第04讲 正方形的性质与判定（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

第04讲 正方形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+16个题型+课后作业】 模块二 正方形的性质与判定 还记得正方形的定义鸣？正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ 【知识点1 正方形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 【知识点2 正方形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【例1】如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：15． 【变式1-1】如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 故答案为：22.5． 【变式1-2】如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：90． 【变式1-3】如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：C． 【题型2 利用正方形的性质求线段长】 【例2】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】过点作，并延长，交于点，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，，，则有，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，并延长，交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理可得， ∴， ∴. 故答案为：4． 【变式2-1】如图，在正方形中，连接，点在边上，连接，，过点作于点，若，则的长为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到、，进而得到是的平分线，利用角平分线的性质定理求出，据此求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 、， ， ， ， 是的平分线， ， ． 故选：B． 【变式2-2】如图，是正方形对角线上一点，点在上，且，连接，，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可证，得到，，由四边形内角的计算得到，得到是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 故答案为：． 【题型3 利用正方形的性质求面积】 【例3】如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为， 将图中进行命名如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即． 故选：B． 【变式3-1】如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 【变式3-2】如图，在中，，点为中点，以为边作正方形，延长线恰好经过点，若正方形的面积为2，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，根据正方形面积求出边长，，利用正方形性质及点共线得出，再结合直角三角形斜边中线定理求出的长，连接交于点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：连接交于点 正方形的面积为，则 ， ∴，，则 在中，，为中点 ， ， ． 故选：D． 【变式3-3】如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 故选：C． 【题型4 正方形中的折叠问题】 【例4】如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴．设，则，，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 故选：B． 【变式4-1】如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由四边形为正方形，垂直平分，可得四边形是矩形，，，，再由折叠可得，，，，在中求得，可得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 故答案为：． 【变式4-2】如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-3】如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 故选：B． 【题型5 利用正方形的性质证明】 【例5】如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，，连接、，平分，交于点M． 求证：． 【分析】先根据正方形的性质，证明，再证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【分析】利用正方形的性质得出，得出，利用等边对等角得出，根据角的和差关系可得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：四边形为正方形， ． 点分别为的中点， ， ． ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 【分析】先根据正方形的性质得到，，且，再由同角的余角相等推出，利用证明，最后根据全等三角形对应边相等即可得出． 【详解】证明：∵四边形、都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断③正确． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ， ∴，，故①正确； ， ， 在中，， ∴，故②正确； ， ， ， 即，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：D． 【题型6 正方形的判定定理理解】 【例6】如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 【答案】C 【分析】结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，此时平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意； 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式6-1】下列命题中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．四角相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断各命题即可求解． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，该命题错误，不符合题意； B．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，该命题错误，不符合题意； C ．∵四边形内角和为，四边形四个内角相等，∴每个内角为，四个角都是直角的四边形是矩形，该命题正确，符合题意； D．四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该命题错误，不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【变式6-3】下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，一组对边平行的四边形可能是梯形，选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，选项错误，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，选项正确，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【题型7 证明四边形是正方形】 【例7】如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【分析】先根据题意证明四边形是矩形，再利用角平分线得到，证明和，从而得到矩形的邻边相等，证出答案． 【详解】证明：如图所示，过点作，垂足为点， ， ∴， ∵，，， ∴ ∴四边形是矩形，， ∵两条外角平分线交于点， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【变式7-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形． 【变式7-2】如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 【变式7-3】已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 【题型8 添一个条件使四边形是正方形】 【例8】在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①② 是正方形．再写出符合要求的一个：______ 是正方形． 【答案】②④（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理，只需添加两个条件使平行四边形同时满足矩形和菱形的判定条件，即可推出平行四边形是正方形. 【详解】解： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑤ 是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又平分， ∴， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为①⑥ 是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑤ 是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形． 又∵平分， ∴， 平行四边形是菱形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为④⑥ 是正方形； 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 又∵， 平行四边形是矩形. 平行四边形既是菱形又是矩形，即是正方形. 所以答案为②④ 是正方形； 故答案为：②④（答案不唯一）． 【变式8-1】已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件判定四边形为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式8-2】在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，对角线相等的菱形是正方形，因此四边形为正方形，故A正确； B、菱形本身满足对角线，因此添加该条件不能判定四边形为正方形，故B错误； C、平行四边形对角线互相平分，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形，故C错误； D、菱形对角线平分一组对角，因此菱形本身满足平分，添加该条件不能判定四边形为正方形． 故选：A． 【变式8-3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 故选：B． 【题型9 利用正方形的性质与判定求角度】 【例9】如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 故选：D． 【变式9-1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【变式9-2】如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 【题型10 利用正方形的性质与判定求线段长】 【例10】如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先过点分别作于点，，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：如图，过点分别作于点，，交的延长线于点， ． ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 又 ，， ， ，， 矩形为正方形， ． 在中，，且， ， ， ，， ． 故选：A． 【变式10-1】如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得，． 故选：B． 【变式10-2】在中，的角平分线交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再结合角平分线性质得到点到两直角边的距离相等，证明矩形是正方形，得到，通过面积法求出距离，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：，，， ，， 过点作于，于， ， 四边形是矩形， 平分， ， 矩形是正方形， ， 设， ， ， 解得， 即， ． 故选：B． 【变式10-3】如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点M，根据正方形的性质先求得以及证明四边形为正方形，得到，结合，从而求得，进而求得和，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11 利用正方形的性质与判定求面积】 【例11】如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 故答案为：8． 【变式11-1】如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 【变式11-2】如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，证明四边形是正方形，根据面积求出边长，进而求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∵， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积是36， ∴， ∴， ∴原来的正方形的面积是， 故选：A． 【变式11-3】如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【题型12 中点四边形】 【例12】解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （4）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边 (2) (3) (4)且 【分析】连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形； （3）解：， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形； （4）解：且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，可知平行四边形为矩形， 根据，可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形． 【变式12-1】顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】先连接正方形对角线，借助中位线证对边平行得平行四边形，再利用对角线相等推出四边相等，判定菱形，最后由对角线垂直，证菱形有直角，得到正方形． 【详解】解：设原正方形为，，，，分别是，，，的中点，连接，，如图： ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵在正方形中，， ∴， ∴四边形是菱形， 在正方形中， ∵，，， ∴，即， ∴菱形是正方形． 故选：D． 【变式12-2】在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（     ） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【分析】先根据中位线定理判定中点四边形的形状，再根据特殊四边形对角线的性质得到与的关系即可． 【详解】连接，，， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴由三角形中位线定理可得 ，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的对角线与互相平分. 又∵四边形的对角线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴对角线与互相垂直， 综上，与互相垂直平分． 故选：A． 【变式12-3】如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 故选：B． 【题型13 正方形与坐标问题】 【例13】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的坐标为（为正整数）， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、…、的顶点、、、…、均在直线上，顶点、、、在x轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先求出点、的坐标，代入求出解析式，依次求出点、、、的纵坐标及横坐标，得到规律即可得到答案 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴正方形的边长是1，正方形的边长是2， ∴，， 将点、的坐标代入得， 解得， ∴直线解析式是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是， ∴的纵坐标是，横坐标是，即 故答案为：． 【变式13-2】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．根据正方形的性质可知：点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，即点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称， 又点的坐标为，点的坐标为， 点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：，． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【题型14 正方形中的最值问题】 【例14】如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 【变式14-1】如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键. 由于点B与D关于对称，所以连接，设与交于点，连接，此时最小，直角中，利用勾股定理即可得出结果. 【详解】解：如图，连接，设与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴是最小. 即P在与的交点上时，最小，即为的长度. ∴直角中，，， ∴. 故选：B. 【变式14-2】如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 故选： A． 【变式14-3】如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 故选： D． 【题型15 正方形中的动点问题】 【例15】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 【答案】B 【分析】当时，四边形为平行四边形，列方程求出t的值，可判断A；当时，四边形为平行四边形，再根据求t的值，可判断B；根据当时，四边形为矩形，列方程求出t的值，可判断C；当时，四边形为矩形，再根据列方程求出t的值，可判断D． 【详解】解：A． ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，故A不符合题意； B． 由A知，当时，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． 作于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B符合题意； C．∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴，故C不符合题意； D． ∵当时，四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴，故不符合题意． 故选B． 【变式15-1】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 【变式15-2】如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是______． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【变式15-3】如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 【答案】5 【分析】要解决的最小值问题，需利用轴对称（反射法）将折线转化为直线段．结合正方形的性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性），找到点关于的对称点，则，因此．根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，最小值为到的垂直距离（或对应线段长度）． 【详解】正方形的对角线． 设正方形边长为， 由勾股定理（正方形邻边相等，）， 得：， 整理得：， 解得：， 即正方形边长为， 是的平分线，． 作点关于的对称点，则是的垂直平分线， ． ， 根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，的最小值为到的距离（或对应线段长度）． ∵,， ,由勾股定理得：， 设代入得：， 解得（负值舍去）， 即， 的最小值为5． 故答案为：． 【题型16 正方形中的旋转问题】 【例16】如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法． 过C点作轴于H点，如图，先证明得到，，则，所以，由于，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，然后根据旋转的性质得到次旋转后点的坐标为，即可作答． 【详解】解：过C点作轴于H点，如图， ∵，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次 ∴ ∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转， 即把绕点顺时针旋转，得，过作轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第四象限 ∴点的坐标为 故选：B 【变式16-1】如图，等腰关于y轴对称，且以为边构造正方形，将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，坐标与图形，熟练掌握等腰直角三角形的三边关系和找到旋转点坐标变化规律是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形求出点B坐标，再根据正方形的性质求出点C的坐标，再根据题上条件得出旋转为每4次一个循环，从而求出点的坐标． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， 等腰关于y轴对称， 点B坐标为， 四边形是正方形， ， 点C坐标为， 将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ， 由题意可知旋转为每4次一个循环，且， 第次旋转结束时，点与坐标相同， 点的坐标为． 故选：D． 【变式16-2】如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为____． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，线段最值的计算，掌握旋转的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理，旋转的性质得到的最小值为，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形都是边长为的正方形， ∴， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最小值为， 如图所示，正方形绕顶点旋转一周， 在中，，当点共线时，取等号， ∴的最大值为， ∴， ∴线段的长可取的整数值为或， 故答案为：或 ． 【变式16-3】共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 模块三 课后作业 1．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 故选：C． 3．如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，分别求出的坐标，发现规律，根据规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形，且， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴，，，，…， ∴不难发现从第五次旋转开始，点的坐标与前面的重复了， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与重合，坐标为． 故选：B． 4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点.连接，将沿翻折得到，连接．当最小是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， ∴的最小值为． 故选：B． 5．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25． 7．如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 【答案】/69度 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和已知可得，求出，由三角形外角的性质可得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 故答案为：． 8．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标等知识．作轴于点E，先求出．再证明，得到，进而求出，即可得到坐标是． 【详解】解：如图，作轴于点E． ∵点坐标，点坐标， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∴ ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴坐标是． 故答案为： 9．如图，正方形纸片的边长为9，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，交边于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得，，根据勾股定理求出，由折叠得，，推导出，可证明，得，由，求得，则． 【详解】解：∵四边形是边长为9的正方形，点F在上，点E在上，， ∴， ∴， 由折叠得点G与点A关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形边长为3，，求的长度． 【分析】本题考查折叠的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到、，进而得到，则求出，证明四边形是矩形，利用，证明四边形是正方形； （2）设，则，由折叠的性质得到、，进而得到，在中，利用勾股定理列出方程，解方程，从而求出的值． 【详解】（1）证明：由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）解：由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 11．如图，在正方形中，点E为边上的一点，延长至点F，使，以为边作正方形，使点H落在上，连接，． （1）求证：． （2）连接，若，与的面积之比为，求四边形的面积． 【分析】（1）因为正方形和正方形的边、角存在特殊性质，且已知，所以先梳理两个三角形和的边、角对应相等的条件，选用合适的全等判定定理完成证明； （2）设正方形的边长为参数，因为，所以可表示出正方形的边长；同时根据面积比的条件，找到和的面积表达式，利用面积比建立方程，求解参数后计算四边形的面积． 【详解】（1）， ， ， ∵正方形， ，， ， ∵正方形， ，， ，， ． （2）解：， ， ， 正方形和正方形， ，， ， ∴，即， ， ， ，， ． 12．如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． （1）如图2，求证：； （2）请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 正方形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+16个题型+课后作业】 模块二 正方形的性质与判定 还记得正方形的定义鸣？正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？ 【知识点1 正方形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 【知识点2 正方形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2．根据邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形． 3．根据角：有一个角是直角的菱形是正方形． 4．根据对角线： ①对角线相等的菱形是正方形． ②对角线互相垂直的矩形是正方形． ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【例1】如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【变式1-1】如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【变式1-3】如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长】 【例2】如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点．若，，则的长为________． 【变式2-1】如图，在正方形中，连接，点在边上，连接，，过点作于点，若，则的长为（     ） A． B．2 C． D．1 【变式2-2】如图，是正方形对角线上一点，点在上，且，连接，，若，则的长为_____． 【变式2-3】如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【题型3 利用正方形的性质求面积】 【例3】如图，一个大正方形中有2个小正方形，则它们的面积，满足的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-1】如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【变式3-2】如图，在中，，点为中点，以为边作正方形，延长线恰好经过点，若正方形的面积为2，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型4 正方形中的折叠问题】 【例4】如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是（     ） A． B． C．1 D． 【变式4-1】如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【变式4-2】如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【题型5 利用正方形的性质证明】 【例5】如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，，连接、，平分，交于点M． 求证：． 【变式5-1】如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【变式5-2】如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 【变式5-3】如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6 正方形的判定定理理解】 【例6】如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 【变式6-1】下列命题中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．四角相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 【变式6-2】下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【变式6-3】下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【题型7 证明四边形是正方形】 【例7】如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【变式7-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【变式7-2】如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【变式7-3】已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【题型8 添一个条件使四边形是正方形】 【例8】在中，对角线交于点O，现有以下六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥平分，从中选取两个推出（是正方形，如①② 是正方形．再写出符合要求的一个：______ 是正方形． 【变式8-1】已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【变式8-2】在平行四边形中，添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（     ） A． B．⊥ C．平分 D．平分 【变式8-3】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【题型9 利用正方形的性质与判定求角度】 【例9】如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【变式9-2】如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 【变式9-3】如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    【题型10 利用正方形的性质与判定求线段长】 【例10】如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】在中，的角平分线交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【题型11 利用正方形的性质与判定求面积】 【例11】如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【变式11-1】如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【变式11-2】如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【变式11-3】如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型12 中点四边形】 【例12】解答：在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）如图所示，E、F、G、H分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （4）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【变式12-1】顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式12-2】在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（     ） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【变式12-3】如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【题型13 正方形与坐标问题】 【例13】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形、、、…、的顶点、、、…、均在直线上，顶点、、、在x轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为__________． 【变式13-2】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【题型14 正方形中的最值问题】 【例14】如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式14-1】如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 【变式14-2】如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【变式14-3】如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【题型15 正方形中的动点问题】 【例15】如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为平行四边形 B．当时，四边形为菱形 C．当时，四边形为矩形 D．当时，四边形为正方形 【变式15-1】如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是______． 【变式15-3】如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 【题型16 正方形中的旋转问题】 【例16】如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】如图，等腰关于y轴对称，且以为边构造正方形，将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为____． 【变式16-3】共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 模块三 课后作业 1．在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 2．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点.连接，将沿翻折得到，连接．当最小是（    ） A． B． C． D．5 5．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 6．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 7．如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 8．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 9．如图，正方形纸片的边长为9，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，交边于点，若，则的长为_____． 10．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形边长为3，，求的长度． 11．如图，在正方形中，点E为边上的一点，延长至点F，使，以为边作正方形，使点H落在上，连接，． （1）求证：． （2）连接，若，与的面积之比为，求四边形的面积． 12．如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． （1）如图2，求证：； （2）请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $