精品解析：广西南宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

南宁市第十四中学2025～2026年春季学期高一期末测试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（ ） A. 36 B. 42 C. 49 D. 55 7. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，则__________. 13. 中，为边中点，，则_____(用表示) 14. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 16. 已知函数 （ ）， . （1）求 的值； （2）设函数 ，求 的值域和单调区间. 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由 两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中 胜 乙 的概率均为 ，且每局比赛结果互不影响. ① 求比赛恰好进行两局就结束的概率； ② 求甲获得冠军的概率. 19. 已知内角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，且，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第十四中学2025～2026年春季学期高一期末测试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 4. 已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的计算即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，10，共7个数. ，所以第80百分位数是第6个数，为8. 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 6. 为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（ ） A. 36 B. 42 C. 49 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】先求出平均身高，再求出总方差即可． 【详解】平均身高为：， 则该地区中学生身高的总方差为． 7. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D. 【详解】由，得，解得，A正确； 由，得，解得，B错误； 由，得，解得，所以，C正确； 当时，，， 所以在上的投影向量为，D正确． 故选：ACD． 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、， 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值， 连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由题意得， 又，所以. 故答案为： 13. 中，为边中点，，则_____(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】 由已知， . 故答案为：. 14. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论. 【详解】如图所示，连接， 由已知，，点为的中点， ，，又，平面， 所以平面，又平面ABE， 所以，故异面直线与所成的角的大小为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． 【小问2详解】 ， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 16. 已知函数 （ ）， . （1）求 的值； （2）设函数 ，求 的值域和单调区间. 【答案】（1）. （2）值域为，单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 由 可得， 因，故. 【小问2详解】 ， 因,故的值域为； 当，，即，时，单调递增， 当，，即 ，时，单调递减， 故 的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 又平面，平面，故， 平面，故平面， 又平面，故, 是中点， 故，又平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得长度，即可根据勾股定理求证，进而根据线面垂直的性质以及判定，即可求解， （2）由等体积公式求出点到平面的距离为，则点到平面的距离为，再求出线段的长即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记点到平面的距离为， 由， 得，得，解得， 因为，所以点到平面的距离为， 由, 则，由，得，而， 得，得， 记直线 和平面 所成角为，则， 故直线 和平面 所成角的正弦值为. 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由 两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中 胜 乙 的概率均为 ，且每局比赛结果互不影响. ① 求比赛恰好进行两局就结束的概率； ② 求甲获得冠军的概率. 【答案】（1），平均数为，中位数为； （2）； （3）① ；② . 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，以及中位数与平均数与频率分布直方图的联系即可求解； （2）通过分层抽样的性质，求解不同组抽取人数，根据古典概型计算概率即可； （3）分析①和②对应的输赢情况，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得， 估计高一年级初赛成绩的平均数为  ， 设中位数为，因为组的频率为，组的频率为，组的频率为， 因此， 故. 【小问2详解】 组与组的频率比为，因此抽样人数分别为2人与3人， 设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组， 因此抽取的结果可为、、、、、、、、、，共十种抽取结果， 其中有1名或2名学生成绩在的结果为 、、、 、、、，共七种抽取结果， 因此根据古典概型的计算公式. 【小问3详解】 设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利， 因此 为乙在第一局中获得胜利， 为乙在第二局中获得胜利， 为乙在第三局中获得胜利， 故，. ①比赛恰好进行两局就结束分为两种情况，即甲连续获胜两局或乙连续获胜两局， 因此该事件即为，且与互斥， 因为每局比赛结果互不影响，因此. ②甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢；甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢， 即为事件， 因此， 故. 19. 已知内角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角； （2）若角的平分线交于点，且，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及同角公式求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. （3）利用正弦定理及和差角的正弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由平分交于点，得， 即，而，整理得， 由余弦定理得， 而，解得，所以的周长为. 【小问3详解】 由（1）得，令， 由为锐角三角形，得，则， 由正弦定理得，则， ， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $