第1章 反比例函数章节复习（11题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学反比例函数章节复习讲义通过知识点分块与表格梳理构建完整知识体系，涵盖定义、表达式、图象性质、k的几何意义及实际应用，用框架图呈现概念内在联系，突出k的几何意义与综合问题等重难点分布。 讲义亮点在于“即学即练+分层题型”设计，如实际问题建模（饮水机水温变化）、几何综合（矩形与双曲线面积）等题型，培养模型意识与推理能力。基础题巩固概念，变式题提升思维，助力教师精准分层教学，支持学生自主复习。

第1章 反比例函数章节复习 教学目标 1. 系统梳理反比例函数的概念、表达式、图象与性质，构建完整的知识结构体系。 2. 能熟练运用反比例函数的性质（特别是增减性与 k 的几何意义）解决相关综合问题。 3. 通过典型问题训练，提升从实际问题中建立反比例函数模型及综合运用多种函数模型解决问题的能力。 教学重难点 重点： 1. 反比例函数的图象与性质的综合应用，特别是 k 的几何意义在面积问题中的灵活运用。 2. 建立反比例函数模型解决跨学科及实际生活问题，理解其应用价值。 教学难点： 1. 结合一次函数或几何图形进行综合分析，解决交点、面积比较、取值范围等问题。 2. 在实际情境中准确识别变量间关系，灵活选择适当的函数模型进行求解与解释。 知识点01 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【即学即练】 1．下列函数，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数或，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】：解：A. 是正比例函数，不符合题意；     B. 当时，不是反比例函数，不符合题意；     C. 是反比例函数，符合题意；     D. 不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 知识点02 确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【即学即练】 1．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 【即学即练】 1．关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可． 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 知识点04 反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． . 知识点05 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【即学即练】 1．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 题型01　根据定义判别是否反比例函数 【典例1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．形如的函数叫作反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是反比例函数，故本选项符合题意； D、不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：A．是的一次函数，故该选项不符合题意； B．是的反比例函数，故该选项符合题意； C．是的正比例函数，故该选项不符合题意； D．是的二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故A选项符合题意； B、是反比例函数，故B选项不符合题意； C、是反比例函数，故C选项不符合题意； D、是反比例函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的识别，形如的函数是反比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中是反比例函数的有④；⑤，共2个， 故选：B 题型02　判断(画)反比例函数图象 【典例2】反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 【变式2】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 【变式3】当时，反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选C． 题型03　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例3】已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式3】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 题型04　比较反比例函数值或自变量的大小 【典例4】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：将，，分别代入， 得：，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象性质，即可解答． 【详解】解：， ， 图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 当时，的取值范围是：， 故答案为：． 【变式2】反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 当时，， 当时，，， ∴时，的范围为或， 故答案为：或． 【变式3】若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 【答案】 【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小． ∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且， ∴点不在同一象限， ∴点第一象限，点在第三象限． ∴， ∴． 故答案为：． 题型05　已知反比例函数的解析式求图象和性质 【典例5】已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．其图象经过点 B．其图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象经过点，故本选项正确，不符合题意； B．∴，∴图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C．∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D．当时，；当时，；故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】已知反比例函数图象，如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随的增大而减小 C．若矩形面积为8，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、根据图形面积求比例系数（解析式）、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为8，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 【变式2】已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．当，y的值随x值的增大而增大 B．图象必经过点， C．图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可． 【详解】解：A、∵，∴每个象限内y随着x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、当时，，所以图象必经过点，故本选项错误，符合题意； C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，不符合题意； D、∵，∴图象分别位于第二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； 故选：B ． 【变式3】下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的性质，将点代入解析式求解即可判断A选项，根据图象在一三象限即可判断B，根据性质在一三象限上随增大而减小即可判断C，根据增减性即可判断D． 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，，故A正确，不符合题意， ∵，∴图像在一三象限，故B正确，不符合题意， ∵没确定，的正负，故无法判断函数值的大小，故C错误，符合题意， ∵当时，即，解得，∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 题型06　利用反比例函数的图象和性质求参数 【典例6】若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式2】已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型07　已知反比例函数的定义求函数的解析式 【典例7】已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 【变式1】已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． 【变式2】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 【变式3】已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、用反比例函数描述数量关系、正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 题型08　一次函数与反比例函数的交点问题 【典例8】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）将点A代入反比例函数，求得，将点B代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得或， ∴， 根据图象可知，，， 当时，或； （3）解：∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． 【变式1】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用． (1)依据点在反比例函数图象上，即可得到m的值； (2) 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， 依据，即可得出；根据直线为，将、代入，即可得到t的值； (2)根据函数图象，即可得到的解集是∶ 或． 【详解】（1）解：将点代入中得：，解得， ． （2） 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， ， ， ， 点在， ， 直线为，将、代入得： ， 化简整理得：， 解得：，（舍去，因为点A在点 B的左侧）， ， ， ， ． （3）， 的解集是：或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质； （1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可； （2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可； （3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∴， 由函数图象得，不等式的解集为：或 ； （3）如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P， 由对称性可知， ∴， 在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴ ∴的最大值． 题型09　利用反比例函数解决实际问题 【典例9】小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 【变式1】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 【变式2】电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【变式3】盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 题型10　反比例函数与几何图形的综合问题 【典例10】如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 【详解】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 【变式1】如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【变式2】如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． (1)直接写出：点D的坐标， ； (2)将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为，2 (2)没有，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了全等三角形的判定与性质、旋转等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）根据题意作图，可求出的坐标为：，据此即可验证； 【详解】（1）解：作轴，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点D． ∴； （2）解：如图所示： ∵， ∴； 由旋转可知：； ∴， ∴的坐标为：； ∵， ∴点D的对应点不落在反比例函数的图象上． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求和的函数表达式． (2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用，掌握利用菱形对角线平行、边长相等的性质确定点的坐标以求解函数表达式，结合勾股定理列方程求轴上动点的坐标是解题的关键. （1）由图形的对称性知，点、关于对称，则 点的坐标为，进而求解； （2）由，即，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， 四边形为菱形，轴， 由图形的对称性可知，点关于对称． 又点B的坐标为，点C的坐标为， 点的坐标为． 将点的坐标分别代入，得解得 ． 将点的坐标代入：，得， 解得． 故和的解析式分别为：，． （2）或， 设点的坐标为． 由点的坐标，得． 由题意，得， 即， 解得． 故点的坐标为或． 题型11　特殊反比例函数的图象和性质 【典例11】小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 【变式1】（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 【变式2】参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 4．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 二、填空题 5．（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 6．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，图象有一支在第三象限，可得比例系数为正数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第三象限， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 8．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 三、解答题 9．（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 11．（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【详解】（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 12．（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式； （2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为， ∴将代入反比例函数中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设点P的纵坐标为m， ∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：， ∴， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 一、单选题 1．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求得m的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， ∴． 2．（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 4．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 5．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④． 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 二、填空题 6．（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 7．（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知反比例函数的解析式为（是常数），如果在每一象限内函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的比例系数时，在每一象限内随的增大而减小，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数在每一象限内，函数值随的增大而减小， 解得． 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      【答案】 【分析】根据“阻力阻力臂动力动力臂”列式求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 9．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 10．（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京东城·期中）已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 12．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 14．（2026·江苏连云港·二模）小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． (1)则________，________，________； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)16；；8 (2) (3)6或2 【分析】（1）过点A作于点C，根据等腰直角三角形的性质可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得直线与反比例函数交于点，再观察图象即可求解； （3）根据平移的性质可得点，从而得到的中点坐标为，的中点坐标为，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点C， ∵点坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴点， 把点代入得：， 把点，代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：，， 联立得：， 解得：， 即直线与反比例函数交于点， 观察图象得：当，即时，的取值范围为； （3）解：∵把沿着轴向右平移个单位，对应得到，点， ∴点， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 综上所述，a的值为6或2． 15．（21-22八年级下·河南南阳·期中）探究下列问题： 【模型建立】 (1)如图，在中，，直线经过点，过点作，过点作于．求证：； 【模型应用】 (2)直线与轴分别交于点，将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)一次函数的图象与轴分别交于点，点在反比例函数的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出的所有可能的值． 【答案】(1)如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， 当时，， 当时，， ∴， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章反比例函数章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01反比例函数的定义 知识点02确定反比例函数的关系式 知识点03反比例函数的图象和性质 2.知识清单 知识点04反比例函数中的比例系数k的几何意义 知识点05利用反比例函数解决实际问题 题型01根据定义判别是否反比例函数 题型02判断（画）反比例函数图象 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标 反比例函数章节复习 题型04比较反比例函数值或自变量的大小 题型05 已知反比例函数的解析式求图象和性质 题型06 利用反比例函数的图象和性质求参数 3.题型精讲 题型07已知反比例函数的定义求函数的解析式 题型08一次函数与反比例函数的交点问题 题型09利用反比例函数解决实际问题 题型10 反比例函数与几何图形的综合问题 题型11特殊反比例函数的图象和性质 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.系统梳理反比例函数的概念、表达式、图象与性质，构建完整的知识结构体系。 2.能熟练运用反比例函数的性质（特别是增减性与k的几何意义）解决相关综合问 教学目标 题。 3.通过典型问题训练，提升从实际问题中建立反比例函数模型及综合运用多种函数模 型解决问题的能力。 教学重难点 重点： 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.反比例函数的图象与性质的综合应用，特别是k的几何意义在面积问题中的灵活 运用。 2.建立反比例函数模型解决跨学科及实际生活问题，理解其应用价值。 教学难点： 1.结合一次函数或几何图形进行综合分析，解决交点、面积比较、取值范围等问题。 2.在实际情境中准确识别变量间关系，灵活选择适当的函数模型进行求解与解释。 知识清单 知识点01反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即 y=k:或表示为y=元，其中k是不等于零的常数 一般地，形如y= 下（k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变 量x的取值范围是不等于0的一切实数. 【即学即练】 1.下列函数，y是x的反比例函数的是() A.y=5x B.y=- C.y=-3 D.y=- 知识点02确定反比例函数的关系式 = 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数x中，只有一个待定系数k,因 此只需要知道一对水y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： k (1)设所求的反比例函数为：y= xk≠0)： (2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程： (3)解方程求出待定系数k的值： 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k y= (4)把求得的k值代回所设的函数关系式x中. 【即学即练】 1.已知y是x的反比例函数，当x=4时，y=-3 (1)求y关于x的函数表达式： (2)当y=-4时，求x的值. 知识点03反比例函数的图象和性质 1画反比例函数的图象的基本步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时， 只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数： (2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点： (3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连 接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐 标轴相交： (4)反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. =k0) 图2 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反 比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、'轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 3.反比例函数的性质 (1)如图1，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而减小： (2)如图2，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增 大而增大： 【即学即练】 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.关于函数y=有如下结论： ①函数图象一定经过点(-2，-3)；②函数图象在第一、三象限： ③每个象限内，函数值'随x的增大而增大： ④若(-2，)、（-山，y)、(3,)为双曲线上的三点，则2<y<⅓，其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点04 反比例函数'xk≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线y=(k0〉上任意一点作，轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为 ,k≠0》上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 4 过双曲线y= 2 【即学即练】 1.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B,C的横坐标都是4，BC=3,点 D在4C上，且其横坐标为1，若反比例函数-（x>0)的图象经过点B,D,则k的值是一· 知识点05利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问 题. 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 2.一般步骤如下：(1)审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表 示 (2)由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. (3)写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 (1)当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；· (2)当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数： (3)在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；· (4)电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【即学即练】 1.实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围。 素材1：图①为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯，图②为对应的电路图，电源两端的电压保持不 变，通过改变滑动变阻器的电阻B来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R=R+R,己知 R=52,实验测得当R=102时，I=0.4A. 素材2：图③是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在300~7501ux之间 (包含临界值)， 光照强度ux) 750 R 300 R 0.10.25电流(A) 图① 图② 图③ (I)任务1：求1关于R的函数表达式. (2)任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定R的取值范围， 题型精讲 题型01根据定义判别是否反比例函数 5/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是() 1 A.y=5x B.Y=3 C.y= D.y=x2-3 【变式1】下列关系式中，y是x的反比例函数的是() 3 A.y=x-1 B.y=3 x C.y=5 D.y=-2x2 【变式2】下列函数不是反比例函数的是() A.y=2025 B.y=-2025x C.y=2025 D.y=2025 【变式下列函数：@y2小：②：③少山：@；国y.其中是反比例函数的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02判断画)反比例函数图象 8 【典例2】反比例函数y=的大致图象是（) 【变式1】某中学要在校园内划出一块面积是50m'的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为x 米和'米，则'与x之间的函数关系用图象表示大致是() 【变式2】反比例函数y= x的大致图象是( 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】当。>6时，反比例函数y= x的图象大致是() 题型03由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例3】己知反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=2x图象的一个交点坐标为(2,4)，则另一个交点 坐标为 【变式1】如图，正比例函数y与反比例函数相交于点E(一山，2)，则它们的另一个交点坐标是 【变式2】在平面直角坐标系0，中，若点(2,4)是函数y=长≠0)和y=生（伤，±0）的图象的一个交点， 则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 【变式3】如图，正比例函数y=与反比例函数-生的图象相交于4、B两点，若点B的坐标为 (-2,-1),则点A的坐标是 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04比较反比例函数值或自变量的大小 8 【典例4】若点A(2),B(飞，-1)，C(x4)都在反比例函数y=的图象上，则x,'X2'的大小关系 总 【变式1】已知实数x、y满足y=2,当x>1时，y的取值范围是 【变式2】反比例函数y=,的图象经过点(-山，2)，当y≤2时，x的取值范围为. 【变式3】若点A(m,y),B(m+2,购)都在反比例函数y=+ （k是常数)的图象上，且y<,则m的 范围是 题型05已知反比例函数的解析式求图象和性质 3 【典例5】已知反比例函数y=一，下列结论不正确的是(） A.其图象经过点（1,3) B.其图象位于第二、四象限 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.当x>-1时，y>-3 【变式1】已知反比例函数y=,图象，如图所示，下列说法正确的是（） A k>0 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.y随x的增大而减小 C.若矩形OABC面积为8，则k=8 D.若图象上两个点的坐标分别是M(-3,),N(-l,),则y>y2 2 【变式2】已知反比例函数y=一年：下列说法错误的是（） A,当x<0,y的值随x值的增大而增大 B.图象必经过点1,2) C.图象是轴对称图形，也是中心对称图形 D.图象分别位于第二、四象限内 4 【变式3】下列关于反比例函数y=x,说法不正确的是() A.点(2,2)、4,4)均在其图象上 B.双曲线分布在第一、三象限 C.该函数图象上有两点A(,),BB(x2,y),若x<2,则<2 D.当y<-2时，x的取值范围是-2<x<0 题型06利用反比例函数的图象和性质求参数 【典例6】若反比例函数y=2 x的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是 【变式1】若函数=m+2。 x的图象在每个象限内y的值随，值的增大而减小，则m的取值范围是。 【变式2】己知A(1,y)B(2,)两点在双曲线y=m+ x上，且y>为，则m的取值范围是 【变式3】己知反比例函数y=2+8 x（a为常数). (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围： (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围. 题型07己知反比例函数的定义求函数的解析式 9/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例7】已知y=+,若与x成正比例关系，2与x成反比例关系，且当x=-1时，y=3;x=1 时，y=-5 (I)求y与x的函数关系式： (2)求x=-2时，y的值. 【变式1】已知函数y=y+2,其中y与x成正比例，与x-3成反比例，当x=2时，y=16;当x=4 时，y=20.求： (I)y关于x的函数解析式及定义域： (2)当x=5时的函数值， 【变式2】己知y=-,并且与x成正比例与x-2)成反比例，当x=-2时，y=-7;当x=3时， y=13 (1)求y关于x的函数解析式： (2)求当x=5时的函数值 【变式3】已知y=片+2，若y与x-1成正比例，与x+1成反比例，当x=0时，y=-5:当x=2时， y=1 (1)求y与x的函数关系式： (2)求当x=-2时，y的值. 题型08一次函数与反比例函数的交点问题 【典例8】如图，一次函数y-+6与反比例函数y=兰k≠0的图象交于42-》B两点 (I)求b和k的值： (②清直接写出关于x的不等式+6>产的解集： (③)在反比例函数y=的图象上任取两点C(:,y)和D(,),若：<x,试确定y和与的大小关系，并 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写出判断过程. 【变式1】如图，一次函数y=:+b与反比例函数y=” 的图象相交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 与x轴相交于点C,已知点A(,4),连接OB. C (1)求反比例函数的解析式： (2)若△BOC的面积为3，求△AOB的面积： (③在（②）的条件下，根据图象，直接写出>瓜+b的解集。 +b与反比例函数y=k学0)交于4m,6, 3 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=- B(4,-3)两点 B (1)求反比例函数和一次函数的表达式： 回直接与出不等式子x+b>女的解架， 3 (3)点P在x轴上，求PA-PB的最大值， 题型09利用反比例函数解决实际问题 【典例9】小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温（℃）与 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开机时间x(min)满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y(C)与开机时间x(min)成反比例 关系，当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题. ◆y(C) 100 20 010 x(min) (I)当0≤x<10时，求水温y(C)关于开机时间x(min) (2)求图中t的值 (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70mi回到家时，饮水机中水的温度， 【变式1】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kP)是气体体积/(m)的 反比例函数，其图象如图所示 Ap/kPa 200 150 A(0.8,120) 100 50 上LL》 0 0.511.522.5V/m3 (1)求这个函数的解析式： (2)当气体体积为1.5m时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于l4OkP时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到 0.01m3) 【变式2】电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体 重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系式为 R=m+b(其中k,b为常数，0≤m≤120)，其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏， 定值电阻B的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为。，该度数可以换算为人的质 量m. 注：①导体两端的电压U,导体的电阻R·通过导体的电流7，清足关系武1- R ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻R两端的电压+定值电阻 12125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R两端的电压=总电压， R,(欧 踏板 240 R 20m(千克 图0 图② (1)求出R关于m的函数解析式： (②)当0。=1.5伏时，R=欧： (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量 【变式3】盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3 米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一 边长加长6米可得。与)之间的王发关系式b:子。2，某校“数学兴趣个”对此阿数注一少指r。 a+3 12 得到更一般的函数y= 2,现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： x+3 -8-6-4日 0.2 68 8 图1 图2 12 (①)如图2，在平面直角坐标系xO中，请用描点法画出y= x+3 -2的图象，并完成如下问题： 12 12 ①函数y= +32的图象可由函数y手 的图象向左平移 个单位，再向下平移个单位得到， 其对称中心坐标为： ②根据该函数图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥-1？ (②)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方 案 13125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型10反比例函数与几何图形的综合问题 【奥例101如图，点在双曲线上，点6在双曲线y之上，且B辅C,D在r轴上，若四 边形ABCD为矩形，求它的面积. 【变式1】如图，在坐标系中有一矩形OABC,满足A(10,0),C(0,8),点D为AB上一点，△BCD关于 CD折叠得到△ECD,点E落于边OA上. B A主 (1)求OE的长度： (回若)关于x的反比例函数y（〔0)图象经过点D与cD另一交点记为点F: ①求该反比例函数解析式： ②在CE上有一动点P,当点P坐标为多少时，△PDF的周长最小？ 【变式2】如图，己知点A(O,1)在y轴上，B(L,0)在x轴上，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,此 时反比例函数y=《(k≠0)在第一象限内的图象恰好经过点C,D. 14125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B Y ()直接写出：点D的坐标，k=-: (2)将正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点C'落在x轴上时，判断点D的对应点D是 k 否落在反比例函数y= 的图象上，并说明理由。 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B的坐标为(-L,0),顶点C的坐标为(-5,1)，对 角线4C/:神，边B所在的直线万m+6与反比例商数为一〔>0)的图象在第一象限内交于点有 X (1)求和2的函数表达式. (2)P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，点P的坐标为 题型11特殊反比例函数的图象和性质 2 【典例11】小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=一丙的图象与性质.其 探究过程如下： 15125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 43 -1 642012.34.5.6 6 (1)绘制函数图像 1 X 3 2 2 y 2 -4 m -2 2 -2 3 3 ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m= ②描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出各点： ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整 (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ② 2 (3)运用图象和函数性质，当2<- <0时，写出自变量的取值范围 x 【变式1】（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函 2- 数y= 一的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图.列表：下表是x与'的几组对应值，其中m=一： 16125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4 -2 -1 2 2 1 3 5 -2 -3 2 -5 3 1 3 描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点： 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整： (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当x<0时，y随x增大而一：（填“增大”或“减小”） 2- 2 ②函数y= x的图象是由函数y=的图象向 平移 个单位长度而得到： ③函数y= 2- 一的图象关于点成中心对称.（填点的坐标） 6)设A(Gy小B5,)是函数y=2 一的图象上的两点，且x+x,=0,试求y+⅓，+2026的值. 2 【变式2】参照学习反比例函数y=二的过程与方法， 探究函数y= x-2 (x≠2)的图象与性质. 3 1 3 > 4 2 5 6 2 2 2 y m 4 2 4 4 2 2-3 2 3 (1)m= 2 (2)请画出函数y= 一2≠2)的图象： 4 32 4-3-2-1.0123456x 3 (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x<2时，y随x的增大而_；（填“增大”或“减小”） 17125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 2 ②y= x一2的图象是由少=的图象向_平移_个单位长度而得到的： ③图象关于点中心对称.（填点的坐标） 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级下山东烟台期末)下列函数中是反比例函数的是() A- B.y=2x+1 3 C.y= 2 D.y3 2x 6 2,(25-26八年级下河南周口期末)关于反比例函数y=一x,说法错误的是() A.图象分布在二、四象限 B.图象关于原点中心对称 C.当x>0时，y随x增大而增大 D.当<x2时，<2 3。（25-26八年级下上海杨浦期末)已知点4(3，小B(-1为小C亿，)在反比例函数y= （k>0) 的图象上，那么、2、的大小关系是() A.y<2<B.2<y<y3 C.<< D.为<y<y 4(2026内蒙古通辽二模)如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段 教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间x(mim)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例.当每立方米空 气中含药量低于1.6mg时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是() 18125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆y(mg) x(min) A.每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要1.25min B,每立方米空气中含药量下降过程中，与x的西数关系式是)-0 C.为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25min后学生才能进入教室 D.每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为7.5min 二、填空题 5.(2026云南中考真题)若函数y=的图象经过点(2，m）,则m= 4 6,(2-23八年级下吉林长春阶段检测)若反比例函数y= x的图象有一支在第三象限，则k的取值 范围是 7.(25-26八年级下福建泉州期末)已知A(a-1,y)、B(a+1,)两点在反比例函数y=x的图像上，且 为<y2,则a的取值范围为 8.(25-26八年级下山西长治期末)如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数片=(k≠0)的图象 交于4-1,2)，B(2,-1)两点，则关于x的不等式x+6>的解集是 三、解答题 9.(22-23八年级下吉林长春阶段检测)己知反比例函数y=,的图象经过点(2，-3)： ()求这个反比例函数的表达式。 (2)判断点（山，6）是否在这个反比例函数的图象上. 19/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(2026-河南平顶山：三模)如图，。4BCD的顶点A(3,4),C(7,1),D(8,4),反比例函数y=(c>0) 的图象经过点A 0 (1)求反比例函数的表达式： (2)将口ABCD向上平移个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求L的值. 11.(2026贵州安顺二模)图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16C,加热到100C时， 停止加热，水温开始下降，此时水温(C)是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为20C时开始加热， 水温'与通电时间x之间的函数关系如图2所示. 个/C 100 20 x/min (1)将水从20°C加热到100C需要 min (2)在水温下降的过程中，求水温'关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于50°C的时间有多长？ 12.(2026广东广州三模)如图，反比例函数y-(x>0)与一次函数，=-x+a的图象交于点A,日， 且B点坐标为(6,1) B 0 ①求反比例函数y-(x>0)和一次函数：-x+a的解折式： 20/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②点P为线段B上的一点，过P作y轴的垂线，萋足为几，PH与反比例图数1=（x>0)的图象交于点 C,当点C为PH中点时，求点C的坐标. 能力提升 一、单选题 12 1.(25-26九年级下重庆阶段检测)已知点(3，m在反比例函数y= 的图象上，则m的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 4 2.(2026重庆·二模)关于反比例函数y=-,下列说法正确的是() A.图象位于第一、三象限 B.在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C.点(a,a+3)可能在该函数图象上 D.若点(m,n)在该函数的图象上，则点（-m,-n)也在该函数的图象上 3（2026贵州避义一模)如图。在平面直角坐标系中，直线，=k<0与双曲线y= x交于A,B两 点，AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论，错误的为() A,点A与点B关于原点对称 B.点D是BC的中点 3 C.S△BOD= 4 D在y=3 的图像上，y的值随x值的增大而减小 21125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下山西临汾期中)某款节能冰箱的耗电功率为0.16千瓦（忽略特殊情况的耗电量）， 其中冰箱内部温度y(C)随时间x(min)的变化情况如图所示.通过观察发现：当内部温度为-5℃时，冰箱 运行，当温度下降到-20℃时，停止运行，温度上升到-5℃时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成 反比例关系)，如此循环.则以下结论不正确的是() y(C) -5 (min) 20 A.当0≤x≤15时，y是x的一次函数：y=-x-5 B.当15<r≤时，=-300 C.t=60 D.t=30 5.(25-26八年级下四川遂宁期中)如图，一次函数y=x+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反 k 比例函数y=,的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为B、R,连接 CFDE,有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD;③△DCE≌aCDF;④AC=BD:⑤ k ACEF的面积等于2，其中正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 6.(25-26九年级下广东潮州阶段检测)若少=3 xm2是反比例函数，则m的值为 7.（25-26八年级下上海闵行期未)已知反比例函数的解析式为y=m x（m是常数)，如果在每一象 限内函数值y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是 8.(2026内蒙古呼和浩特·一模)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力×阻 22125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则动力 F关于自变量动力臂(>0)的函数解析式为 L阻力支点 动力 阻力臂 动力臂 （2026辽宁帛新二模)如图，在平面直角坐标系中，点Ag均在图数y-x>0)的图象上， 9 AC⊥x轴于点C,DB⊥x轴于点D,连接OA,BC,若点C(2,0),BD=4,S.Aoc=16,则SABCD= D主 10.(2026山东泰安·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+b的图象与y轴交于点C,与 6 反比例函数y=-的图象交A(-h,m),B(m-2)两点。若点P是x轴上一点，△BOP的面积等于aA0B面 积的2倍，则点P的坐标为 三、解答题 11.(25-26八年级下·北京东城期中)己知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点(1,1) (①)求y关于x的表达式： (2)当y=4时，求x的值. 12.(2026山西临汾三模)如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形0ABC的顶点A的坐标为(0,2)，顶点 23125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C的坐标为(6,0)，反比例函数y=>0)的图象经过AB的中点D,与BC交于点， D B A (1)求k的值. (2)连接AC,DE,求证：AC∥DE 13.(25-26九年级上·河北石家庄·期中)生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段 0≈24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y(C)随时间x(时)变化的图象，如图所示，点A表示智能 控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为15℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线 的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到15℃. y/C B 30 D 15 05 24x/时 (I)线段AB的函数解析式和定义域为 (2)双曲线CD段的函数解析式和定义域为 (3)求该大棚在0~24时内，温度不低于24℃的时长是； (④)此地日出时间为7：00，日落时间为17：00，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚 温度不低于24℃，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟一小时，能满足上述要求. 14.(2026江苏连云港·二模)小红将一块含45°角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系 O,中，已知三角板的直角贸点4哈好在反比例函数1-(>0)的图象上，三角板的暝点g在y特上， 且B点坐标为（⑧，0），三角板的另一个顶点与原点O重合，线段4B所在直线的表达式为为=mr+n. B 24125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)则k= 1m= n= (2)当mx+n- ≤0时，直接写出x的取值范围： (3)把△OAB沿着x轴向右平移a个单位，对应得到△O4B,当反比例函数的图象经过一边的中点时，请 直接写出a的值. 15.(21-22八年级下河南南阳·期中)探究下列问题： 【模型建立】 (I)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于D,过点B作 BE⊥ED于E.求证：AD=CE: E C 【模型应用】 (2)直线：y= 4 +4与x,y轴分别交于点4，B,将直线1绕点g顺时针旋转45得到直线！，求直线l,的函 数表达式： 【拓展探究】 )-次函数= k x+8的图象与xy轴分别交于点A,B,点C在反比例函数y=(<0)的图象上，若 △ABC为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值. 25/25