专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程（6大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦用因式分解法求解一元二次方程这一核心知识点，系统梳理其步骤（移项化零、左式分解、转化一次方程求解）及常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），承接配方法与公式法，构建解方程方法体系，为学生提供根据方程结构灵活选择解法的学习支架。 该资料通过“典例+变式”分层训练、“错解复原”剖析规范操作、“几何结合”与“新定义”题型设计，突出运算能力与推理意识培养。例如菱形对角线长与方程根的结合问题，体现数学与现实的联系，助力学生发展应用意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教学目标 1. 理解因式分解法的基本思想，掌握用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）解一元二次方程的方法。 2. 能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择恰当的方法进行求解（配方法、公式法、因式分解法）。 3. 通过因式分解法感受“降次”的转化思想，培养代数运算能力与化归意识。 教学重难点 重点： 1. 掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤：移项使右边为0，左边因式分解，化为两个一次方程求解。 2. 能根据方程特征，灵活选用因式分解法或公式法等简捷方法求解。 教学难点： 1. 对形如x2 - (a+b)x + ab = 0的方程，正确运用十字相乘法分解因式。 2. 在解方程时，避免两边同除以含有未知数的项导致失根，强调“移项后分解因式”的规范操作。 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练1】 1．用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 2．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练】 1．用恰当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行求解； （1）利用配方法进行求解； （2）利用提公因式法和因式分解法进行求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 2．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据求根公式法即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 题型01 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 【典例1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【变式3】解方程： 【答案】，． 【分析】直接利用因式分解法求解即可．本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． 【详解】解： 或． ，． 【变式4】用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 所以或， 解得，． 题型02 用十字相乘法求解一元二次方程 【典例1】用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 【答案】(1)2，4； (2)，； (3)或或． 【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程； （1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）结合，利用因式分解法可分别求得值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）∵， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 综上所述的值可以是，，，，． 【变式2】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【变式3】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型03 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例1】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 任务一： 小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； 小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；三，提公因式时，后边的未变号；任务二：，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解决本题的关键是利用提公因式法分解式解一元二次方程，在解方程的过程中要注意不能随便除以一个代数式，提公因式时要注意符号是否需要变化． 【详解】任务一： 解：代数式的值可能为， 小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的； 小颖同学在第三步时提公因式时， 后边的是， 提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号， 小颖同学的做法错误； 任务二： 解：， 移项得：， 整理得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 【变式1】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 【变式2】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式3】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 【答案】(1)见解析； (2)小芳的解法错误，，． 【分析】（）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑； （）根据一元二次方程的解法即可求解； 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑， 故答案为：没有考虑； （2）小芳的解法错误， 由 或， 解得：，． 题型04 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【典例1】菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定，从而根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答． 【详解】解：菱形的一条对角线长为6， 如图，不妨设 解方程得，， ∴或， 若，则在菱形中，， 此时，，这不能构成三角形； 若，则在菱形中， ，，， ∴在中，， ∴，即另一条对角线长为8． 故答案为：8． 【变式1】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三角形的三条边为5，5，2，从而做出判断． 【详解】解：， ， ， ， ∵三角形的两边分别是一元二次方程的两个实数根， 三角形的两边分别是：5，2， 又∵的一边长为5， 是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【变式2】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 【变式3】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 故答案为：或． 题型05 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【典例1】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式1】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 【变式2】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 【变式3】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 题型06 换元法解一元二次方程 【典例1】【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【变式1】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程； （1）设进而解一元一次方程，即可求解； （2）设，得出，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设 ∴， ∴ 故答案为：10； （2）设 ∴ ∴ ∴ 解得：或 即或 【变式2】如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 【变式3】阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤． （1）根据换元法，可得答案； （2）根据换元法，可得答案； （3）根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则； （2）解：设，则， ，即， 解得，则或（舍去） ； （3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，， 根据题意，得， ， 设，则， ， 解得，（舍去） ，即， 解得，（舍去）， 这四个连续的正整数为2，3，4，5． 一、单选题 1．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点睛】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程两边均含有表达式，通过移项后因式分解，可简化为两个一次方程求解，因此因式分解法最适当． 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 4．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 二、填空题 5．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程． 根据题意，另一个根需比小且比大，取另一个根为，满足条件，与已知根2共同构造一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比小，比大，不妨设另一个根为， ∴一元二次方程可写为， 展开得． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 8．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由十字相乘因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项、合并同类项，再由完全平方公式因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：， ， 则， ． 10．（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ∴，． 11．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）在解方程：时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第_____步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、等式的基本性质、完全平方公式等知识点，灵活应用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据等式的基本性质即可解答； （2）先移项、然后提取公因式,将原方程化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． （2）解：， 移项得：， 提取公因式得：， 或， ，． 12．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）关于的一元二次方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：C． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 5．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）方程的解是_____ 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 7．（2026·广东深圳·一模）当___________时，代数式与的值相等． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，根据题意得：，然后把方程化简，并求出方程的解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 9．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）对于实数，定义运算“*”：*．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】204或 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义问题， 先解一元二次方程求出两个根，再根据运算“*”的定义，分情况计算． 【详解】解方程， 因式分解得， 所以或， 即两根为或． 当 时，， 所以． 当时，， 所以． 故答案为：204或． 10．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，等腰三角形的定义，把代入方程求出的值，进而得到方程为，再解方程求出另一个根，最后根据等腰三角形的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根为， ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长， ∴三角形的周长为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，． （2）解：， ∴，． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的； (2)请你用因式分解法正确的解出这道题． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况； （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 ∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． （2）解： ∴或 ∴，． 13．（25-26九年级上·四川自贡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)负整数的值为、、或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与因式分解法解方程． （1）通过计算判别式，判断其非负性，从而证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的根，再根据根为负整数的条件，结合为负整数的要求，确定的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其判别式． ∵，即， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：对原方程因式分解，得， 解得，． ∵方程的两个根均为负整数，且是负整数， ∴也需为负整数. 又∵是负整数， ∴，解得， ∴的取值为、、或． 14．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 15．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据题意分两种情况讨论：当腰为5时和当底为5时，然后分别求出符合条件的，即可求出周长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4用因式分解法求解一元二次方程 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01用因式分解法解一元二次方程的步骤 2.知识清单 知识点02常用的因式分解法 题型01用因试分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 题型02用十字相乘法求解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程 题型03用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 3题型精讲 题型04用因试分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 题型05新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 题型06换元法解一元二次方程 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解因式分解法的基本思想，掌握用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘 法)解一元二次方程的方法。 教学目标 2.能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择恰当的方法进行求解（配方法、公式 法、因式分解法)。 3.通过因式分解法感受“降次”的转化思想，培养代数运算能力与化归意识。 重点： 1.掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤：移项使右边为0，左边因式分解，化为 两个一次方程求解。 2.能根据方程特征，灵活选用因式分解法或公式法等简捷方法求解。 教学重难点 教学难点： 1.对形如x2·(a+b)x+ab=0的方程，正确运用十字相乘法分解因式。 2.在解方程时，避免两边同除以含有未知数的项导致失根，强调“移项后分解因式” 的规范操作。 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0： (2)将方程左边分解为两个一次式的积： (3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程： (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练1】 1.用因式分解法解方程： (1)3x-4)}2=9x-12 (2)3(x+2)2=x2-4 2.用十字相乘法解方程 (1)x2-x-90=0 (2)2x2+x-10=0 知识点02常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积： (2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于 0: (3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0：②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式. 【即学即练】 1.用恰当的方法解下列方程。 (1)x2+4x-1=0 (2)3x(x-1)=2(x-1) 2.用适当的方法解下列一元二次方程 (1)6x2+2=7x 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(2x-1)2=(3-x)2 题型精讲 题型01用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 【典例1】解方程：2x(x-2)-x+2=0 【变式1】解方程：x(x+3)-4(x+3)=0」 【变式2】解方程：2x(x-3)=3(x-3) 【变式3】解方程：3x(-2)=2(2-x) 【变式4】用因式分解法解方程：x2-7x=2(x-7). 题型02用十字相乘法求解一元二次方程 【典例1】用十字相乘法解方程： (1)x2-3x+2=0: (2)x2+5x-6=0: (3)3x2+5x-12=0 【变式1】阅读材料：由多项式乘法得(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到 “十字相乘法”进行因式分解的公式：x之+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)」 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3) (1)尝试：分解因式x2+6x+8=(x+(x+_): (2)应用：请用上述方法解方程x2-3x-4=0」 (3)拓展：用因式分解法解方程x2-x-16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为 【变式2】阅读材料：解方程x+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答： (1)分解因式x2+2x-35 (2)根据乘法原理，若ab=0,则a=0或 ①竖分二次项与常数项： b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解： 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2=x·x,-35=（-5)×(+7) ②交叉相乘，验中项： 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0 y-5 ◆7x-5x=2x ∴.x-5=0或x+7=0 0+7 .x=5,x2=-7 ③横向写出两因式： x2+2x-35=(x-5)x+7) 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)x2+5x+4=0: (2)x2-6x+8=0: (3)x2+3x-10=0: (4)x2-6x-7=0 【变式3】阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x2=2xx,-2=(-2)x1 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：2x2-3x-2=(2x+1)(x-2) 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 2x/1 x入-2 2x(-2)+x-1=-3x (2)例：解方程x2-3x+2=0」 解：(x-2)(x-1)=0. ∴x-2=0或x-1=0, x=2,x=1: 请用上述方法解答下列问题， (3)①因式分解：x2-4x+3= ②解方程：2024x2+2019x-5=0: ③已知m2-6mn+8n2=0(n≠0)，求n的值. 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例1】下面是小刚同学和小颍同学解一元二次方程5x(3x-2)=2(2-3x的过程，请仔细阅读并完成相 应的任务. 小颖同学： 小刚同学： 解：5x(3x-2)=2(2-3x).第-步 解：5x(3x-2)=2(2-3x).第-步 5x(3x-2)-2(2-3x)=0.第二步 5x=-2.第二步 (5x-2)3x-2)=0.第三步 2 解得x= 第三步 5x-2=0或3x-2=0.第四步 解得x=5或x=3第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第， 步开始出现错误.错误的原因是。 ②小颖同学的解答过程中，从第 步开始出现错误.错误的原因是 任务二：写出该方程的正确求解过程 【变式1】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：4(2y-5)=9(3y-1)2」 解：4(2y-5}-9(3y-1)=0,…第一步 [(4y-10)+(9y-3)][(4y-10)-(9y-3]=0,…第二步 (13y-13)(5y-7）=0,…第三步 13y-13=0或5y-7=0,…第四步 7 解得：=1，乃=5…第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据一来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解 法”或“直接开平方法”)· ②第_ 步开始出现错误，错误的原因是 任务二：请正确地解该方程. 【变式2】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务. 解方程：(3x-1}=2(3x-1). 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：方程两边同除以(3x-1),得3x-1=2.…第一步 移项，合并同类项，得3x=3.…第二步 系数化为1，得x=1.…第三步 任务： ①小明的解法从第。 步开始出现错误； ②此题的正确结果是 ③用因式分解法解方程：3x(x+2)=2x+4. 【变式3】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程3(x-5)=(x-5)'的过程如下框： 小芳： 小华： 解：3(x-5)=(x-5)}, 解：两边同时除以(x-5),得3=x-5, (x-5)3-x-5)=0. x=8」 x-5=0或3-x-5=0, 解得：=5，x2=-2」 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是_· (2)小芳的解法是_（填“正确”或“错误”）·如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方 程的过程：如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解， 题型04用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【典例1】菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB长为一元二次方程(x-3x-5)=0的一个根，则菱形 ABCD的另一条对角线长为- 【变式1】如果△ABC一边长是5，另两边分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两个实数根，那么△ABC 是 一三角形. 【变式2】如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等 腰三角形的周长为 【变式3】若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD的周长为一 题型05新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【典例1】定义：如果关于x的一元二次方程ar+bx+c=0(ac≠0)有一个根是c,那么我们称这个方程为 “黄金方程”· (1)判断一元二次方程x2+2x-3=0是否为“黄金方程”，请说明理由： (2)已知关于x的一元二次方程2r+br+c=0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b-2c+1的最小值， 【变式1】定义：如果关于x的一元二次方程r+bx+c=0(a≠0)满足：a+b+c=0,那么我们称这个方 程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程4x2-11x+7=0是否为“黄金方程”，并说明理由. (2)已知3x2-mx+n=0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 【变式2】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差1 方程”. (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由： ①x2+2x-3=0: ②x2-V3x+3=0」 (2)已知关于x的方程x-(m+2)x+2m=0(m是常数)是“差1方程”，求m的值. 【变式3】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”. 例如：x2=9和(x-2(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x=-3,所以这两个方程为“同伴方程”. (1)根据定义，判断一元二次方程(x-少=16与x2-4x-5=0是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程x2-3x+2=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值. 题型06换元法解一元二次方程 【典例1】【例】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0. 解：设x-1=y, 则原方程可化为y-5y+4=0, 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得y=1,y2=4. 当y=1时，x-1=1,解得x=2; 当y=4时，x-1=4,解得x=5. 综上所述，原方程的解为X=2,x2=5」 上述解法称为“整体换元法” 请运用“整体换元法”解方程： (1)x4-3x2-4=0. 2)(x2-2-11(x2-2)+18=0. 【变式1】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题. 已知关于x、y的方程(x+y》-2(x+y)-8=0,求x+y的值. 解：设t=x+y,则方程变形为：t2-21-8=0 ∴.(t-4)(t+2)=0 .t=4,52=-2 即x+y=4或x+y=-2 (1)【引申】己知(m2+n2-=9,则m+2= (2)【拓展】已知(x2+xx2+x-)=2,求x2+x的值 【变式2】如果让你去解方程y-5y+4=0,相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程 (x2-1)-5(x2-1)+4=0,我们应该如何去解呢？我们不防将x2-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程 可化为y2-5y+4=0.① 解得y=1,y2=4 当y=1时，x2-1=1,x2=2,x=±V2 当=4时，x2-1=4,x2=5,x=±5 即该方程的根为x=V2,x2=-V2,x=√5，x,=-5】 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用_达到降次的目的，表现了_的数学思想； (2)解方程(r2+x)x2+x-2)=-1. 【变式3】阅读下列材料： 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解方程：x4-6x2+5=0」 设x2=y,那么x4=y,于是原方程可变为y2-6y+5=0①， 解这个方程得：=1,2=5 当y=1时，x2=1,.x=1: 当y=5时，x2=5,.x=±V5, 所以原方程有四个根：x=1,x=-1,为=5，x=-5】 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (解方程x-3x-(-3x-12=0时，若设y=x-3x,直接写出用y表示该方程： 2若(a2+b2)(a2+2-2)=11,求a2+b的值： (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数， 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级下江苏南京开学考试)一元二次方程x(x-2)=0的解是() A.X==0B.x=x2=2 C.x=0,2=2 D.X=0,x2=-2 2.(25-26九年级上湖南岳阳期中)解方程(3x+2=2(3x+2)的适当方法是() A.直接开平方法B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上山西忻州阶段检测)一元二次方程(x-1)2-2(x-)+1=0可化为() A.x2=0 B.(x-1)2=0 C.(x-2)2=0 D.(x+2)2=0 4.(2025陕西汉中·一模)对于任意实数a、b,定义新运算a*b=ab2-2b,例如：3*2=3×2-2×2=8 若1*m=8,则m的值为() A.-4 B.4或-2 C.5 D.-3或2 二、填空题 5.(23-24八年级上·上海阶段检测)方程2(x+3x+4)=0的根是 6.(25-26九年级上江苏无锡期中)请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比-2小，比 -4大，则你构造的一元二次方程是一· 7.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程x2-6x+8=0 的根，则这个三角形的周长为， 8.(2025九年级上河北专题练习)我们知道方程x2+2x-3=0的解是x=1,2=-3，现给出另一个方 程(2x-1)+2(2x-1)-3=0,它的解是一 三、解答题 9.(25-26八年级下江苏南通期末)解方程： (1)x2-6x+8=0: (2)x2-x=x-1. 10.(25-26八年级下·北京阶段检测)解方程： (1)x2-7x+6=0 (2)(5x-1)+(5x-1)=0」 11.(25-26九年级上湖南娄底期末)在解方程：(2x-1=5(2x-1)时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去2x-1,得2x-1=5.(第一步) 移项，合并同类项，得2x=6.(第二步) 两边同时除以2，得x=3.(第三步) (1)小睿的解题方法是从第步开始出现错误的： (2)请你写出正确的解答过程 12.(25-26九年级上辽宁丹东·期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax+bx+C=0有两个实数根，且 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. (1)请判断关于x的方程x2-9x+18=0“倍根方程”.（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程(x-a+x-)=0有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值. 能力提升 一、 单选题 1. (25-26九年级上山西晋中阶段检测)关于x的一元二次方程(2x-3(x+)=0的根为() 3 3 A.￥=2’x2=1 B.x=2’为=1 3 C.= 2’x2=-1 D.=-3 2’x3=-1 2.(2026辽宁沈阳模拟预测)一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为3，那么它的另一个根为（) A.-3 B.0 C.2 D.-2 3.(2026四川宜宾中考真题)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的 面积是() A.4 B.5 C.6 D.7 4.(25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测)若关于x的一元二次方程ar2+bx+5=0(a≠0)有一根为 x=2025,则一元二次方程a(x-2)°+bx-2b=-5有一个根为() A.2021 B.2023 C.2025 D.2027 5.(25-26九年级上山东德州阶段检测)如果关于x的一元二次方程ar+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程x2+x=0的两个根 是=0，名=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.下列方程是邻根方程的是(). A.x2-2x+1=0 B.2x2+3x+4=0 C.x2-1=0 D.2x2-2V3x+1=0 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26九年级上四川德阳阶段检测)方程x(x-10)=0的解是 7.(2026广东深圳一模)当x= 时，代数式4x2+7x+3与3x+2的值相等， 8.(25-26九年级上江苏镇江期中)已知方程x2+2x-3=0的解是x=1,x3=-3,则方程 (x-2024)2+2(x-2024)-3=0的解是一. a2-ab(a≥b) 9。（25-26八年级上上海货浦期中)对于安影。b定义运70*6ab-a<例如42 因为4>2，所以4*2=42-4×2=8.若x,x2是一元二次方程x2-7x-60=0的两个根，则x*x2= 10.(25-26九年级上：广东广州阶段检测)已知6是关于x的方程x2-5+12a=0的一个根，并且这个 方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为一 三、解答题 11.(25-26八年级上·北京西城·阶段检测)解方程： (①)x(x+3)=2x+6: (2)x2+4x+3=0, 12.(25-26九年级上陕西榆林期中)用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷， 但在解题过程中要考虑全面.王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题： (2x-1)=5(2x-1).下面是小容的解题过程： 解方程：(2x-1)=5(2x-1) 解：两边同时约去2x-1,得2x-1=5.(第一步) 移项，合并同类项，得2x=6.(第二步) 两边同时除以2，得x=3.(第三步) ()小睿的解题方法是从第步开始出现错误的： (2)请你用因式分解法正确的解出这道题， 13.(25-26九年级上四川自贡期末)已知关于x的一元二次方程x2+(m+8)x+3m+15=0。 (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程两个根均为负整数，求负整数m的值. 14.(25-26九年级上·贵州遵义·期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4x-1-10(4x-1)+24=0. 12113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y2-10y+24=0, 解得月=6,2=4」 .4x-1=6或4x-1=4. 4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)x4-3x2+2=0」 (2(x2-2x/-5x2+10x-6=0. 15.(25-26八年级上山东济南期末)己知关于x的一元二次方程x-(m+3)x+3m=0, (I)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根： (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长. 13113