行了深入的研究． 【推理论证】 （1）下面是奋进小组在推理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的部分过程． 如图1：已知是的一个外角．请说明：． 解：在中，（依据：___________），且___________， ___________． 请你把上面过程中的空缺处补充完整． 【变式探究】 （2）如图2：平分，且与的外角的平分线交于点． ①若，，则的度数为___________； ②在（2）的条件下，若将①中的条件“，”去掉，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3：，点A、B分别在射线上移动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线相交于点，的度数___________（填“会”或“不会”）随着A、B的移动而发生变化．若不会，则为___________度；若会，请说明理由． 【变式6-3】如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则的大小为（      ） A． B． C． D． 3．如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，和是的外角，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．云南省教育厅发布《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》，明确要求全省中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，旨在提升学生体质健康水平．学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压腿动作，该动作中人体一侧腿部与地面垂直，并对另一侧腿部进行压伸，其姿态可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 7．如图点B在上，，，，则的度数是_______． 8．如图，______ ． 9．如图，在中，分别平分和，，则的度数是________        10．如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 11．如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 12．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，且，为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为_____； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 三角形的外角（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 题型 1··由三角形的外角性质求角的度数 1 题型 2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 3 题型3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 6 题型 4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 8 题型5·三角形的外角性质与角平分线的综合 11 题型 6·与三角形的外角性质有关的探究问题 14 知识点 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 题型 1··由三角形的外角性质求角的度数 【例1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-1】如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，设直线与截线的夹角为 ， 是三角形的外角 ． 【变式1-2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是根据两直线平行得到同位角相等．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ∵， ， 故选：B． 【变式1-3】如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴． 题型 2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 【例2】如图，交于G，交于，则∠1等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可得，根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】一副三角板按如图所示叠合在一起，若三角板的两斜边相互平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为两斜边相互平行，所以，根据三角形外角性质可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边平行，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．设与交于点，由题意可得：，，，推出，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：设与交于点， 由题意可得：，，， ， ， 故选：D． 【变式2-3】如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（    ） A．78° B．73° C．69° D．61° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据平行得到，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， 故选B． 题型3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 【例3】如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，由折叠可得，进而由三角形的外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．那么等于（　　） A．80° B．60° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质与三角形外角的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，，再根据，得到，利用等边对等角与外角的性质得出结论即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得，． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴； 故选：C． 【变式3-2】将沿翻折得到，点与点是对应点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键． 首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出再利用角的和差求解即可，． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠的性质可得， ∵ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 【变式3-3】如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质． 题型 4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 【例4】如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据题意得到，再利用三角外角的性质进行解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴ 故选：C 【变式4-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键． 如图，依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数． 【详解】解：如图， ， 由题意，得，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-3】如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 题型5·三角形的外角性质与角平分线的综合 【例5】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∴， 故选B． 【变式5-1】如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 【变式5-2】如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点．    ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ∴， ∴， ． ∵，的角平分线交于点， ，， 设与相交于，则， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 【变式5-3】如图，，点E为上方一点，分别为的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过G作，根据平行线的性质可得，进而可得，再利用平行线的性质进行等量代换可得，求出的度数，然后可得答案． 【详解】解：过G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行同位角相等，内错角相等． 题型 6·与三角形的外角性质有关的探究问题 【例6】探究与发现： 探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 问题发现： (1)已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的内角、外角以及角平分线的定义等知识，解题的关键是根据外角的性质以及角平分线的定义正确表示角之间的关系． （1）根据三角形外角的性质表示出和即可解答； （2）先根据角平分线的性质求得，，然后利用三角形的内角和定理表示出即可解答； （3）根据（1）和（2）的结论代入整理即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 即； （2）∵平分， ∴， 同理，， ∴， 即； （3）如图，延长交于点， 由（2）中结论知，， 由（1）中结论知，， ∴， 即． 【变式6-1】综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 【变式6-2】综合与探究 【问题情境】 在我们华东师大版义务教育教科书数学七下第86页曾经研究过三角形的外角性质问题．奋进小组想用学过的知识推出结论：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并运用此结论进行了深入的研究． 【推理论证】 （1）下面是奋进小组在推理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的部分过程． 如图1：已知是的一个外角．请说明：． 解：在中，（依据：___________），且___________， ___________． 请你把上面过程中的空缺处补充完整． 【变式探究】 （2）如图2：平分，且与的外角的平分线交于点． ①若，，则的度数为___________； ②在（2）的条件下，若将①中的条件“，”去掉，试探究与有何数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3：，点A、B分别在射线上移动（不与点O重合），的平分线的反向延长线与的平分线相交于点，的度数___________（填“会”或“不会”）随着A、B的移动而发生变化．若不会，则为___________度；若会，请说明理由． 【答案】（1）三角形内角和定理，，；（2）①30，②（或），理由见解析；（3）不会，，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角形内角和定理得到，由平角定义得到，即可得出答案； （2）①由外角的性质得到，由角平分线的性质得到，，即可求解； ②由角平分线的性质得到，由外角的性质得到，，即可得出答案； （3）由外角的性质和角平分线的性质求出是一个定值，即可得出答案． 【详解】解：在中，（三角形内角和定理），且， ， 故答案为：三角形内角和定理，，； （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②（或），理由如下： 如图： ∵平分平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）∵是的外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴是一个定值， ∴的度数不会随着A、B的移动而发生变化， 故答案为：不会，． 【变式6-3】如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）① 115；②，理由见解析； 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键． （1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解； （2）① 由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解； ② 由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解； 【详解】解：（1）， 理由：如图1，连接，并延长到点E， 则， ∴， 即； （2）① 由（1）知， ∵平分、平分， ∴、， ∴， ∴， 则； ② ， 理由：如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 即 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质、三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则的大小为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角板定义得出两个特殊角的度数，根据平行性质求出，根据外角定义求出，最后根据互余求出． 【详解】解：如图所示，标出各个角 由两个直角三角板的角度可知， 两个三角板两条斜边互相平行， ， ， ， ∵， ． 3．如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 【详解】解： 平分， ， ． 4．如图，和是的外角，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、邻补角等知识，首先根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”求得的度数，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 5．云南省教育厅发布《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》，明确要求全省中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，旨在提升学生体质健康水平．学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压腿动作，该动作中人体一侧腿部与地面垂直，并对另一侧腿部进行压伸，其姿态可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和计算即可得出结果，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由三角形外角的定义及性质可得：， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数（用表示），利用和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论． 【详解】延长，交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中， ， 增加； 故选． 7．如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 8．如图，______ ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 故答案为：180． 9．如图，在中，分别平分和，，则的度数是________        【答案】/30度 【分析】本题考查了角的平分线运用，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形的外角可知：，，结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：由三角形的外角可知：，， ∵分别平分和， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 11．如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可得到答案； （2）根据三角形外角的性质可得 ，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 12．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，且，为右侧、上方一点，连接，于点． 【问题发现】 （1）如图1，连接，则四边形的内角和为_____； 【深入探究】 （2）如图2，连接，若，平分，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，若，的平分线与的平分线交于点，交于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连接，结合三角形内角和定理表示出求解，即可解题； （2）根据平行线性质和角平分线定义，推出，再结合三角形内角和定理进行代换，即可解题； （3）结合三角形外角性质得到，，再结合角平分线定义得到，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 有， ， 故答案为：； （2）， . 平分， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ； （3）.（其他形式正确均可） 由（2）知， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $